拉氏变换课件

1、13.1 拉普拉斯变换一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义象函数(transform function) F(s) 原函数(original function) f(t) t 0,)时域(time domain)复频域 (complex frequency domain)复频 率 (complex frequency)第1页/共59页13.1 拉普拉斯变换一、拉氏变换(Laplace 拉氏变换对(Laplace pairs)一 一对应记号Lf(t)表示取拉氏变换L-1 F(s)表示取拉氏反变换定义式(Laplace transformation)(inverse

2、Laplace transformation)第2页/共59页拉氏变换对记号Lf(t)表示取拉氏变换L-1 F(s)积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。当f(t)含有冲激函数项时，此项 00+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别 象函数F(s) 用大写字母表示 ，如 I(s)，U(s)原函数f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )注意为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变换定义式中积分下限从 0- 开始第3页/共59页积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。积分下限从0+ 二、拉氏变换存在条件不同的 f (t)，0的值不

3、同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。0j0收敛坐标收敛轴收敛区第4页/共59页二、拉氏变换存在条件不同的 f (t)，0的值不同，称 电工中常见信号为指数阶函数，即 由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论中一般不再写出其收敛范围。返回目录第5页/共59页电工中常见信号为指数阶函数，即 由于单边拉氏变= 113.2 常用函数的拉普拉斯变换第6页/共59页= 113.2 常用函数的拉普拉斯变换第6页/共59页第7页/共59页第7页/共59页1f1(t)e-tt0求图示两个函数的拉氏变换式1f2(t)e-tt0解 由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个函数的拉氏变换 式相同当取上式的反变换时

4、，只能表示出区间的函数式返回目录第8页/共59页1f1(t)e-tt0求图示两个函数的拉氏变换式1f2(t13.3 拉普拉斯变换的基本性质一、线性(linearity)性质例1例2例3第9页/共59页13.3 拉普拉斯变换的基本性质一、线性(linearit二、原函数的微分(differentiation)例1例2第10页/共59页二、原函数的微分(differentiation)例1例2第三、原函数的积分(integration)例第11页/共59页三、原函数的积分(integration)例第11页/共59四、时域平移(time shift)f(t) (t-t0)tt00tf(t-t0)

5、(t-t0)t00f(t) (t)t0f(t) (t)f(t-t0) (t-t0)平移f(t) (t-t0)不是平移第12页/共59页四、时域平移(time shift)f(t) (t-t0)例1 求图示函数的拉氏变换式例2 求图示函数的拉氏变换式1Ttf(t)0TTf(t)0第13页/共59页例1 求图示函数的拉氏变换式例2 求图示函数的拉例3 周期函数(periodic function)的拉氏变换 设f1(t)为第一个周期的函数.tf(t)1T/2T0第14页/共59页例3 周期函数(periodic function)五、 复频域平移(frequency shift)第15页/共59页

6、五、 复频域平移(frequency shift)第15页/六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理初值定理若Lf(t)=F(s)，且f(t)在t = 0处无冲激，则终值定理f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且例1例2例3第16页/共59页六、初值(initial-value)定理和终值(final例1例2例3返回目录第17页/共59页例1例2例3返回目录第17页/共59页13.4 拉普拉斯反变换一、由象函数求原函数(1)利用公式(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表象函数的一般形式：二、将F(s)进行部分分式展开(partial-fraction e

7、xpansion)f(t)=L-1F(s)较麻烦第18页/共59页13.4 拉普拉斯反变换一、由象函数求原函数(1)利用公等式两边同乘(s-s1)=0第19页/共59页等式两边同乘(s-s1)=0第19页/共59页ki也可用分解定理求等式两边同乘(s-si)，应用洛比达法则求极限第20页/共59页ki也可用分解定理求等式两边同乘(s-si)，应用洛比达法则例1第21页/共59页例1第21页/共59页例2用分解定理例3m n，用长除法，得第22页/共59页例2用分解定理例3m n，用长除法，得第22页/共59页k1 , k2也是一对共轭复数假设只有两个根可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2

8、设第23页/共59页k1 , k2也是一对共轭复数假设只有两个根可据前面介绍的两例法一：部分分式展开，求系数第24页/共59页例法一：部分分式展开，求系数第24页/共59页法二：将F2(s)改写为(s )2 + 2第25页/共59页法二：将F2(s)改写为(s )2 + 2第25页/共等式两边乘第26页/共59页等式两边乘第26页/共59页例1例2等式两边乘第27页/共59页例1例2等式两边乘第27页/共59页第28页/共59页第28页/共59页一般多重根情况返回目录第29页/共59页一般多重根情况返回目录第29页/共59页一、电路元件的运算形式(operator form)电阻Ru = R

