微小物体转动惯量测量机理与实现方法研究

1、微小物体转动惯量测量机理与实现方法研究摘 要：为了实现对微小物体(100 g500 g)转动惯量的测量，搭建了微小物体质心及转动惯量测量装置。对该装置的测量 原理、误差分析、结构参数等进行了研究。首先,对多种质心及转动惯量测量方法进行分析，对比优缺点以及适用范围，选择 合适的测量方法。然后针对质心及转动惯量测量的数学模型，进行误差分析,分析不同因素对测量结果的影响。根据分析结 果，进行装置机械结构的设计，并对结构进行校验和优化。最后进行实物加工及测量装置搭建，校验测量装置的测量精度和 重复性精度。实验结果表明，测量装置的质心测量精度为0.8%，转动惯量测量精度为1.0%,重复性精度为1.0%。

2、测量装置 满足对微小物体质心及转动惯量测量的稳定可靠、高精度、高重复性的要求。关键词：转动惯量;质心测量;误差分析;复摆转动惯量是刚体绕轴转动时惯性的度量，其值 只取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。 刚体的转动惯量对于研究刚体的转动过程、掌握物 体的三维转动规律有着重要的意义。在航天领 域，飞行器的飞行轨迹、姿态设计要考虑转动惯量的 影响。在机械领域，机床上转台的转动惯量影响转 台稳定性、精度。在工业工程领域，电机的选择 要考虑系统转动惯量的大小。总之，在许多领域转极转动惯量 测量装置V-|赤道转动惯 量测量装置质心测量 装置R倾角测量模块|调平模块|光电计时1.2(1)(2)R0 极转

3、动惯量 测量装置V-|赤道转动惯 量测量装置质心测量 装置R倾角测量模块|调平模块|光电计时1.2(1)(2)R0 = 2*t4*2( J，+m9l2-土m，l，g)4*l0(3)(T2-T0) mgT2T2( j +m， %m9l，g)4*,2?m010(4)-0(6)4*(7)动惯量都是一个重要的静态参数。转动惯量可以通过线摆法、扭摆法、复摆法等方 法进行测量，其中线摆法在精密测量中不适用，只适 合于粗测，多用于实验教学；扭摆法通过选择合 适的气浮平台可以实现对较大量程物体的精确测量 (小于1%)，同时测量过程中,被测物体摆放在平台 上，测量过程安全;复摆法要求被测物体和框架一起 进行周期

4、性摆动，所以要求被测物体的质量不能太 重，同时根据物体的外形不同，测量过程可能不太 安全。目前，国内外主要通过扭摆法的原理，针对不同 大小的物体设计出转动惯量测试系统。但气浮 平台的结构导致了装置环境要求高，辅助设备多，造 价与维护费用高面。而且基于扭摆法的原理只能 测量转动惯量，质心与转动惯量需要分开测量，使测 量变得复杂繁琐。项。同时气浮平台多是针对大尺 寸大质量的物体，这与待测的100 g500 K级别的 被测物体质量差过大，用大量程的测量装置测量小 物体，系统的误差对测量精度的影响较大，装置测量 精度及稳定性较差。同时扭摆法需要人工放置被测 物体，被测物体的轴心和平台的轴心之间的偏心也

5、 会影响测量精度，尤其是小物体小转动惯量的情 况下。本文针对微小物体转动惯量的测量问题，采用 复摆法的原理，上文提到的复摆法的弊端，这里是针 对小型物体,质量在100 g500 g之间，满足被测物 体质量小的条件,V型支承的设计使得被测物体放 置后，确保质心与转轴的距离可以精测测量。同时 因为被测件体积小，外形为圆柱，所以保证测量过程 中相对安全。针对复摆法的原理，进行误差分析，并 进行合理的机械设计以及误差补偿修正等手段消除 误差影响。同时根据摆能确定重心的原理,将物体 的质心测量与转动惯量测量结合到一个装置中，避 免了两套装置反复装夹的繁琐操作以及带来的误 差。实验结果表明测试装置在保证测

6、量精度的前提 下,具有快速高效、操作简单、成本低等特点。1测试装置的构成及工作原理1.1测试装置的构成图1为转动惯量测量装置原理图。图2为转动 惯量测量装置结构示意图。本装置主要由转动惯量 测量装置、质心测量装置、光电计时模块、倾角测量 模块、调平模块以及计算机等组成。转动惯量测量 装置由复摆托架、托盘、V型支承、底座构成。质心 测量装置由倾角仪、复摆托架构成。光电计时模块 由遮光柱和光电计时器构成。调平模块由倾角仪和 平衡螺母构成%。进行测量时，通过倾角仪和光电 计时器获得倾角信息和复摆周期信息，把信息传递 给计算机,通过计算机进行质心和转动惯量的计算。图1测量装置原理图测试装置的工作原理该

