《概率论与数理统计》习题详解 第一章 随机事件和概率

1、 PAGE PAGE 5第一章随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C为三个事, 且P(AB) P(ABC) 0.97,P(ABC) .解.P( AB C) P(AB ABC) P( AB) P( ABC) 1 P(AB) 1 P( ABC)= P(A B C) P(A B) = 0.970.9 = 0.07设10 件产品中有4 件不合格, 从中任取两, 已知所取两件产品中有一件是不合格另一件也是不合格品的概率.解.A二件产品中有一件是不合格,B 二件都是不合格P(AB)P(B)c2 4c21P(B | 10 P(P(c2516c210注意: 二件产品中有一件是不合格品 =二件产品中恰

2、有一件是不合格品+二件都是不合格品所以A B, AB B;A二件都是合格随机地向半圆0 y 2ax x2(a为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4 的概率.解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则1P( X ,Y ) D) k a 11, k 为比例系. 所以k 2 2a 假设D1 = D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于 4 的区域21111P(X,Y)D ) k D的面积(2 a2 ) .11422设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B的对立事, 则积事件

3、AB的概率P(AB) =.解.P(AB) P( P(B) P(A B) 0.4 + 0.30.6 = 0.1P(AB) P( P(AB) 0.4 0.1 0.3.某市有住户订日, 有65住户订晚, 有住户至少订这两种报纸中的一, 则同时订这两种报纸的住户的百分比.解. 假设A = 订日报, B = 订晚报, C = A + B.由已知 P(A) = 0.5,P(B) = 0.65,P(C) = 0.85.所以P(AB) = P(A) + P(B)P(A + B) = 0.5 + = 0.3., , 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7,则这三台机器中至少有一台发生

4、故障的概.解. 设A i (i = 1, 2, 3).i则P(A )= 0.9,P(A )= 0.8,P(A ) =0.7,123P( A AA ) P( AA )1P(A A )1P(A)P()P( A )121212123=10.90.80.7=0.496.电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而, 若A, B, C损坏与否相互独, 且它们损的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率.解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7,P(B) = 0.8,P(C) = 0.9. = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C

5、) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)P(A)P(B)P(C)= 0.70.8 +0.70.90.70.80.9 = 0.686.所以P(电路断) = 10.686 = 0.314.甲乙两人投, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三, 则甲比乙进球多的概解. 设X 表示甲进球, Y表示乙进球.P() = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0)+ P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0)= P(

6、X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0)+ P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)= 0.73 c1 0.62 0.73 c2 0.42 0.73 0.4333+ c1 0.3 0.72 c1 0.6 0.42 c1 0.3 0.72 0.43 c1 0.7 0.32 0.433333= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096= 0.43624.111三人独立破译一密码, 他们能单

7、独译出的概率分别为 , , 则此密码被译出的概率534 .解. 设A, B, C , 乙, ., P) 1 , P(B) 1 , P(C) 1 .534P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)P(AB)P(AC)P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .353453543453453二单项选择题.以A , , A 为(A) “甲种产品滞, 乙种产品畅销”(B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销”(D) “甲

8、产品滞销或乙产品畅销解. (D)是答.设A, B, C, 与事件A 互斥的事件是(A) (B)A(BC)(C)ABC(D)A B C解.A(ABC) AA BC, 所以(D)是答.设A, B, 则(A) P(AB)P(AB)P(A)P(B)(B) P(AB)P(AB)P(A)P(B)(C) P(AB)P(BA)P(A)P(B)P(AB)(D) P( A B)P(B 1.4解 . P(A + (P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)=P(A)(P(B)P(AB) + P(AB)(P(B)P(AB)=(P(B)P(AB)(P(A)P(AB)=P(BA)P(AB) 0所以(B)是答案

9、.事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B =(B) P(AB) = P(A)P(B)(C) AB =(D) P(A + B) = P(A) + P(B)解. (B)是答案.设A, B, 且P(AB) = 0, 则A, B 互斥 (B) AB是不可能事件 (C) AB未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0.解. 概率理论中 P(A) = 0 不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案.设A, B , 且AB, P(B) 0, 则下列选项必然成立的是(A) P(A) P(A|B)(C) P(A) P(A|B)解.P( A | B) P(AB

10、) P( P(B = ). (B).P(B)P(B)7. 已知 0 P(B) 1, 且P(A + A )|B = P(A |B) + P(A|B), 则下列选项必然成立的是1212(A) P(A A ) | P(A | P(A|1212P(A B +A B) = P(A B) +P(A B)1212P(A +A ) = P(A |B) +P(A |B)1212P(B) = P(A )P(B|A ) + P(A )P(B|A )1122解. 由P(A + A )|B = P(A |B) + P(A |B)得到1212P( A A )BP(AB)P( AB) 1212, 所以B +A B) = P

11、(A B) +P(AB). (B) 是P(B)P(B)P(B)1212答案.三. 计算题0.05, 100 , , 在每批中任取一, 1 个, , .解.P(该批产品合) = 全部正) + 恰有1 个次)c50= 95c50100c49c1 95 5 0.2794c50100书架上按任意次序摆着15, 其中有5, 从中随机地抽取3本, .解. 假设A=至少有一本数学.A=没有数学 c32467P( A ) = 10 ,P(A) = A ) = c3919115100 80 名, 20 12 名. 40 名学32名, :;.解.学生情:男生女生北京128免修英语328总数802068P(男生)

12、= 178020123P(男生) =12P() = 20512P(女生8032P(10012 , 9 , 3 个, , 3 , 求:;, .解. i. 设Bii (i = 0, 1, 2, 3). A . 于是P(Bci c3i) 9 3,P(A|c3) 9iic312ic3123cic3ic31P( A) P(B )P( A| B ) 9 39i (c0c3c3c1c2c3c2c1c3 c3c0c3 )ii(c3 )2(c3 )29 3 99 393 9 36i0i012121(220)218493563633584120) 705648400 0.146ii.P(B3| A) 84 1 20P( A | B )P(B ) 33(220)2