二维弹性层受刚性压头作用下的接触问题

1、二维弹性层受刚性压头作用下的接触问题关键词接触力学；二维弹性层；刚性压头；叠加原理摘要对于二维均匀弹性层在刚性平压头和刚性圆柱形压头作用下的无摩擦接触力学问题，首先 利用叠加原理，从接触力学的基本解得出对应于压头问题的奇异积分方程，然后借助Plemelj公式，将奇 异积分方程化为经典的Riemann问题进行求解，可得出接触区内两种压头的压力分布解析解.在接触力学中，压头问题占据了重要的地位.对于均匀材料受刚性压头作用的问题，理论上可以求出 解析解.本文借助函数论方法，对二维均匀弹性层在刚性平压头和刚性圆柱形压头作用下的无摩擦接触问 题进行了求解.利用叠加原理,将接触力学的基本解积分而出了压头问

2、题对应的奇异积分方程，然后借助 Plemelj公式，将方程化为Riemann问题进行了求解，得出了平压头和圆柱形压头作用下接触区内压力分 布的解析解.1二维均匀弹性层受刚性压头作用下的基本解如图1所示,二维均匀弹性层置于刚性基地上面.该均匀弹性层在x方向无限扩展，在z方向为有限 值h，均匀弹性层底部与刚性基地完全粘连.二维均匀弹性层在z = h处受到法向集中力P的作用.r:乙 ，7/ / /X 图1二维均匀弹性层受法向集中力p的作用示意图此问题的基本解已求出1，引用如下:(1)u (x, h) = - slgn(x)+ 应 + ln|x|,x2n(1)u (x, h =- 订况 slgn(x)

3、+ ln|x|,z2n相关物理含义与文献1中的规定相同.由于本论文只考虑受到法向集中力的作用，即令切向集中力Q = 0,所以(1)(2)式可化为:if；Pux(x, h =广sign(x),(4)u (x, h) =ln|x|,(4)zn本论文中，只涉及法向压力作用下的法向位移关系,因此只考虑(4)式：u (x, h) =ln|x|,zn该结果表明,二维均匀弹性层的法向位移在集中力的作用处存在对数奇异性,对许多弹性力学和具体压头求解具有指导意义.2般分布压力对应的奇异积分方程在上述基本解模型的基础上，进一步考虑如图2所示的二维均匀弹性层受一般分布力作用的示意 图.二维均匀弹性层在上表面处受到法

4、向分布力p(t)的作用，分布力作用区域为-a, a.由二维均匀弹性 层法向位移在集中力作用的基本解可知,此问题的解应为基本解在区-a, a内对x进行积分，由此可得二 维均匀弹性层受一般分布力作用的解.图2二维均匀弹性层受一般分布力作用的示意图图2二维均匀弹性层受一般分布力作用的示意图在图2中，考虑位于横坐标为t处，宽为dt,高度为p(t)的窄条，可将此窄条近似视为集中力,其大小为p(t)dt.于是，对于区间-a, a内某点x处，其z方向的位移为：duz(x, h) -K/)ln|x-t|,全体分布力在该处产生的z方向总位移,应将(6 )式在区间内进行积分，由此可得：u (x, h)=以匚 P(

5、t)ln|t-x|dt,z n a对(7)式求x的偏导，可得:(8)秒,h_勺此dt(8)dxn a t - x即(8)式为第一类Cauchy型奇异积分方程,为了求解方便,下面做变量代换，令t = an，x =咬则(8)式 可化为：也X也=-f严 dn，(9)dxn n - g(9)式即为一般分布力作用下弹性层的表面位移解.3二维均匀弹性层压头问题的求解3.1 平压头考虑如图3所示的二维均匀弹性层受平压头作用的接触问题，平压头受法向集中力P的作用.图3二维均匀弹性层平压头受法向集中力作用图3二维均匀弹性层平压头受法向集中力作用P的作用示意图由二维均匀弹性层受分布力作用的解： TOC o 1-5

6、 h z 如(x，= - f；冬dn，(10)dxn n - g对平压头，在接触区-a, a内满足如下位移条件：秒,，)=0，(11)dx于是(10)式可化为：-fdn = 0，(12)n n - g进一步化为相应的Riemann问题的标准形式：与/ dn = 0，(13)n n - g即(13)为第一类Cauchy型奇异积分方程，下面按照经典解法求出解析解.首先引入Cauchy型积分：9(z)=二匕四L dn，2nin 一 z+(C) + 弋)=, +(C) + 弋)=, n n _ z(15)(16)(17)(18)(19)p(Z) = X +(Z) 11 jbP.dn+邳)国X+(n)(