7、装置的基本工作原理为:对于空载的装置，由 电子天平测出托架质量E0。复摆的摆动方程：(-0+m010) G?+m010gsin) = 0当摆动角度很小时，认为托架在做简谐运动，得 到托架的空载周期：lj0+m010m010 g利用质量、长度、转动惯量已知的标准件对装置 自身的参数进行标定，如托架质心到转轴的距离=0 以及托架过转轴的转动惯量j010。通过分析计算, 得到装置参数:Tf式中:m,为标准件质量;I,为标准件质心到转轴的 距离;T为标准件的复摆摆动周期。对被测物体,首先通过电子天平测出质量m,计 算得到被测物体质心到转轴的距离刀11。分别2次 放置被测物体，放置方向互相垂直，根据摆动

8、方程：(-(-0E0岛+J+eF)e0l0md) g) = 0 ( 5)通过两次摆动周期的测量，得到被测物体极转 动惯量和赤道转动惯量：7 ( T2?T2)m0g=0 /t2Rj2J =2+1 F-F21 m,4*24*27( T2-T2)m0g=0 It2g 1 ,2j/ =4*2+(4*2F-F) m式中:R为被测物体垂直转轴摆放时的摆动周期; R为被测物体平行转轴摆放时的摆动周期；R为系 统空载时的摆动周期。2测试装置的结构设计及误差分析2.1结构参数设计2测试装置的结构设计及误差分析被测件参数参考值:)60,300 g, 150 mm。需要 测量微小物体的转动惯量，所以测试仪的质量尽量

9、 小，首先选取材料为铝合金。支承设计。为使圆柱形被测件的轴线平行于工 作面，采用V型支承。考虑被测件长度为150 mm, 使V型支承均匀支撑被测件。取V型支承厚5 mm,相距80 mm,两个相对的支承的位置正好容纳 被测件。相邻的支承要有一些间隙，取支承长28 mm,高 19 mm。图2测量装置结构示意图托盘设计。托盘置于横梁上，上面对称放置八 个支承，托盘受到自身重力和被测件通过支承传递 的压力的影响。将托盘视为受集中载荷以及受均匀 载荷的悬臂梁，进行计算。此时悬臂梁的挠度为：Fbql=4max=63I( 31 ?b) 83I( 8)式中：F为集中载荷，取为5 N(最大被测物体质 量)；l为

10、梁的长度;b为集中载荷距固定端距离;3 为铝的弹性模量;：为托盘厚度;q为悬臂梁本身均 匀载荷;I为截面惯量。梁的变形影响F的测量，根据误差忽略不计原 则,F的误差由形变误差与F的测量误差组成，当一 项误差大于另一个的3倍时，较小的误差可以忽 略s。这里为使形变忽略不计，取4叩=0.2F,计 算最小截面惯量I及托盘厚度。取宽度为100 mm, 计算得托盘厚度最小为4.1 mm,取为5.0 mm。横梁设计。横梁上放置托盘、V型支承和被测 物体，同时受到自身重力的影响将横梁视为受两 个均匀载荷的简支梁进行计算。此时简支梁的挠 度为:4max384EI(9)梁的变形影响F的测量，同样根据误差忽略不

11、计原则，取4max=0. 2F，计算横梁厚度和宽度4max384EI(9)表1不同厚度对应的宽度厚度/mm最小宽度/ mm7.5458.0378.5319.0269.52210.019取厚度为10 mm，宽度为20 mm。竖杆设计。如图3所示，根据之前设计的参数, 画出框体的的结构简图。通过改变托架的杆长，分 析极限误差的变化情况。 507090110130150(日。罗)、.10匕。uiesasLength of compound pendulum/mm图3结构图及误差变化杆长为80 mm左右时，极限误差最小,约为真 值的0.2%。杆长较短时，周期较小,影响周期的测 量精度，且会影响装置稳定

12、性,装置质心小的偏移会 造成较大的倾角。同时考虑到质心测量时要进行被 测件偏心摆放并进行倾角的测量，考虑最大偏移量 为30 mm,复摆最大倾角10。，计算得杆长最小为 130 mm时，满足最大倾角小于10。所以综合考虑偏角与系统误差，选择杆长130 mm,误差约为真值 的 0.6%。材料选择。选择不同材料进行分析，计算材料 与极限误差的关系如图4所示,杆长在80 mm左右时，各密度取 最小极限误差，随着杆长的增加,极限误差增大，且 密度越大，误差越大。因此尽量选择密度小的材料, 同时考虑到形变量要求及弹性模量的要求，拟采用 1060铝合金。10 x 10507090110130150Lengt

