机械振动课后习题和答案第二章习题和答案

1、2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，则:mg=kmg=k,即：，取系统静平衡位置为原点x二0，系统运动方程为:mxkx=0 x=2(参考教材P14)x0=0.、0解得：x(t)=2cos,t2.2弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。解：由题可知：弹簧的静伸长0.85-0.650.2(m)所以,已所以,已卩豎取系统的平衡位置为原点,系统的运动微分方程为：x+,2x0其中

2、，初始条件：x(0):防(参考教材P14)所以系统的响应为：x(t)-0.2cos,t(m)n弹簧力为：Fkx(t)mgx(t)-cos,t(N)kn因此：振幅为0.2m、2兀周期为兰(s)、弹簧力最大值为1N。7111123重物m悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m从高12度为h处自由落到m上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。1解：取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点X0，则当m有x位移时，系统有：(m+m)x212u2(m+m)x212u2kx2由d(E+U)=0可知:(m+m)x+kx=012即：,=k/(m+m)n12系统的初始条件为:mgx=20km H

3、YPERLINK l bookmark20X=20m+mi122gh1111其中:0其中:0(能量守恒得：mgh=*(m+m)x2)TOC o 1-5 h z22120因此系统的响应为：x(t)=Acos,t律Asin,t0n1n2ghkm+m HYPERLINK l bookmark10512nn即：x(t)=mg2(COStknt)nn24质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求系统的固有频率。静平衡位置时=0，则当m解：取圆柱体的转角静平衡位置时=0，则当mI2,m(r)2I2,m(r)2=(I，mr2E2Tnn由d(E,U)=0可知：(I+mr2)

4、+kr2=0kr2/(kr2/(I+mr2)(rad/s)2.5均质杆长乙、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示,试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。1111111126求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且k2k,kk。2131解：取m的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x有x位移时，系统有：则当mE1mx2T2观5U=kx2+kx2=kx2(其中：k2i6ikk、12k+k121-5由d(E+U)0可知：即：,3m(rad/S)，T3m5k(s)27如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方

5、程，求其固有频率。解：设物体重量W，摆角坐标如图所示，逆时针为正，当系统有摆角时，则：2U=W（Rr）（1cos）沁W（Rr）2设为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：二（R一r）=r，即：=厂）cr记圆柱体绕瞬时寸扌接触点A的转动惯量为I，贝IJ：A+g1(3W2(2)()2(R一r)22（或者理解为：豊=2-2+2W（R一r）22，转动和平动的动能）由+U)=0可知:3W(Rr)2由+U)=0可知:2g即：=：丽匕（应）00mx+Y(Ax)g=0，即：=n丫Agm有初始条件为mx+Y(Ax)g=0，即：=n丫Agm有初始条件为:x0 x子静止在比重为的液体中。设从平衡位置|工压低距离以见图)，

6、然后无初速度地释放，若二三三不计阻尼，求浮子其后的运动。二三解：建立如图所示坐标系，系统平衡时x二0，由牛顿第二定律得:所以浮子的响应为：x(t)=xsin(tAg+)m22.9求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O,O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径O#与o2b在同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m.，m2。解：两轮的质量分别为m,m，因此轮的半径比为:12rm11rm22由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：0r01210r0212|取系统静平衡时00,则有:111111E(mr2)02,(mr2)02=(m,m)r2

7、02t22111222241/1121由d巴21由d巴,U）0可知:m)r202211(k,k)r20121100002(k，k)m+m即：12(rad/s)，T二212(s)nm,m2(k+k)1212210如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为厶轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周期。解:取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时=0，则当轮子有转角时，系统有：11p1pE=I2,(R)2=(I,R2)2T22g丿2g丿U=1k(a)2P由，U)=0可知：(I,R2)2,ka2=0gka2一PR2g

8、I,ka2一PR2g(s)(rad/s)，故T=2兀=2(s)3ka2n2211弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为0,如果在m上附加一个质量mx，则弹簧的静伸长增加l，求当地的重力加速度。解：212用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P,(方)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计;(2)若杆质量均匀，计入杆重。1fFt1a解：取系统的摆角为坐标，静平衡时=0(a)若不计杆重，系统作微振动，则有:1pt2g丿*1U=PgL(1-cos)沁PgL22pTOC o 1-5 h z由d(EU)=0可知：心+PL=0Tg HYPERLINK l bookmark99g

