机械工程测试技术5数字信号处理2

1、信号的截断、能量泄漏用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时 间片段进行分析，这个过程称信号截断。为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情 况。设有余弦信号x(t), 用矩形窗函数w(t)与其相乘，将截断信号谱 XT()与原始信号谱X()相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱. 原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。将截断信号谱 XT(

2、)与原始信号谱X()相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱. 原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏误差能量泄漏实验：克服方法之一：信号整周期截断DFT与FFT傅里叶变换的四种基本形式1连续时间与连续频率的傅里叶变换连续傅里叶变换x(t )X( txa (t)0)exa (t)0X(f) x()efXa ( f)Xa ( f)0aaaa连续非周期信号的傅立叶变换F () F () f (t)e jtdtf0 (t)EFTt例：E0F) F) ESa 2从傅立叶积分得到2连续时间与离散频率的傅里叶

3、变换傅里叶级数xp (t) kX(kf1 txp (t)xp (t)0T1 1X(kf1 )1fX(kf1 )0p1 x(t)ej2X(kf1 )0p0FTFFTF)E1Fn Fn 1T12f (t).ejn t1TTdt 112ETSa1 n1E2例：FT FT f (t ) Fn n1 )n 0周期重复FT1nEf (t)FStEE1 nSan2 n)13离散时间与连续频率的傅里叶变换序列傅里叶变换xa(nT)x(xa(nT)x(n)0Ttn0/ T1x(n) X(e)ejndX(ej)x(n)en例：从非周期信号抽样得到离散非周期序列f (t)1F)FT11TF n)ss nFT(s)n

4、s0s相卷 1)TsFTs0s (t (t nT)Tsn0f(t)Tsst相乘0t频域周期重复时域抽样p() s ns )4离散时间与离散频率的傅里叶变换离散傅里叶级数x(n)0tnX (k)0f例：从连续周期信号的抽样得到 Ef (tEf (t)T1tFTF)E1 2E 1TstEE1 TnSan n)s21第一个域离散函数第二个域周期函数连续函数且易证：非周期函数一个域中的周期函数的周期)另一个域中离散函数的离散间隔从离散傅立叶级数(DFS)叶变换(DFT)1效仿连续周期信号有傅立叶级数，记作：1xp (t) Fnenjn1t TT xT2(t)exT2jn1t dtN离散周期序列也有傅立

5、叶级数，记作：Nxp (n)ak k N 12 knN 1jNakjNk 02 knjjN周期性以N为周期jjN1pakpn0 x(n)e2 kn 1NX p (k)X(kX(k) pNx(n)ejkn2Npn 1n0 x(n) 1Nk 0NX(kjkn2Nppk 1N周期序列的基频是Nej( 2 )nNej(2N)nkKp(k)N谐波成分中只有N个是独立的NNej(N)nkej()n(kNp(k)周期的xp xp (n)N0N2NXXp(k)0N2N有限长序列是周期序列的一个周期有限长序列x有限长序列x(n) x(n)0(0 n N 1)(other)x(n)n 1的N个值x(n)可看成是周

6、期序列的主值序列，记作x(n) xp (n)GN (n)周期序列x(n) xp(n)0(0 n N (other)当n 1叫做xp(n)的主值周期， x(n) xp (n)GN (n) 有限长序列的以N为周期的周期延拓xp (n) x(n)NX X p(k)的主值序列X(k也是周期性的，相当于有限长序列周期延拓Xp(k)X(k)N0 N 1时，其主值序列相当于一个有限长序列X(k) X p (k)GN(k)X(kx(n)都取主值周期，得到离散傅立叶变换(DFT)对X(k)N1j Nn0N1Nn0NnhereWj 1NN1XX(k)ej Nk0 1NN1X(k)Wnkk0k 周期为N和周期为2N

7、的不同W当主值周期为0N-1时，WN j2eNDFTx(DFTx(n)Nn0N x(n)Wnk N当主值周期为02N-1时，W2 N j2e2NDFTx(nDFTx(n) 2 Nn0nk2 N2Nx(n)W2Nn0 x(n)WnNk2（接下页）2N X(k) DFTx(n)x(n)W nk2NN 2N2N 2Nn0 x(n)W nk x(n k (nN )n0 N 2N2NnNkN 1kn2 n22x(n)Wn k WkNn0N2n02N2N(1)kX1NkDFT 小结是的主值序列DFT是严格按傅立叶分析的概念得来的只是一种借用形式，一种算法用DFT计算信号的频谱时，采样频率必须大于两倍的信号

8、最高截止频率对周期信号要取一个整周期Nxp (n)DFSnDFSN2NX p (k)周期性以N为周期0 x(n)0NNk2n2DFTNDFT共轭性以N/2共轭X (k)0Nk快速傅立叶变换快速傅立叶变换(FFT)是离散傅立叶变换的一种 有效的算法，通过选择和重新排列中间结果，减小 运算量。展开各点的DFT计算公式：XR(1)=x(0).cos(2pi*0*1/N)+x(1).cos(2pi*1*1/N)+x(2).cos(2pi*2*1/N). XR(2)=x(0).cos(2pi*0*2/N)+x(1).cos(2pi*1*2/N)+x(2).cos(2pi*2*2 /N).有大量重复的co

9、s、sin计算，FFT的作用就是用技 巧减少cos、sin项重复计算。当采样点数为1024点,DFT要求一百万次以上计算量，而FFT则只要求一万次。以DFT为基础的数字信号分析采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算出所有频率点值，设频率取样间隔为：f = fs / N频率取样点为0,f,2f,3f,.，该公式就是离散傅立叶计算公式(DFT)该公式就是离散傅立叶计算公式(DFT)1、栅栏效应T算法计算信号频率为T算法计算信号频率为Fs。则计算得到，1，2，N/2为提高效率,通常采用FF率分量与频率取样点谱，设数据点数为N，采样频的离散频率点为:Xs(Fi) ，Fi = i*Fs/ N , i = 不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。00ff栅栏效应误差实验：2 能量泄漏与栅栏效应的关系频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。从这个意义上说，能量泄漏误差不