基本不等式课件(共43张)课件

1、 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。第1页/共53页 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会第2页/共53页第2页/共53页ab1、正方形ABCD的面积S=、四个直角三角形的面积和S =、S与S有什么样的不等关系？ 探究：S_S问：那么它们有相等的情况吗？第3页/共53页ab1、正方形ABCD的、四个直角三角形的、S与S有什ADBCEFGHba重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab思考：你能给出不等式 的证明吗？

2、（做差比较法）第4页/共53页ADBCEFGHba重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围：a,bR问题一即：第5页/共53页重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有文字叙述为: 通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0第6页/共53页通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个

3、不等式就叫做你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题二RtACDRtDCB，ABCDEabO如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.如何用a, b表示CD? CD=_如何用a, b表示OD? OD=_第7页/共53页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题二RtACD你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题二CD=_OD=_OD_CD如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半A

4、DBEOCab第8页/共53页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题二CD=_适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,bRa0,b0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式第9页/共53页适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均应用举例第10页/共53页应用举例第10页/共53页例1.(1) 已知 并指出等号成立的条件.(2) 已知 与2的大小关系,并说明理由.(3) 已知 能得到什么结论? 请说明理由.应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系第11页/共53页例1.(1) 已知 第12页

5、/共53页第12页/共53页应用二：利用基本不等式证明不等式第13页/共53页应用二：利用基本不等式证明不等式第13页/共53页第14页/共53页第14页/共53页第15页/共53页第15页/共53页第16页/共53页第16页/共53页第17页/共53页第17页/共53页小结基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题2.灵活对公式的正用、逆用、变形用二定一正三相等第18页/共53页小结基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题2.灵活对公式的3.4 基本不等式（2）第19页/共53页3.4 基本不等式（2）第19页/共53页一、知识回顾第20页/共53页一、知识回顾第20页/共53页ab 第21页

6、/共53页ab 第21页/共53页2 第22页/共53页2 第22页/共53页二、应用举例应用之三、求函数最值(一)从生活中实例说起第23页/共53页二、应用举例应用之三、求函数最值(一)从生活中实例说起第23 引例1 (1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_.第24页/共53页 引例1 (1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2例1 (2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，

7、最大面积是多少？ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_；第25页/共53页例1 (2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”， 否则会出现错误小结：利用 求最值时要注意下面三条：结论：已知 都是正数，（1）如果积 是定值P，那么当 时， 和 有最小值（2）如果和 是定值S，那么当 时， 积 有最大值第26页/共53页（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最（二）走进高考第2

8、7页/共53页（二）走进高考第27页/共53页例1：已知：0 x，求函数y=x（1-3x）的最大值两个正数和为定值，积有最大值。学练考P40例1（1）和变式（2）第28页/共53页例1：已知：0 x，求函数y=x（1-3x）的最大值两个正例2： 求函数 的最小值变式2：求函数 的最小值变式1：求 的最大值。 变式3：若 则函数的最小值是_。两个正数积为定值，和有最小值。 第29页/共53页例2： 求函数 3.4 基本不等式（3）第30页/共53页3.4 基本不等式（3）第30页/共53页（一）知识回顾第31页/共53页（一）知识回顾第31页/共53页ab 第32页/共53页ab 第32页/共5

9、3页第33页/共53页第33页/共53页（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”， 否则会出现错误小结：利用 求最值时要注意下面三条：5：用均值不等式求最值：已知 都是正数，（1）如果积 是定值P，那么当 时， 和 有最小值（2）如果和 是定值S，那么当 时， 积 有最大值第34页/共53页（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最（二）活用均值不等式题型 1 1的代换第35页/共53页（二）活用均值不等式题型 1 1的代换第35页/共53页例1、已知x，y为正实数，且

10、x+2y=1，（1）求xy的最大值，及取得最大值时的x，y的值；（2）求 的最小值。 变式1：已知x,y为正实数，若 ，则 恒成立的实数m取值范围是 。第36页/共53页例1、已知x，y为正实数，且x+2y=1，变式1：已知x,y变式3：求 的最小值，并 指出取最小值时x的值。变式2:已知 ，求 的最小值。 解： 当且仅当 即 时取等号。 两个正数积为定值，和有最小值。（巧用常数来配凑） 第37页/共53页变式3：求 的最第38页/共53页第38页/共53页即 x12，y4 时取等号.当 x12，y4 时，xy 有最小值为16. zxx k解第39页/共53页即 x12，y4 时取等号. zx

11、x k解第39页/共5题型 2 利用基本不等式整体换元【例 2】 若正数 a，b 满足 abab3，求 ab 及 ab 的取值范围.思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想. zxx k第40页/共53页题型 2 利用基本不等式整体换元【例 2】 若正数 a， zxx k第41页/共53页 zxx k第41页/共53页 zxx k第42页/共53页 zxx k第42页/共53页整体思想是分析这类题目的突破口，即ab与ab 分别是统一的整体，把 ab 转换成 ab 或把 ab 转换成ab. zxx k第43页/共53页整体思想是分析这类题目的突破口，即a

12、b与ab 分别是统一的 zxx k题型3：均值不等式在实际生活中的应用学练考P40例2反思：应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）。第44页/共53页 zxx k题型3：均值不等式在实际生活中的应用学练考P40 小结 巅 峰 回 眸 豁 然 开 朗1、注意公式的正用、逆用、变形使用。2、牢记公式特征“正”、“定”“等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。 我们积累了知识,于枯燥中见奇,于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。第45页/共53页 小结 巅 峰 回 1、设 且a+b=3,求

13、ab的最小值_。 练习：3、已知则x y 的最大值是 。第46页/共53页1、设 且a+b=3,求ab的最小值课堂小结本节课运用基本不等式求最值。要注意基本不等式的三个条件: （一）不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；（二）不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；（构造：积为定值或和为定值）（三）不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1”的代换。第47页/共53页课堂小结本节课运用基本不等式求最值。（一）不具备“正值”条件各项皆为正数；和或积为定值；注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知 x, y 都是正数

14、, P, S 是常数.(1) xy=P x+y2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).(2) x+y=S xy S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).14第48页/共53页各项皆为正数；一“正”利用基本不等式求最值时，要注意已知 小结评价 你会了吗？1。本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。 巅 峰 回 眸 豁 然 开 朗2。注意公式的正用、逆用、变形使用。3。牢记公式特征“正”、“定”、“等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。4。我们积累了知识,于枯燥中见奇,于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。第49页/共53页 小结评价 你会了吗？1。本节课主要复习导入（当且仅当a=b时取等号）（当且仅当a=b时取等号）（当且仅当a=b时取等号）（当且仅当a=b时取等号）第50页/共53页复习导入（当且仅当a=b时取等号）（当且仅当a=b时取等号） （3）利用基本不等式求函数的最值的条件 _4、 利用基本不等式求函数的最值：（1）已知x，yR+，如果积xy是定值P，那么当且仅当 时，和x+y有最 值是 ；（2）已知x，yR+，如果和x+y是定值S，那么当且仅当 时，积xy有最 值是 ； x=y小x=y大正定相等即：积