9、i13.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型+ u -i(t)R+ U(s) -I(s)R取拉氏变换第30页/共59页一、电路元件的运算形式(operator form)电阻Ru电感LiL+ uL -L+ -sLUL(s)IL(s)-+取拉氏变换sL+ -UL(s)IL(s )第31页/共59页电感LiL+ uL -L+ -sLUL(s)IL电容C + uC -iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+-+ 1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏变换第32页/共59页电容C + uC -iCIC(s)1/互感M 取拉氏变换ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-

10、+-I1(s)sL1sL2sM+-+-U1(s)I2(s)+-第33页/共59页互感M 取拉氏ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)受控源+-U1(s)+- RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1u1+-二、电路定律的运算形式第34页/共59页受控源+-U1(s)+- RI1(s)U1(s)+-U2(+u-iRLC设电路无初始储能+U(s)-I(s)RsL1/sC运算形式的欧姆定律运算阻抗(operational impedance)运算导纳(operational admittance第35页/共59页+u-iRLC设电路无初始储能+U(s)-I(s)RsL1/三

11、、运算电路模型1. 电压、电流用象函数形式2. 元件用运算阻抗或运算导纳3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示时域电路RRLCi1i2E(t)+-运算电路RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+-第36页/共59页三、运算电路模型1. 电压、电流用象函数形式2. 元件用运算uC(0-) = 25V iL(0-) = 5A时域电路t =0 时打开开关例52F2010100.5H50V+-uC+ -iL换路后 运算电路0.5sUC(s)20-+1/2s25/s2.55IL(s)+-解返回目录第37页/共59页uC(0-) = 25V 时域电路t =0 时打开开关例513.6 拉普拉斯变换法

12、分析电路步骤 1. 由换路前电路计算uC(0-) , iL(0-) ；2. 画运算电路模型；3. 应用电路分析方法求出待求变量的象函数；4. 反变换求原函数。t = 0时闭合S，求iL，uL。例1200V300.1H10-uC+1000FiL+-uL+-S第38页/共59页13.6 拉普拉斯变换法分析电路步骤 (2) 画运算电路200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-解第39页/共59页(2) 画运算电路200/s 300.1s0.5101000200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-第40页/共59页200/s

13、300.1s0.5101000/s100/sI1(4)反变换求原函数校核初值和终值第41页/共59页(4)反变换求原函数校核初值和终值第41页/共59页第42页/共59页第42页/共59页要考虑初值思考：uL是哪两端 的电压？200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-UL(s)+-第43页/共59页要考虑初值思考：uL是哪两端200/s 300.1s0.51例2 求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC (t) 。RCuC (t)iC+-R1/sCUC(s)1IC(s)+-第44页/共59页例2 求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC (t)tuC(V)

14、0tiC返回目录第45页/共59页tuC(V)0tiC返回目录第45页/共59页13.7 网络函数(network function)一、定义单个独立源作用的线性网络零 状态e(t)r(t)E(s)R(s)(转移函数(transfer function)第46页/共59页13.7 网络函数(network function)一、RC+_+_uS例uCR1/sC+_+_US(s)UC (s)网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；网络函数是实系数的有理函数。第47页/共59页RC+uS例uCR1/sC+US(s)UC (s)网络函1. 策动点函数策动点阻抗策动点导纳2. 转移函数(传递函数

15、)转移导纳转移阻抗转移电压比转移电流比二、网络函数的具体形式U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-第48页/共59页1. 策动点函数策动点阻抗策动点导纳2. 转移函数(传递函数三、单位冲激响应与网络函数的关系零状态(t)h(t)e(t)r(t)若单位冲激响应h(t)已知，则任意激励e(t)产生的响应r(t)可求。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对返回目录第49页/共59页三、单位冲激响应与网络函数的关系零状态(t)h(t)e(t13.8 网络函数的极点(pole)和零点(zero)一、复频率平面j在复平面上用“”表示极点，用“。”表示零点。极点。零点第50页/

16、共59页13.8 网络函数的极点(pole)和零点(zero)一、j。2-3例绘出其极零点图(pole-zero diagram) -1j-j0第51页/共59页j。2-3例绘出其极零点图-1j-j0第51页/共5二、极点分布与冲激响应的关系H(s)在s平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对第52页/共59页二、极点分布与冲激响应的关系H(s)在s平面上极点位置不同，j极点的位置决定冲激响应的波形极点和零点共同决定冲激响应的的幅值第53页/共59页j极点的位置决定冲激响应的波形极点和零点共同网络函数极点的位置决定了系统的稳定性(stability) 全部极点在 s 左半平面的电路动态响应是稳定的；有位于 s 右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点在 s 平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界稳定的。网络函数极点是该网络变量的固有频率 R(s)=H(s)E(s)设D(s) 和E(s)没有相同的极点第54页/共59页网络函数极点的位置决定了系统的稳定性(stability) 由网络函数极点形成的 自由分量由激励函数极点形成的 强