13、h of compound pendulum/mm(gJOJItDm&SAS图410 x 10507090110130150Length of compound pendulum/mm(gJOJItDm&SAS支承方式。考虑到装置摆动角度不大,速度较 慢，载荷及装置质量较小。若采用滚动轴承的方式, 滚动摩擦力太大，影响摆动的周期。选择气浮轴套, 以空气作为润滑剂，用气膜将轴和轴套隔开,摩擦力 可以忽略,适合于小负载情况。调平装置。将倾角仪固定于框架之上,通过调 节两侧的平衡螺母，使倾角仪保持水平。计时装置。计时装置由遮光片和光电模块组 成。光电模块由对射式红外激光器和LM393组成, 直流5

14、V供电，输出高低电平。2.2系统误差分析2.2.1总体误差分析考虑极转动惯量，因为自身标定的精度比测量 精度高一个量级，因此忽略自身参数的误差对结果 的影响。对式（6）进行微分得到：/ T,4= I 券m0 =0g7mdg) AT1 dg?d) Am(mg-2md) Ad ( 10)得到极转动惯量的绝对误差公式:mmAd( 11)同理得到赤道转动惯量的绝对误差公式。假设 T、m、d的误差分布情况均为正态分布，极转动惯量的极限误差为:r2，g( E#r2，g( E#l0md) AT rri4*g2dT2gdF Am2 e af2根据式（12），考虑误差构成:测量时间的误差 AT1;测量质量的误差

15、Am；测量物体质心到摆轴距 离的误差Ad;2.2.2被测物体质偏影响分析当实际质心与理想质心不重合时，称为质心偏 移。设质心与摆轴的实际距离为d，偏心为e,与垂 直夹角为，但测得的距离为d,将d代入计算，会造 成测量结果的偏差。由余弦定理，得到d=!d+e2decos，以 d代替式（6）、式（7）中的 d 进 行计算即可。当=0或180时，考虑Ad的最大值，即d = d ?e或d = d +e,直接代入计算。当偏心较小,测量存 在误差时,需要将偏心作为误差项进行考虑。如图5所示，偏心e在不同的尺度范围上，与误 差呈现不同的相关性。在？3 cm到3 cm的范围内, 误差和偏心近似为抛物线关系。在

16、？0.2 cm到0.2 cm的范围内，误差与偏心有一定的线性关系，为后 续的误差补偿提供了基础。受受-IO1IQa2Eccentricity/cm/JOXIOEccentricity/cm/JOXIO。君0此将被测物体旋转180。，重新进行测量得出d”, ju”,T。对测得的两个转动惯量求平均：=(+=,) /2 = ；( R$5-2Fm+em) (-(-：)R gE C , 、222am( -e) m =e m 4*(13)通过图6对比发现补偿后的测量结果大大减小 了由偏心带来的转动惯量误差，通过旋转180的两 次测量，使质心偏移对转动惯量尽量产生相反的影 响，通过对两次转动惯量测量结果的叠

17、加，将相对误 差从1.5%减小到0.4%(13)(g。e&2.2.3(g。e&考虑到加工工艺的问题,框架不可能和设计时 一样保持完全对称。框架的实际质心和转轴的连线 与理想质心和转轴的连线存在一个角的偏差。框 架静止时会相对竖直方向有一个的倾角。需要通 过平衡螺母调节平衡，然后对装置进行标定，避免对 测试结果产生影响。2.3刚度校验对结构进行静力分析和刚度校验，设定好固定 约束和负载，并将材料设定为铝合金，进行分析。如图7所示，为装置的等效应力示意图。从图 中看出托盘与横梁相接的地方是应力最大的区域， 为9.5X105 Pa,远远小于铝合金的屈服强度(2.8x 107 Pa)，符合设计要求。如

18、图9所示，为装置的总应变示意图。从图中 看出托盘部分是变形最大的区域,最大变形量为6.1 X10-6 m,小于 0.2F( 1.0X10-5 m),符合设计要求。Unit: m/m0图8装置总应变图96.1288e-6 Max5.4478e-64.7668e-64.0859e-63.4049e-62.7239e-62.0429e-61.3620e-66.8098e-7OMin1.4007e-5 MaxUnit: m/m0图8装置总应变图96.1288e-6 Max5.4478e-64.7668e-64.0859e-63.4049e-62.7239e-62.0429e-61.3620e-66.8

