微分方程模型-人口模型、传染病模型课件

1、微分方程模型介绍微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。微分方程模型介绍微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多微分方程模型介绍微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学（特别是几何）模型，物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船

2、技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，微分方程模型介绍微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有微分方程模型介绍 交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。微分方程模型介绍 交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时微分

3、方程模型微分方程建模的对象 涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑”、等等词语的确定性连续问题。微分方程建模的基本手段 主要包括下面几种方法，但是大家必须掌握元素法 微分方程模型微分方程建模的对象人口模型人口模型背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.

4、0研究人口变化规律控制人口过快增长 如何预报人口的增长背景 年 1625 1830 指数增长模型马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式x(t) 时刻t的人口基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数今年人口 x0, 年增长率 rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式x(参数估计MatLAB命令线性拟合polyfit()或者非线性拟合直接lsqcurvefit()拟合出即可最小二乘拟合出 r参数估计MatLAB命令线性拟合polyfit()或者最小二指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世

5、纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线, x增加先快后慢x0 xm

6、/2阻滞增长模型(Logistic模型)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线, x参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 利用统计数据用最模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281

7、.4 (百万)模型应用预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为2 -Logisitic模型调整 ，可使阻滞因子变大或缩小。更复杂的人口模型 Gompertz模型西北大学数学系- -Logisitic模型调整 ，可使人口模型的推广放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断）经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等）动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题）浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染

8、病的传播与流行等）Malthus 模型和 Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。Usher模型人口模型的推广放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代Logistic 模型在经济领域中的应用 动植物的生长规律 新产品的销售 广告的宣传作用Logistic 模型在经济领域中的应用传染病模型传染病模型动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内

9、在规律或用类比法建立微分方程动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征传染病模型问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型传染病模型问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模? 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数

10、N不变，病人和健康 人的 比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病建模 日接触率SI 模型模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻 (日接触率) tmLogistic 模型病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻 (日模型3传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS 模型3）病人每天治愈的比例为 日治愈率建模 日接触率1/ 感染期 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康

11、人可再次被感模型3i0i0接触数 =1 阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至0P2: s01/ i(t)单调降至01/ 阈值si101D模型4SIR模型相轨线 及其分模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段 (日接触率) 卫生水平(日治愈率) 医疗水平传染病不蔓延的条件s01/ 的估计 降低 s0提高 r0 提高阈值 1/ 降低 (=/) , 群体免疫模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段 (日接触率) 模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例xs0i0P1i0 0, s0 1 小, s0 1提高阈值1/降低被传染人数比例 xs0 - 1/ = 模型