圆锥曲线-定义法求轨迹方程讲义-高三数学一轮复习

1、利用定义法求轨迹方程定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数：(1)若ac,则集合P为椭圆；(2)若ac,则集合P为线段；(3)若a0,c0.(1)当2a|F1F2|时,P点不存在例2.已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切

2、，则动圆圆心M的轨迹方程为_练习2.已知，以为圆心的圆，半径为，点是一个定点，是线段的垂直平分线和直线相交于，在下列条件下，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.（1）时，点在圆上运动；（2）时，点在圆上运动.三、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线注意：(1)定直线l不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.例3.已知动点到定点的距离比到轴的距离大.求动点的轨迹的方程.练习3.已知点为直线上的动点，过作直线的垂线，交的中垂线于点，记点的轨迹为.求的方程.

3、四、综合练习1.已知定圆，圆，动圆与定圆外切，与定圆内切求动圆圆心的轨迹方程.2.已知F12,0，F3.已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.求点的轨迹的方程；4.设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程提升练习已知点，动点满足且，则点的轨迹方程为 利用定义法求轨迹方程解析定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭

4、圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数：(1)若ac,则集合P为椭圆；(2)若ac,则集合P为线段；(3)若a|BC|6.可知P点轨迹是以B，C为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)以BC为x轴，BC中点为原点建立平面直角坐标系得P点轨迹方程为eq f(x2,81)eq f(y2,72)1(y0)【答案】eq f(x2,81)eq f(y2,72)1(y0)二、双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2

5、a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.(1)当2a|F1F2|时,P点不存在例2.已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1

6、，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x2eq f(y2,8)1(x1)练习2.已知，以为圆心的圆，半径为，点是一个定点，是线段的垂直平分线和直线相交于，在下列条件下，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.（1）时，点在圆上运动；（2）时，点在圆上运动.【答案】（1）；（2）三、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线注意：(1)定直线l不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.例3.已知动点到定点的距离比到轴的距离大.求动点的轨迹的方程.解析：由题意得轨迹方程

7、为焦点在轴上，准线为的抛物线则，即，故轨迹的方程为.练习3.已知点为直线上的动点，过作直线的垂线，交的中垂线于点，记点的轨迹为.求的方程.【答案】四、综合练习1.已知定圆，圆，动圆与定圆外切，与定圆内切求动圆圆心的轨迹方程.【详解】设动圆的半径为，由图可知，圆内含于圆，圆的半径为，圆的半径为.动圆与定圆外切，则，动圆与定圆内切，则，由题意知：，根据椭圆定义，圆心的轨迹是以原点为中心，、为焦点，长半轴长，半焦距的椭圆，的方程为； 2.已知F12,0，F解：根据双曲线的定义可得，长轴长2a2a1,半焦距c2,由c23.已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.求点的轨迹的方程；【解析】易知点是抛物线的焦点,依题意,所以点轨迹是一个椭圆,其焦点分别为,长轴长为4,设该椭圆的方程为,则,故点的轨迹的方程为.4.设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程【解答】解：两圆的半径都为2，两圆心为，、，由题意得：或，可知圆心的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上，且实轴为4，焦距为的双曲线，因此，则，所以轨迹