工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)

1、测量误差理论nnmi(i=，2n)i【例】设有两组同精度观测值,其真误差分别为:+3、1、3、+4、+2、-1、4;其次组+1、5、1、+6、4、0、+3、-1.试比较这两组观测值的精度，即求中误差。解：由于m m ，可见第一组观测值的精度比其次组高。同时,通过其次组观测误差的分布情12况可看出其误差值的波动幅度较大,因而也可推断出其次组观测值的稳定性较差，则精度较低. 二、相对误差：观测值中误差m的确定值与相应观测值S相比,并化为分子为1、分母为整数的形式，即三、误差传播定律（610)【例】丈量某段斜距S=106.28m，斜距的竖角,斜距和竖角的中误差分别为、，求斜距对应的平距D及其中误差.

2、解：平距由于是一个非线性函数，所以,对等式两边取全微分,化成线性函数，并用“”代替“d”得再依据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值因此，平距的中误差为:mD=5 cm.则最终平距可表示为:D=105。1130。050 m。单位和长度单位,所以，应留意各项单位要统一。例如，上例中的角值需要化为弧度。综上所述,应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下： 列独立观测值函数式对函数式进行全微分写出中误差关系式应用误差传播定律应特殊留意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必需是独立观测值。【例】用长度为l=30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m=5mm，求全

3、长D及其中误差m 。D解:列独立观测值函数式对函数式进行全微分写出中误差关系式则，全长的中误差为m =D假如接受下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l，写出全长D的中误差关系式 并计算中误差mD=10m=105=50mm.答案错误,缘由在于错误地列出了函数式.【例】设有函数式Z=y+2y+1,而y=3x，y=2x+2，已知x的中误差为m ，求Z的中误差。1212x解：若直接利用式(616）和（6-23）计算,则函数Z的中误差y1和y2均是x的函数,它们不是相互独立的观测值，因此，不y 和y 代入函数式Z,合并同类项后即为独12立观测值，再应用误差传播定律，即【例】对某段距离进行

4、了563，试计算该段距离的最或然值及其中误差。计算见表63。序序L改正数VV精度评定最或是值：m观测值中误差:cm :cm观测成果：x=251。4940。01mL=1257.47V=0VV=20号(m）V(cm）（cm）1251。52392251.46+393251。49004251.48115251。50+11四、加权平均值及其中误差【例】已知观测值分别为L 、L 、L ,其中误差分别为m =1、m2、m =3,123123则它们的权分别为：取=1时， 取=4时， 取=36时，【例】水准测量中按测站数和水准测量距离定权.设在A、B两点间进行水准测量，共设置了n个测站，各测站的高差分别为h 、

5、h 、h ,则A、B点间的高差h为12nABnhAB=h1+h2+h （638)n若每个测站的高差中误差为m ,则依据误差传播定律可得h的中误差为站AB（639）sA=s，由式63）可得h的中误差AB（640）=m因此,式（6-40）变为(641)=，可见为每公里水准测量高差的中误差。公里由式（6-39)和(641）可得:水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离的 平方根成正比。可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短，则观测高差的精度越高。若取，依据权定义式3）(639可得观测高差h的权为AB（642）若取c公里观测高差的中误差为单位权中误差m公里可得观测高差h的权为AB(643）

6、由（642)和（643）式可知:水准测量高差的权与测站数成反比，与水准路线的长度成反比。所以，通过测站数和水准测量距离就可以确定观测高差的权,而不需要利用中误差来定权.n 、n 、nn 批观12n测，得相应的算术平均值为LLL ,求 LLL 的权。12n12n1解:m 、m 、m m1n因此，相应的权为,再令，则,若取 c=1，则（6-44）可见,在相同的观测条件下,算术平均值的权与观测次数成正比(或相等。n设 个不等精度观测值L 、L 、L ，相应的权分别为P 、P 、P ，则最或然值（称n12n12n为加权平均值）为（645） P1PP=1 相同。下面依据式(645）推算加权平均值的中误差

7、。设观测值L1、L2、Ln的中误差分别为m 、m 、m ,则依据误差传播定律可得加权平均值的中误差为12n（646）由权定义式（637),有，代入式（646）可得(647）实际计算时，上式中的单位权中误差 可用观测值的改正数来计算，其计算公式为（648)6-4）代入式64，可得加权平均值的中误差计算公式(650)i【例】如图63所示，从已知水准点A、B、C经三条水准路线,测得E点的观测高程H 及水准路ii线长S（见表4，E点的加权平均值及其中误差各条水准路线权：（由式643可得)i加权平均值：加权平均值中误差：E则E点高程:H =527.4690。009（m） E图63 不等精度水准路线观E观

8、E点观测高程观测路线长度观测值的改正数测路线HS观测高程权PVVi（m）i(km)（mm)1527。4594.50.221022。002527。4843。20。311569。753527。4584。00.251130.25五、思考题习题:1。观测条件主要由那些因素构成？2。观测误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的？试举例说明。:（1)视准轴与水准管轴不平行；(2）仪器下沉；(3);(4）（5）水准尺倾斜。?测量中为什么要进行多余观测?5。偶然误差的统计规律是什么?偶然误差的概率分布曲线能说明哪些问题?真误差是否相等?它们的相对中误差是否相等？在三角形 ABC 中,已测出求的值及其中误差。两个等

9、精度观测角度之和的中误差为,问每个角的观测值中误差是多少? 3940.8、3940.6，试计算该角的最或然值及其中误差。12（3）两段直线之差的相对中误差.50m，容许误差为中误差的两倍，求测段12。水准测量从点AB，如附图所示。已知A、B观测高差及其水准测量距离分别为:求C点的最或然高程及其中误差。附图1312见附表,试计算测角中误差。三角形编号1三角形编号123456789101112（ )3.21.61。4-250。72.33。 2。518-0.92。72.2参考答案：7。87。0719101112。48.0120。002(m)13. 为真误差，可得三角形内角和的中误差，则测角中误差。六、追加练习:1. 对某基线丈量六次，其结果为：L1246.535m，L2246。548m，L3246。520m，L4246。529m，L5246。550m，L6246.537m。试求:(1)246.5365m（2)每次丈量结果的中误差;11。36mm (3）算术平均值的中误差和基线相对误差.4.6mm，1/530002。 观测 BM1 BM2 25 个测站，每测站观测高差中误差均为3mm，问：（1）两水准