一道三角题的多种解法

1、一道三角题的多种解法题 目以的 斜 边为一边向形外作正方形， 设，求证:.这是笔者从华中师范大学彭翕成老师的博客中看到的一道题目， 该题首先是由彭老师发给史嘉老师的并且要求用向量进行解答， 然后史嘉老师将此题发到人教网上征求解答， 引起网友们的强烈反响和热烈参与， 解法多种多样精彩纷呈， 笔者从中受益匪浅， 现将有关解法和本人的肤浅体会整理成文与大家分享.一、路漫漫其修远兮，吾将上下而求索图1证法1 如图1，过点作于点交于点，设，设正方形的边长为1，则，.于是. 同理，.由余弦定理得，图 2.由上易证.证法 2 以的中点为坐标原点建立直角坐标系如图2 所示，设正方形的边长为2.依题意点在以为直

2、径的上半圆上，设点的坐标为.由向量夹角公式知，要证.只要证，只要证.由，得.由，得.所以.又，.所以，所以，故.证法3 以的中点为坐标原点建立直角坐标系如图2 所示，设正方形的边长为2，依题意点在以为直径的上半圆上，设点的坐标为.因为，所以要证，只要证，即 要 证，两边同除以，则只要证.由到角公式得，.故.二、“弦图”背景会当临绝顶，一览众山小该题文字简洁解法多样且背景深厚.上述证法运算量较大，若将其补成一个正方形如图3所示，补形后不仅图形对称完美，而且证明思路更加清晰证法更加简洁直观.证法4 同法2 只要证.如图3，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设直线图 3相交于点，易证四边形

3、是正方形，且四个角上的四个直角形全等，此图就是我国古代数学家赵爽用于证明勾股定理的“弦图 ”.设，则，则.由向量数量积的几何意义得，所以.所以.所以.故.证法 5 同法 4 补形成正方形， 由直角三角形的边角关系得，所以.由余弦定理得，.综上.证法6如图3，因为，所以要证，只要证，即要证.而，所以，故.证法7同法6 只要证，两边同除以，则只要证，而，故.赵爽弦图2002 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的 “弦图 ”，体现了数学研究中的继承和发展 .赵爽的 “弦图 ”隐含了勾股定理的两种面积证法，其证法如下:证法1 由 “弦图 ”知，边长为的正方形面积等于边长为的正

4、方形面积减去4 个两直角边为的三角形面积，即.证法 2 由 “弦图 ”知，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积加上4 个两直角边为的三角形面积，即.赵爽的 “弦图 ”证法优美精巧是证明勾股定理最著名的证法之一，特别是 “弦图 ”一图蕴涵两种证法更是举世无双. “弦图 ”是证明勾股定理的无字证明，充分体现了我国古代的数学文明和数学文化， 本题补形后的 “弦图 ”不仅图形对称完美， 而且证明思路更加清晰证法更加简洁直观，使我们再次领会到 “弦图 ”的魅力和丰富的数学内涵 .出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身

5、于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能 ”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也； 亲小人， 远贤臣，此后汉所以倾颓也。 先帝

6、在时，每与臣论此事， 未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以