普通高等学校招生全国统一考试第六次适应性训练

1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试第六次适应性训练数 学（理科）第卷选择题（共 50 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5 分，共 50 分）1若a1bi (a,bR, i 表示虚数单位） , 则 ab1iA 9B 3C-9D-32已知全集 U R ，若函数 f ( x) x23x 2 ，集合 Mx | f (x) 0 , N=x | f (x)0，则MCUN=A 23 ,2B 23,2C 23,2D 23,23某个容器的三视图中主视图与侧视图相同， 其主视图与俯视图如图所示，则这个容器的容积为（不计容器材料的厚度）A 73B 3

2、7C 76D 764在平面直角坐标系中，由x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴、曲线y ex 以及该曲线在 x a(a1) 处的切线所围成图形的面积是A eaB ea1 C 12 eaD 21 ea15在 ( xyz)8的展开式中，合并同类项之后的项数是A16B28CC82D C112y06在平面直角坐标系中，若不等式组y2x表示一个三角形区域，则实数ky k ( x 1)1的取值范围是A,1B 0,C 0,22,D,10,22,7在区间 0,10 内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间0,10 内的概率是A 1B 10C4D40108已知 a0 且 a1， f ( x) x2ax ，当 x

3、1,1 均有 f ( x)21，则实数 a 的取值范围是A 0, 212,B 41,11,4 C 12,11,2 D 0,144,9等差数列a中有两项 am 和 ak满足 am1, ak1 （其中 m, kN，且 mk ），nkm则该数列前mk 项之和是A2B mk 1C m kD 2m k22mk 1x2y 21(a0, b0) 上一点， F1 、 F2 是它的左、右焦点，若10已知 P 点是双曲线 a2b2| PF2 | 3| PF1 |，则双曲线的离心率的取值范围是A1,2B 2,C 1,2D 2,第卷非选择题（共 100 分）二、填空题（本大题共5 小题，每小题 5 分，满分 25分，

4、把答案填写在答题卡相应的位置）11已知 yf x 2为定义在 R 上的偶函数，且当x 2 时， f xx2 8x 10 ，则当 x 2 时， fx 的解析式为.12执行如图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最小值是.13把函数f ( x)sin x 图像上每一点的横坐标缩小为原来的 13 （纵坐标不变） ，再把所得的图像向左平移6 个单位，所得图像的解析式为：；14已知抛物线恒经过A( 1,0) 、 B(1,0) 两定点，且以圆22点 F 的轨迹方程为：；15选做题 （请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（ 1）（选修4 4 坐标系与参数方程）已

5、知点A是曲线2sin上任意一点， 则点A到直线sin(3 )4 的距离的最小值是.（ 2 ）（ 选 修4 5不 等 式 选 讲 ） 已 知 2xy1, x0, y0,则 x2 y 的 最 小xy值.（ 3）( 选修 41 几何证明选讲） 如图，ABC 内接于O，ABAC ，直线 MN 切O于点，BE/MN交AC于点E.若AB6, BC 4,则 AE 的长为；C三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6 小题，共 75 分）16（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且满足 (2a c)cos Bb cosC（ 1）求角 B 的大小；

6、（ 2）设向量 m (sin A,cos2 A), n(4k,1) ，当 k1 时， m n 的最大值是 5，求 k 的值17（本小题满分12 分）为了缓解高考压力，某中学高三年级成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5 人，现从中选 2 人 . 设 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且 P( 0) 107 求文娱队的人数；求 的分布列并计算 E 18（本小题满分12 分）如图，三棱锥 P ABC中，PC 平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC， D 是 PB上一点，且 CD 平面 PAB1）求证： AB 平面 PCB；2）求异面直线 AP 与 B

