最值模型阿氏圆

1、最值模型阿氏圆“胡不归”问题中，“kPA+PB嚎值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.所谓邛可氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念。在平面内，到两个定 距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆。|如下图：已知A、B两点，点P满足PA： PB=k （蜉1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”图形为圆.例题1：如图，在RtAABC中，匕C=90，AC=4, BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则1 PA PB的最小值为.2

2、法一：构造相似三角形圆C半径为2, CA=4,连接CP，构造包含线段AP的CPA，在CA边上取点M使得CM=2,连接 PM，可得CPAACMP，故 PA： PM=2:1,即 PM= -PA2问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可.【问题剖析】因为圆C半径为2, CA=4，比值是1:2,所以构造的是-PA2法二：阿氏圆模型P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2,不妨让P点与D点重合，此时DM=1 DA =1，即可确定M点位置22 例题2：如图1所示，图O的半径为R，点A、B都在图O外，P为图O上一动点，已知R= 52解决办法:如图2,在线段OB

3、上截取OC使OC= 5 R，aBPODPCO则有| PB=PC“PA+5 PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。问题转化为“PA+PC”最小值，直接连AC即可。【技巧总结】计算PA + k PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PA + kPB的值最小，解决步骤具体如下:如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB、OP ,计算出这两条线段的长度比 =kOBO ,PC 、在OB上取一点C，使得=k，即构造IPOM11BOP，则 =k，PC = k PBO

4、PPB4.则PA + k PB =PA + PC AC，当A、P、C三点共线时可得最小值。5.问题转化为“PA+PC”最小值，直接连AC即可。例题3如图，已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，则PD - PC的最大值为2【解析】 当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造-PC，在BC上取M使得此时2PM= 1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=1 PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值.2连接PD，对于PDM，PD-PMDM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值.问题转化连接PD故当D、M、P共线时DM为最大值跟踪练习:1.如图，四边形

5、展CQ为边长为4的正方形，*的半径为2, P是上一动点，则PD+PC的最小值为2.如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，UB的半径为2，P是OB上一动点，则 形PD+4PC 的最小值为3.如图，半圆的半径为1, AB为直径，AC. BD为切线，AC=1, BD=2, P为AB上一动点，PC+PDPC+PD的最小值为(1)如图1,在口ABC中，AB=AC, BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上 的中线CE,并证明BD=CE：如图2已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点PA = 3求PC-PD的最小值；如图3，在矩形ABCD中，AB=18, BC=25，点M是矩形内部一动点，MA

6、 = 15，当 MC皂MD最小时，画出点M的位置，并求出MC皂MD的最小值.图1图2g|3如图，RtDABC, ACB=90, AC=BC=2,以 C 为顶点的正方形 CDEF (C、D、E、F 四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动，且CD=丑，连接AF, BD求证：UBDC口口AFC；J2当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BDAD的值；J2直接写出正方形CDEF旋转过程中，BDAD的最小值.如图1,抛物线y=axi+ (a+3) x+3 (岸0)与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点瓦在 x轴上有一动点E (m, 0) (0m4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点M

7、交抛物 线于点P,过点P作PMUAB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设U(2)设UP的周长为q, AEN的周长为C2,=g，求m的值;5如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE,旋转角为a (0a90），连接 EA、EB,求 EA的最小值.V*7.如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A (-4,-4), B (0, 4)两点，直线AC： y=-1 x-6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F,交抛物线于点G.求抛物线y= - x2+bx+c的表达式；连接GB, EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；在y轴