四川省绵阳市古城中学高三数学理月考试卷含解析

1、四川省绵阳市古城中学高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正方形ABCD的边长为2，H是边AD的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足的概率为A. B. C. D. 参考答案：A【分析】由题意结合几何概型计算公式求得相应的面积的数值，然后求解概率值即可.【详解】如图所示，以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，可拆为一个扇形与两个直角三角形，其中扇形的半径为，圆心角为，两个直角三角形都是直角边为1的等腰直角三角形，其面积为，正方形面积，概率为，故选：A.【点睛】数形结合为几何概

2、型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.2. 过圆P：的圆心P的直线与抛物线C：相交于A，B两点，且，则点A到圆P上任意一点的距离的最大值为（ ）A B2 C D参考答案：C由题意可知：，设，不妨设点A位于第一象限，如图所示，则：，据此可得方程组：，解方程可得：，则，故点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为.本题选择C选项.3. 若实数列的前n项和为，则下列命题： （1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列； （2）数列是递增数列的充要条件是数列的

3、各项均为正数； （3）若（）是等比数列，则的充要条件是 其中，正确命题的个数是 （ ） A0个 B1个 C2个 D3个参考答案：4. 数列an的前n项和为Sn，若，则S5=( )A1BCD参考答案：D考点：数列的求和 专题：计算题分析：由=，利用裂项求和法能求出S5解答：解：=，S5=a1+a2+a3+a4+a5=1=故选D点评：本题考查数列前n项和的求法，是基础题解题是要认真审题，注意裂项求法的灵活运用5. 函数的图像大致是参考答案：A6. 已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若,则 （ ）A. B. C. D.参考答案：B 【知识点】函数单调性的应用；数值大小的比较. B3 E1解析

4、：，0,又，函数是上的奇函数,且在区间上单调递增，函数是上的增函数，.故选B【思路点拨】先判断的大小关系，再利用函数的奇偶性、单调性确定结论.7. 已知复数z满足1-z, 则z的虚部为A-1 B- C1 D 参考答案：C8. 下列说法错误的是 A“”是“”的充分不必要条件 B命题“若，则”的否命题是：“若，则”C若命题，则 D若命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题参考答案：A略9. 已知圆C：与双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）A B C D参考答案：B10. 函数的最大值是A. 1 B. 2 C. 4 D. 8参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分

5、,共28分11. 要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 种（用数字作答）.参考答案：120先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.12. 函数的定义域是_。（用区间表示）参考答案：略13. 已知函数，则方程f（x）=3的解为参考答案：1或2【考点】函数的零点【分析】由函数的解析式可得方程f（x）=3可化为，或分别求出这两个混合组的解，即为所求【解答】解：函数，则由方程f（x）=3可得，或解得 x=1，或 x=2，故答案为 1或214. 等差数列的首项为1，

6、公差不为0，且成等比数列，则_.参考答案：24 15. 展开式中，常数项是 参考答案：16. 将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 _; 参考答案：略17. （5分）（2012?广州一模）已知，则实数k的取值范围为参考答案：考点：微积分基本定理；一元二次不等式的应用专题：计算题；导数的综合应用分析：由定积分计算公式，算出的表达式，再解关于k的一次不等式，即可得到本题答案解答：解：=（）=（）（）=+1即2+14，解之得k2故答案为：点评：本题给出含有积分式子的范围，求参数k的取值范围，着重考查了定积分计算公式和不等式解法等知识，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题

7、，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数R.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围参考答案：(1) 的定义域为，. 1分(i)当时，恒成立，时，在上单调递增；时，在上单调递减； 2分(ii) 当时，由得，（舍去），当，即时，恒成立，在上单调递增；3分当，即时，或时，恒成立，在，单调递增；时，恒成立，在上单调递减；4分当即时，或时，恒成立，在单调递增；时，恒成立，在上单调递减；5分综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为

8、6分(2)由(1)知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又因为， 7分取，令，则在成立，故单调递增，（注：此处若写“当时，”也给分）所以有两个零点等价于，得，所以8分当时，只有一个零点，不符合题意； 当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；9分当且时，有两个极值，记， 10分，令，则.当时，在单调递增；当时，在单调递减故，在单调递增时，故11分又，由(1)知，至多只有一个零点，不符合题意综上，实数的取值范围为. 12分19. 已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，6）的距离之比均为（1）求曲线C的方程（2）设点P（1，2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且

9、直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值参考答案：【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C的方程（2）直线与圆的方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值【解答】（1）解：曲线C上的任意一点为Q（x，y），由题意得（2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，2）故可设PA：y+2=k（x1），（6分）由因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，同理，所以故直线BC的斜率为定值（12分）【点评】本题考查轨迹

10、方程，考查直线的斜率为定值的证明，考查学生的计算能力，是中档题20. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（1）先求出每个个体被抽到的概率，再用各个层的个体数乘以此概率，即得应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目（2）根据所有的抽法共有=15种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有=3种，由此求得抽取的2所学校均为

11、小学的概率解答：解：（1）每个个体被抽到的概率等于=，故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为21=3，14=2，7=1（2）所有的抽法共有=15种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有=3种，故抽取的2所学校均为小学的概率等于=点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题21. 设n是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件： ,； 对任意的,都有（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求参考答案：解：（1）因为对任意的，都有，所以；（3分）（2）因为存在，使得，所以

12、或，设所有这样的为，不妨设，则（否则）；同理，若，则，-5分这说明的值由的值（2或2）确定，又其余的对相邻的数每对的和均为0，所以，-7分 （-10分）22. 已知函数f（x）=x3x+2（）求函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+）内有极值，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，对任意t（1，+），s（0，1），求证：参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（）化简g（x）的表达式，求出定义

13、域，求出导函数，构造函数h（x）=x2（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+）上有极值，转化为 h（x）=x2（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，利用判别式推出a的范围，判断两个根的范围，然后求解a 的范围（）转化已知条件为?t（1，+），都有g（t）g（x2），通过函数的单调性以及最值，推出=，构造函数，利用导数以及单调性求解即可【解答】（）解：f（1）=131+21=2（1分）（2分）函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y2=3（x1），即3xy1=0 （3分）（）解：定义域为（0，1）（1，+）（4分）设h（x）=x2（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+）上有极值，则 h（x）=x2（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，=（a+2）240a0或a4而且一根在区间（e，+）上，不妨设x2e，又因为x1?x2=1，又h（0）=1，联立可得：（6分）（）证明：由（）知，当x（1，x2），g（x）0，g（x）单调递减，x（x2+）时，g（x）0，g（x）单调递增g（x）在（1，+）上有最小值g（x2）即?t（1，+），都有g（t）g（x2）（7分）又当x（0，