19、098e-7OMin1.4007e-5 Max1.245e-51.0894e-59.3377e-67.7814e-66.225 le-64.6688e-63.1126e-61.5563e-61.4011e-13 Min装置等效弹性应变考虑到重力场均匀，所以重心和质心重合，可以 通过测量重心来测量质心。Unit: Pa9.479e5 Max8.4258e57.3725e56.3193e55.2661 e54.2129e53.1597e52.1064e51.0532e50.0H584 Min图7装置等效应力物体质心经过的平面:11 mi/ =u+ XXtan sin m?1-A +x0tan( 1

20、4)将被测物体右侧与V型支承对齐，通过倾角仪再次得到倾斜角度，方向为负，以正值代入计算。得到质心经过的另一平面:如图8所示，为装置的等效弹性应变示意图，由 等效应力得到等效应变。11m1/ =u + Unit: Pa9.479e5 Max8.4258e57.3725e56.3193e55.2661 e54.2129e53.1597e52.1064e51.0532e50.0H584 Min图7装置等效应力物体质心经过的平面:11 mi/ =u+ XXtan sin m?1-A +x0tan( 14)将被测物体右侧与V型支承对齐，通过倾角仪再次得到倾斜角度，方向为负，以正值代入计算。得到质心经过的

21、另一平面:如图8所示，为装置的等效弹性应变示意图，由 等效应力得到等效应变。11m1/ =u + xxtan sin-A +x0tan( 15)将平面向右平移,使该平面与上一个平面在同 一个坐标系下，得到平移后的平面。将被测物体旋转90,后侧与V型支承对齐，根 据倾角计算出质心经过的平面：1-A+W011/ =k+XXtan1-A+W011/ =k+XXtan sin m(16)因为将被测物体旋转90,所以该坐标系中的u 方向对应旋转前坐标系中的-K方向,所以用-K代替 U进行计算,将上述三个平面联立，可求出一点，即 被测物体的质心。4测量实验与结果利用装置对几个标准件进行测量。标准件1参 数

22、如下:m = ( 96.6200.005) g,重心位置：(46.40土 0.02) mm,( 0.000.02) mm, ( 0.000.02) mm , -* = (0.229 00.000 1) kg-cm2，-/= ( 0.742 50.000 1) kgcm2 测量结果如表2所示4测量实验与结果表2标准件1的测量结果次数12345m/g96.6196.7096.7296.6596.58u / mm46.2346.3046.7646.2946.67/ / mm0.09-0.05-0.17-0.120.18k / mm-0.14-0.03-0.130.120.21U/( kg-cm2)0

23、.229 70.230 80.229 20.227 10.227 6/( kg-cm2)0.741 30.740 00.746 90.743 60.743 0标准件2参数如下:m =309.000.005 g,重心位置 K 60.000.02) mm,( 0.000.02) mm,( 0.000.02) mm,-. = ( 2.325 50.000 1) kg-cm2,-/ = ( 4.870 8 0.000 1) kg cm2 测量结果如表3所示。表3标准件2的测量结果次数12345m/g309.06309.01308.95308.93309.08u / mm59.7260.0459.806

24、0.1859.72/ / mm0.08-0.07-0.20-0.080.10k / mm0.170.060.19-0.10-0.23- /( kg-cm2)2.314 12.307 62.327 32.310 62.309 9Jy/( kg-cm2)4.887 64.906 64.838 94.895 44.896 8标准件3参数如下:m = 497.090.005 g,重心位置( 65.000.02 mm,0.000.02 mm,0.000.02 mm) , -=(6.833 00.000 1) kg-cm2 ,-/=( 10.417 50.000 1) kg-cm2 测量结果如表4所示。标

25、准件1通过扭摆法测量结果如表5所示，扭 摆法中质心与转动惯量是两套系统分别测量。转动 惯量测量范围0.1 kg-cm2到100 kgcm2，质心测量 范围为10 g到1 kg表4标准件3的测量结果次数12345m/g次数12345m/g497.05497.03497.08497.04497.01u / mm65.5164.4865.0365.0664.90y / mm0.21-0.080.120.02-0.21k / mm0.22-0.030.090.140.11J /( kg-cm2)6.775 66.893 86.848 06.870 66.871 3Jy/( kg-cm2)10.513 910.457 610.432 610.452 410.403 5表5标准件1的测量结果次