7、C所成角的大小；3）求平面 PAC和平面 PAB所成锐二面角的余弦值 .19（本小题满分 12分）已知函数 f ( x) (2 x2kx k ) e x .（ 1）当 k 为何值时，f ( x) 无极值；（ 2）试确定实数 k 的值，使 f ( x) 的极小值为 0.20. （本小题满分13 分）双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为2 6 ，相应于焦点F（ c,0 ）（ c 0）的准线 l 与 x 轴交于点A，且 |OF|=3|OA|,过点 F 的直线与双曲线交于P、Q两点 .1）求双曲线的方程；2）若 AP AQ =0，求直线 PQ的方程 .21（本小题满分14分）若曲线C： xy 1 ，过

8、C 上一点 An ( xn , yn ) 作一斜率为kn1的直线交曲线C于另一点 An 1( xn 1, yn 1 ) ，点 A1 , A2, , An , 的横坐标构成数xn2列 xn ，其中 x111 7求 xn 与 xn 1 的关系式；(2)1， anf ( xn ) ，求 an 的通项公式；若 f (x)x2(3)求证： ( 1)x1( 1)2 x2( 1)n xn 1 (n N* ) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试第六次适应性训练数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：选择题答案题号12345678910答案BABDDADCBC二、填空题 :（一）必做题11 f ( x)

9、 x26 ； 12 8； 13 f (x)cos3 x ； 14 x2y21(x2) 43（二）选做题15 (1) 5 ； (2)9；(3) 10 23三、解答题（本小题满分 12 分）解： (1)(2ac)cos B b cosC ,(2sin Asin C )cos Bsin B cos C,2sin Acos Bsin B cosCcos B sin C ,2sin Acos Bsin A.（3 分）又在 ABC 中， A, B(0, ) ，所以 sin A0,cos B21 ，则 B 3 （5分）(2)m n4k sin Acos2 A2sin 2 A4k sin A 1,m n2(s

10、in Ak)22k21. （8 分）又 B3，所以 A(0, 23 ) ，所以 sin A (0,1 .所以当 sin A1(A2 ) 时， m n 的最大值为 4k 1 . （ 10 分）4k 15, k3（ 12 分）2（本小题满分 12 分）解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7x) 人，那么只会一项的人数是 (72x) 人 .（1） P(0)1P(0)107 ，P(0)3C722 x33 分）10 ，即C72，（x10(72x)(62x)3 ,x 2 .故文娱队共有5 人 . （5 分）(7 x)(6x)10（2） P(0)103, P(1)C21 C3153，P( 2)

11、C22101（ 8 分）C52C52的分布列为012P33110510 （ 10 分）E033214（ 12 分）101 510518（本小题满分12 分）解法一 (1) PC平面 ABC， AB平面 ABC， PC AB (2 分 )PCD 平面 PAB， AB 平面 PAB， CD AB (3 分 )又 PC CD C ， AB 平面 PCB (4 分 )(2) 过点 A 作 AF/BC ，且 AF=BC，连结 PF， CF则 PAF 为异面直线 PA与 BC所成的角(6 分)DE由（ 1）可得 AB BC， CFAF由三垂线定理，得 PFAFB则 AF=CF= 2 ， PF=PC2CF

12、26，在 Rt PFA 中， tan PAF= PF6= 3 ，CAAF2异面直线 PA与 BC所成的角为(8 分)F3（ 3）取 AP的中点 E，连结 CE、 DE PC=AC=2， CEPA，CE=2 CD 平面 PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPACED 为二面角 C-PA-B 的平面角由 (1) AB 平面 PCB，又 AB=BC，可得 BC= 2 在 RtPCB 中， PB= PC2BC 26，CDPCBC 2PB(10 分)2263在 RtCDE 中，2CD36cos CEDsin CED=2CE3解法二：（1）同解法一由(1) AB平面 PCB， PC=AC=2，又 AB=B