9、即：=(rad/s)nL如果考虑杆重，系统作微振动，则有: HYPERLINK l bookmark871P111Pm叮Jg呼22(3计2=2(gJ网2LpU=PgL(1cos)+mg(1一cos)(+L2g22由d(E+U)=0可知：(+m)L2,+(+m)gL,=0rad/s)Trad/s)即：=(b)如果考虑杆重，系统作微振动，则有：111pmE=_(_L2),2+(mL2),2=(+L)L2,2t2、g丿23l丿2、g3722222)gL巴1222Pm、kL HYPERLINK l bookmark115g2丿4(g+豊)L(c)如果考虑杆重，系统作微振动,1P11E=-(L2),2+

10、(mL2),2=T2、g丿23L丿rad/s)则有：2(g+气2u-(pm)gL匕1(k)(,l222、2八222即：nkLPmlrad/s)213求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式。答案：系统的运动微分方程mx2kx=0214-台电机重470N,转速为1430r/min,固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长12m,重6528N，弯曲刚度EI=1.66105Nm2。）不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；（方）设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；（c）计算说明如何避开电机和系统的共振区。215质量m固定于长厶弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端

11、,如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。wL3/(3EI)216求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L。解：假设U形管内液柱长I，截面积为4，密度为，取系统静平衡时势能为0左边液面下降x时，有:1E=oAlx2T2U=pA,x,g,x由d(E+U)=0可知：pAlx+2gpAx=0即:2g(rad/s)，T豁21(s)g2.17水箱1与2的水平截面面积分别为AxA2,底部用截面为A0的细管连接。儿今求液面上下振动的固有频率。妄乏三解：设液体密度为，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降x时，右1边液面上升x，液体在水箱1与2和细管中的速度分别为x,x,x，则有:21

12、23111E=pA(h一x)x2+pALx2+pA(h+x)x21T211123J3222n2Ah+AL(A?+Ah(A1)2213A2A(由于：h一xh1x+xU=pAxq1212hAx=Ax=Ax112233Ax=Ax)1122由d巴+U)=0可知：h(1AA+1)+L(1)x+g(1123+j)xi二02即：=n(1+A1)A2ah(1+A1)+L(A1)23(rad/S)218如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。设片、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明：2,WgATT12并指出卩的意义（式中液体阻尼力Fd=2Av）。219试证明

13、：对数衰减率也可用下式表示6=1ln九,（式中兀”是经过nnxnn个循环后的振幅）。并给出在阻尼比,为0.01、0.103时振幅减小到50%以下所需要的循环数。解：设系统阻尼自由振动的响应为x（t）；t时刻的位移为x；tt+nT时刻的位移为x；则:00n0nXe-,n?0cos(t)1Xe-,n(to+nTd)cos(t+nT)d0d所以有：In規=,nT所以有：In規=,nT=n6=nlnxndnx-0，x1即：x=lnonxnn=n=1ln2=ln2卩,262兀,当振幅衰减到50%时，x=0.5x，即：n01）当,=0.01时，n=11；要11个循环;2）当,=0.1时，n=1.1；要2个

14、循环；3)当,=0.3时，n=0.34；要1个循环;220某双轴汽车的前悬架质量为竹=1151kg,前悬架刚度为k=102105N/m,若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比匚，0.25，那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器?221重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长,在上下运动时所遇到的阻力与速度卩成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度卩0开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为x坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为：Px+cx+x，0g系统的阻尼比：匚，一4，-

15、2jmk2cPPg系统不振动条件为：匚1系统的阻尼比：匚，一4，-2jmk2cPPg系统不振动条件为：匚1，即:x物体在平衡位置以初速度开始运动，即初始条件为：0此时系统的响应为：（可参考教材P22）1）当匚1时:x(t)，e-叫(Ae代2i+Ae-叫t比2i)n1n2nA1,21，+.02、匸21n2）当匚，1时:A，ox(t)，Ae叫+Ate叫，其中:，I200000即：x(t即：x(t)=3)当1时：C其中：Jc12、dte，tnx(t)二e-t(Ccost+Csint)TOC o 1-5 h zn1d2d0u/，即：x(t)=e，t亠sint0ddJI2dn222-个重5500N的炮管

16、具有刚度为303105N/m的驻退弹簧。如果发射时炮管后座12m,试求：炮管初始后座速度；减振器临界阻尼系数（它是在反冲结束时参加工作的）；炮管返回到离初始位置005m时所需要的时间。2.23设系统阻尼比匚，0.1，试按比例画出在=05、10、2.0三种情n况下微分方程的向量关系图。224试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系，并计算当匚，0.2、=5rad/s时系统的品质因子和带宽。n2.25已知单自由度系统振动时其阻力为cv（其中c是常数，卩是运动速度）,激励为F，Fsint,当，即共振时，测得振动的振幅为X,求激励的0n幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为4,求此