7、n - Z)Pk - 11G(Z).g(Z),(21)由Plemelj公式:9*(Z) + v(Z) = p(Z),原方程(13)式可化为如下Riemann问题：9*(Z) = h(Z)W) + g(Z), 其中：殖)=-1,g(Z) = 0.经计算得:|h(Z)| = 1 从而有:Lnh(Z) = In|h(Z)| + / = i&，此处 0 = ArgG(Z) = Arg(-1) = n 下面计算典则函数.令1=Ln21 11 Lnh1=Ln22nin - z原始典则函数为:=i此时，积分曲线为实轴-1,1,对于左端点a(-1, 0)与右端点b(1, 0),分别计算如下两个中间参数: TO

8、C o 1-5 h z Lnh(a)1Lnh(b)1丁 -=2 ,2n22n2令 Ya = aa + 说，Yb = ab + 弟b,所以 aa = -，Pa = 0 ；% = 2, , Bb = 0.进一步定义两个整数人，人；由于平压头问题在a,b两端点有可积奇异性，所以对应于在h0(a, b)中求 解此时应满足：-1 X + aa 0以及-1 Xb + ab 0.结合a, ab的范围，可知应取Xa = 0, Xb = -1.则奇异积 分方程的指标为k = - (Xa +人)=1.从而完整典则函数为：X(z) = (z - a)X(z - b)%x(z) = - i(1- z2)-,(20)完

9、整典则函数得出后，原方程的解由(21)式给出2,3：其中pk _ 1(Z)为任意k - 1次多项式,此处即为0次多项式,即任意常数.将各函数代入(21)式，并利用积 分表里的公式4: TOC o 1-5 h z j:(X 5 -旷 dx = _- cos)f 巳 丫,(a c b, |Rev| a, Re 0, Re v 0)(25)其中B(,)为Beta函数.得:1 pF = - P ,(26)n a由此可得二维均匀弹性层平压头所受的接触力为：pPZ) =(1 - Z2)-2,(27)na3.2圆柱形压头考虑如图4所示的二维均匀弹性层受圆柱形压头作用的接触问题，圆柱形压头半径为夫,受法向集中

10、 力P的作用.图4二维均匀弹性层圆柱形压头受法向集中力作用P的作用示意图由二维均匀弹性层受分布力作用的解：duz(x, h) 图4二维均匀弹性层圆柱形压头受法向集中力作用P的作用示意图由二维均匀弹性层受分布力作用的解：duz(x, h) _ 勺1 p(n)由dxn - q28)对圆柱形压头，在接触区-a, a内满足如下位移条件：du好,h)dx(29)于是(28)式可化为:30)令参数项为:则(30)式可化为:Bdn = CZ ,n - Z31)即(31)为第一类Cauchy型奇异积分方程，下面按照经典解法求出解析解.首先引入Cauchy型积分：由Plemelj公式:WZ) + O-(Z)=匚

11、理 dn, n n - Z(33)WZ) - WZ) = P(由Plemelj公式:WZ) + O-(Z)=匚理 dn, n n - Z(33)WZ) - WZ) = P(Z), 将原方程(31)式可化为如下Riemann问题：WZ) = G(Z) g + g(Z),(34)(35)其中：G(Z) = -1, g(Z)=竽町A + nBi经计算得：|G(Z)| = 1, A = 0, D = 0,从而有:LnG(Z) = In|G(Z)| + i0 = i0,此处 0 = ArgG(Z) = Arg(A - nBi) - Arg(A + nBi) = - 2arctan( ), g(g) =

12、- ARf.nBnBn由于 0,所以0 arctan() 一，从而-n 0 0.AA2下面计算典则函数.令1 (1 LnG(n)0 fl d(n - z)e z - 1r(z) = J ,dn = J ,= Ln-1-1 n - z2nz + 12n(36)o1并记=m,从而- m 0,则原始典则函数为：2n2耳m=1 - zLz + 11 + z _mX(z) = e=eLn(37)计算可得:m = 0. 5.此时，积分曲线为实轴-1,1,对于左端点a(-l, 0)与右端点b(l, 0),分别计算如下 两个中间参数:LnG(a)LnG(b)Y = _ = - m,Y = - = m2ni2n

13、i令 Ya = aa + % Y = ab + %所以 aa = - m , Ba = 0 ;b = m , Pb = 0.进一步定义两个整数如人；由于圆柱形压头问题在a,b两端点没有奇异性,所以对应于在h2(a, b)中 求解，此时应满足:0 Xa + aa 1以及0 Xb + ab 1.结合a, ab的范围，可知应取Xa = 0, Xb= 1.则奇异积分 方程的指标为k = - Qa+ ) = -1.从而完整典则函数为：X(z) = (z - d)xa(z - b)bx(z)= (-1)m(1- z)m+1(1+ z)-m, 得出以上结果后，原方程的解由下式给出2,3:p(Z) = X+(Z)1-呈1 fb g(n)dnG(Z)L 2ni !ax+(n)(n - Z) + Pk-1(Z)g(Z)(38)(39)其中Pk_ 1(Z)为任意k - 1次多项式，此处即为-2次多项式,恒等于0.将各函数以及C与D的关系代 入(39