13、C，可求得 BC= 2 以 B 为原点，如图建立坐标系33(12 分)Pz则（，2 ，），（ 0， 0， 0），C（ 2 ， 0），P（D2 ， 2）AP( 2,2,2) ， BC(2,0,0) (7分 )则AP BC22 +0+0=2CAP BC21 cosAP, BC=xAPBC2 222异面直线 AP与 BC所成的角为(8 分)3（ 3）设平面 PAB的法向量为 m( x, y, z) AB (0,2,0)， AP( 2,2,2) ，AB m0,即2y0,解得y 0,则BAy令 z = -1,得AP m0.2x2y 2z0.x2zm = (2 ， 0，-1) 设平面 PAC的法向量为 n

14、 =( x , y, z ) PC(0,0,-2) ， AC(2, 2,0) ，PCn 0,2z 0,z0,=1,得 n= (1，1，0)则即2y 解得x 令 xAC n 0.2x 0.y cos,m n23 (12 分 )m n=m n323（本小题满分 12 分）（ 1） f / (x) (4 x k)e x(2x2kxk )e x2x2(k4) x2ke x2( x 2)( xk )ex2 k 4 时， f / (x)2(x2)2 e x 0 ，此时， f ( x) 无极值 . （5 分）（ 2）当 k4时，由 f / ( x)0 得 x 2或 xk .当 x 变化时， f / (x)

15、、 f2(x) 的变化如下表： 当 k4 ，即 k2 时2x(, k )2f ( x)f ( x) 当 k4 ，即 k2 时2x(,2)( x) f ( x) k4 时，由 f ( k )0k 42时，由 f (2) 0得综上所述，k0 或 8 时，k( k , 2)2(2, )2200极小值极大值2(2, k )k( k , )22200极小值极大值得 2 k 2k 2k 0 ， k 0428 k 0 ， k8f ( x) 有极小值 0 .(12 分)20.（本小题满分13 分）解（ 1）由题意，设曲线的方程为x 2y 2b 2 = 1 （ a 0,b0）a 2a26c222由已知3a2解得

16、 a =3， c = 3 所以双曲线的方程为xyc3= 1(6 分)c6（ 2）由（ 1）知 A（ 1， 0）， F（ 3， 0），当直线 PQ与 x 轴垂直时， PQ方程为 x = 3 .此时 ,AP AQ 0, 应舍去 .当直线 PQ与 x 轴不垂直时 , 设直线 PQ的方程为 y =k ( x3).x 2y 2由方程组1 得k22x262926036k xkyk x 3由于过点 F 的直线与双曲线交于P、两点， 则 k 2 ，即k2 ，由于 36 k 4 -4( k 2 -2)(9k 2 +6)=48( k 2+1) 0 即 k R. k R 且 k2（*）(分)设（ x1 ， y1 ）

17、，（ x2 ， y2 ），则x1x26k 21k 22x1 x29k 262k 22由直线 PQ的方程得 y1 = k （ x1 -3 ）， y2 = k （ x2 -3 ）于是 y1 y2 = k 2 （ x1 -3 ）（ x2 -3 ） =k 2 x1 x2 -3 （ x1 + x2 ） + 9（ 3） APAQ = 0 ，（ x1 -1 ， y1 ）（ x2 -1 ， y2 ） = 0即 x1 x2 - （ x1 + x2 ） + 1 + y1 y2 = 0（ 4）由（ 1）、（2）、（ 3）、（ 4）得9k 266k21k29k266k29 = 0k22k22k223k22整理得 k 2 =1 ， k =2满足（ *）22直线 PQ的方程为 x -2 y -3 = 0或 x +2 y -3 = 0 (13 分 )21（本小题满分14 分）11解：（ 1） knyn 1ynxn 1xn1xn 1xnxn 1xnxn 1xn xn 1 xnxn2（ 4 分）（ 2） an1则 an 111xn1 2anxn,xn 12xn22 xn22xn an112（an1）（ 8 分）33又 a112 0 an1为等比数列33 an1（-2 ）n3 ann1（ 10 分）（-2 ）3（ 3） xn