17、时的F0。226某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为F二50cost(N),系统在周期0=020s时共振，振幅为0005cm，求阻尼系数。TOC o 1-5 h z解：由T二0.20s时共振可知，系统固有频率为：=10,nTF当T时，已知响应振幅：X=7，(参教材P30)nc所以：c=4=巴!(Ns/m)X,一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%，试计算其结构阻尼系数。要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即Fax2x0d求其等效阻尼系数和共振时的振幅。解：实际上，这是一种低粘度流体阻

18、尼。设系统的运动为：x(t)Xcos(ot-申)oax2dx卜/wax2d(A|H(w)|w)(wt申)卜/waaH(w)|w(wt申)2一|H(w)|wAsin(wt)dxk/waX3w3A3sin3(ot申)dtbA3J/waw3X3sin3(ot一弔)dtaX3w22(0)申2(0)3申34ax302d3o8ax302d38ax302CnoX23C803Xo?e32.29xXcos(ot一申)x=Xsin（t（p）W=JaX2dx+J2ax2dxc0/=J/a2X2sin2（tp）（2Xcos（tp）dt+J2/O2X2sin2（tp）（2Xcos（tp）dt/=8aX323W二W二CK

19、X2PCC二8aX3X=-Ft=盘FtTOC o 1-5 h zc8aX23叭8axw23叭8axw2n2w22anFd2Fd2ax2axx0=JFdx=4J4ax2dxd0=4JT/4ax3dx=4JT/4Z33C0S3（tp）dt0=8aZ323，CnrnZ2PC，_8-aZe3Z，呜Z，卫仔C08aZo2230KG1II电动机重巴装在弹性基础上，静下沉量为。当转速为nr/min时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值，不计阻尼。231电动机重尸，装在弹性梁上，使梁有静挠度。转子重。，偏心距为e。试求当转速为时，电动机上下强迫振动的振幅4,不计梁重。2

20、32飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上（图T32），并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为妇的扭转弹簧。调整片转动惯降舵门蓟量为I，因而系统固有频率=K/1，但因kT不能精确计nT算，必须用试验测定。为此固定n图T2.32升降舵，利用弹簧处对调整片做简谐激励，并用弹簧k来抑制。改变激励频率图T2.32。试以和试验装置的参数来表示调整片的固有频率。TOC o 1-5 h zTTn解：设调整片的转角为，系统的微分方程为:=kLysint2I,+k+(k+k)L2=kLysint2T12系纟统的共振频率为：0/+（节沖因此：k=I2一(k+k)L2T012调整片的固有频率为：2二kT=2-(k

21、1+中LnI0I233如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求W的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的彳丁进速度。解：由题目2.33TLw2兀2兀VVTLyYcos2兀vtLwX一K(x一y)wXkycos2兀VtLwXCKx=KYcos2兀vtLwS2X(s)+KX(s)ky2r(2叩)2+s2LX(s)KY2L2K(s2+(2叩)2)(ws2+K)nwLX2詳sina+2aYsint2+a2n71，(a/71，(a/2)n+0Y1，(a/2)2n1，4兀2V2wKL2KL2YKL2加2V2w2.33，汝TTvL-2ffivLmXX2.33，汝TTvL-2ffivLmXX+KXKy

22、X+,2xn,2ynn,22nXY,2n,2,2nYh、2nYh、2n,24兀十nL24兀2mbb234单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图02.34),=asint。试求在微幅的强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L,摆锤质量为m。2.35-个重90N的飞机无线电要与发动机的频率16002200r/min范围的振动隔离，为了隔离85%，隔振器的静变形需要多少？2.36试从式(2.95)证明：1.无论阻尼比取何值，在频率比，/，=2时，恒有X=4。n2.在，/，2、XIA随增大而减小，而在，/，2、XIA随nn增大而增大。237某位移传感器固有频率为475Hz，阻尼比=065。试估计所能测量的最低

23、频率，设要求误差1%，2%02.38位移传感器的固有频为率2Hz，无阻尼，用以测量频率为8Hz的简谐振动，测得振幅为0132cm。问实际振幅是多少?误差为多少？239振动记录仪的固有频率为九=30Hz,阻尼比=050。用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为x=205sin4t+10sin8t(cm)证明：振动记录仪的振动z将为z=103sin(4t-5Oo)+115sin(8t-12Oo)(cm)解：a240求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零。h(t)ie-,/sintm3ddh(t-)i解：a240求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零。h(t)ie-,/sintm3ddh(t-)ie-如”(t-)sin3(t-)m3dh(t)isin3tm3ddh(t2)isinw(t)m3ddX(t)Jtdcos3(t)F(cos3t)0nRnF1X(t)isin3(t)d(t)m3n0nF(t)h(t)d+01F(t)h(t)d.2iF1cos3(