新华东师大版九年级数学下册《26章二次函数263实践与探索》教案14

1、数形联合问题知识解说一、教课目的1、经过复习使学生领悟数形联合的实质，培育学生用数学思想方法解决问题的意识。2、经过详细问题的学习，使学生能够用数形联合的思想方法研究解决问题的思路。3、掌握用数形联合的思想方法解题的四种型，以提升学生剖析问题、解决问题的能力。二、教课要点与难点用数形联合思想方法解决问题的思路。三、教课过程1、提出问题什么是数形联合？数形联合中解题中表现方式是什么？2、典型例题种类一、利用数形联合研究数字的变化规律1.以下图，把相同大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，依据这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是【思路点拨】第一计算几个特别图形，发现：数出每边上的个数，

2、乘以边数，但各个极点的重复了一次，应再减去.第1个图形是23-3，第2个图形是34-4，第3个图形是45-5，依据这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n【答案与分析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（23-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（34-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（45-5）个；依据这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为

3、n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形下手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采纳原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.贯通融会：【变式】用棋子按以下方式摆图形，依据此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多_枚棋子【答案】解：设第n个图形的棋子数为Sn第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+3（n-1）-2；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子种类二、利用数形联合解决数与式的问题2.已知实数a、b、c在

4、数轴上的地点以下图，化简|a+b|-|c-b|的结果是（）.ca0bA.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】第一从数轴上a、b、c的地点关系可知：ca0；b0且|b|a|，接着可得a+b0，c-b0，而后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果详细步骤为：a,b,c的详细地点，在原点左侧的小于0，原点右边的大于0.比较绝对值的大小.|a|c|b|.化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.进行化简计算，得出最后结果.【答案与分析】解：从数轴上a、b、c的地点关系可知：ca0；b0且|b|

5、a|，故a+b0，c-b0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c应选A【总结升华】本题主要观察了利用数形联合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，从而观察了非负数的运用.数轴的特色：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完整平方式(ab)2，二次根式(a(a0).性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.种类三、利用数形联合解决代数式的恒等变形问题3.图是一个边长为(mn)的正方形，小颖将图中的暗影部分拼成图的形状，由图和图能考证的式子是（）A.(mn)2(mn)24mnB

6、.(mn)2(m2n2)2mnC.(mn)22mnm2n2D.(mn)(mn)m2n2【思路点拨】这是完整平方公式的几何背景，用几何图形来剖析和理解完整平方公式的实质.是一个很典型的“数形联合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的乏味无味的数学公式.依据图示可知，暗影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积22），即为对角线分别是2m，（m+n2n的菱形的面积据此即可解答【答案】B.【分析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn应选B【总结升华】本题是利用几何图形的面积来考证（关系列等式222m+n）-（m+n）=2mn，解题要点是利用图形的面积之间的相等贯通融

7、会:【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分红四块小长方形，而后按图的形状拼成一个空心正方形（1）你以为图2中的暗影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不一样的方法求出图2中暗影部分的面积；（3）察看图2，你能写出以下三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？【答案】解：（1）图中暗影部分的正方形的边长等于（m-n）；2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；3）（m-n）2=（m+n）2-4mn种类四、利用数形联合思想解决极值问题我们知道：依据二次函数的图象，能够直接确立二次函数的最大（小）值；依据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，能够

8、在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短这类“数形联合”的思想方法，特别有益于解决一些实质问题中的最大（小）值问题请你试试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：作图确立水塔的地点；求出所需水管的长度（结果用正确值表示）.（3）已知x+y=6，求x29y225的最小值？此问题能够经过数形联合的方法加以解决，详细步骤以下：如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B

9、，作CAAB，DBAB，使得在AB上取一点P，可设AP=_，BP=_.CA=_DB=_.x29y225的最小值即为线段_和线段_长度之和的最小值，最小值为_【思路点拨】1）利用二次函数的极点坐标便可得出函数的极值；2）延伸AC到点E，使CE=AC，连结BE，交直线CD于点P，则点P即为所求；过点A作AFBD，垂足为F，过点E作EGBD，交BD的延伸线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，从而利用勾股定理求出即可；3）作线段AB=6，分别过点A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=3，BD=5，在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；x29y225的最小值即为线段PC和线段PD长度之和

10、的最小值，最小值利用勾股定理求出即可.【答案与分析】解：（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；BAFDCPEG（2）以下图，点P即为所求（作法：延伸AC到点E，使CE=AC，连结BE，交直线CD于点P，则点P即为所求.说明：不用写作法和证明，但要保存作图印迹；不连结PA不扣分；（延伸BD，相同的方法也能够得到P点的地点）过点A作AFBD，垂足为F，过点E作EGBD，交BD的延伸线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AFAB=3，BD=2，BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，在RtABF中，AF2=AB2-BF2=8，AF=22EG=2

11、2.222在RtBEG中，BE=EG+BG=17，BE=17（cm）.PA+PB的最小值为17cm.即所用水管的最短长度为17cm.3）图3所示，作线段AB=6，分别过点A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=3，BD=5，在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，x29y225的最小值即为线段PC和线段PD长度之和的最小值，作C点对于线段AB的对称点C，连结CD，过C点作CEDB，交BD延伸线于点E，AC=BE=3，DB=5，AB=CE=6，DE=8，CDDE2CE210.最小值为10故答案为：4；x，y；PC，PD，10【总结升华】本题主要观察了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，联合

12、已知画出图象利用数形联合以及勾股定理是解题要点作图题不要求写出作法，但一定保存印迹.最后点题，即“xx即为所求”.种类五、利用数形联合思想，解决函数问题5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象张口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴订交与负半轴.以下结论（1）a0；（2）b0；（3）c0；（4）a+b+c=0；（5）abc0；（6）2a+b0;（7）a+c=1；（8）a1中,正确结论的序号是_.【思路点拨】由抛物线的张口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断轴及抛物线与x轴交点状况进行推理，从而对所得结论进行判断c与0的关系，而后依据对称【答案与分析】解：（1）由抛物线

13、的张口方向向上，可推出a0，正确；由于对称轴在y轴右边，对称轴为x=b0，又由于a0，b0，错误；2a由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，c0，错误；由图象可知：当x=1时y=0，a+b+c=0，正确；a0，b0，c0，abc0，错误；由图象可知：对称轴x=bb0且对称轴x=1，2a+b0，正确；2a2a由图象可知：当x=-1时y=2，a-b+c=2，-当x=1时y=0，a+b+c=0，-+，得2a+2c=2，解得a+c=1，正确；a+c=1，移项得a=1-c，又c0，a1，正确故正确结论的序号是【总结升华】观察二次函数的分析式、图象，及综合应用有关知识剖析问题、解决问题的能力二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：（1）a由抛物线张口方向确立：张口方向向上，则a0；不然a0（2）b由对称轴和a的符号确立：由对称轴公式x=b，即a,b同号.判断符号存在着“左同右异”2a对称轴在y轴的左侧，a,b异号，对称轴在y轴的右边.（3）c由抛物线与y轴的交点确立：交点在y轴正半轴，则c0；不然c0（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确立：2个交点，b2-4ac0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，2-4ac05）当x=1时，ax2+bx+c就变为了ab+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0当x=-1时，a-b+c=2,+得，2a+2c=2，