角的概念的推广

1、4.1 角的概念的推广教学目标1.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；2.能在0和360范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合；3.能树立运动变化的观点，深刻理解推广后的角的概念；4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系教学建议1关关于角的的概念的的推广的的知识结结构本小节节内容从从角不大大于周角角的非负负角开始始扩充到到任意角角，使角角有正角角、负角角、零角角之分。在在平面直直角坐标标系内建

2、建立适当当的直角角坐标系系后，根根据角的的终边在在哪一象象限，把把角划分分为四个个象限和和特殊角角等若干干类，于于是引入入了第几几象限角角和终边边相同的的角的集集合这样样两个概概念。再再由特殊殊到一般般进行归归纳总结结. 2关关于角的的概念的的推广的的重点、难难点分析析本节的的重点是是任意角角的概念念和象限限角的概概念；难难点是把把终边相相同的角角用集合合和符号号语言正正确地表表示出来来可以通通过实例例帮助建建立任意意角的概概念，如如用扳手手拧螺母母；车轮轮转动辐辐条形成成的角，特特别是钟钟表的指指针转动动，因为为正角、负负角是依依据逆时时针和顺顺时针来来定义的的建立直直角平面面坐标系系的前提

3、提是：角角的顶点点和坐标标原点重重合，角角的始边边与 轴的正正半轴重重合在在这个前前提下角角的终边边落在第第几象限限就称为为第几象象限的角角，若终终边落在在坐标轴轴上，称称为坐标标轴上的的角为了加加深对任任意角概概念的理理解，应应正确区区分锐角角、 的角、小小于 的角凡与角角 终边相相同的角角均可以以写作 这一条条件不可可少，它它表明了了与 终边相相同的角角都相差差 的整数数倍，或或者在形形成角的的过程中中，每当当射线绕绕原点转转一圈时时，就会会出现一一个与 终边相相同的角角，经常常使 在 之间，求求终边相相同的角角，可用用此角去去除以 ，使余余数在 之间3关关于角的的概念的的推广的的教法建建

4、议（1）建建议通过过实例帮帮助建立立任意角角的概念念，如用用扳手拧拧螺母；车轮转转动辐条条形成的的角，特特别是钟钟表的指指针转动动，因为为正角、负负角是依依据逆时时针和顺顺时针来来定义的的也就就是用运运动的观观点来讲讲述角的的概念的的推广实实际意义义（2）正正角与负负角的规规定是出出于习惯惯，就和和正数、负负数规定定一样。建建议讲正正角和负负角的教教学时对对比正数数、负数数进行教教学（3）角角的概念念推广后后，建议议引导学学生辨别别“锐角”、“ 的角”、“小于 的角”、“第一象象限角”这些容容易混淆淆的概念念（4）建建立平面面直角坐坐标系后后，建议议在教学学过程中中要注意意正确区区分 轴正半半

5、轴上的的角与 轴上的的角， 轴正半半轴与 轴上的的角，防防止学生生发生混混淆（5）建建议在教教学过程程中要认认真对待待本节的的符号、词词语，注注意它们们的正确确使用，给给学生树树立一个个榜样教学设计示示例（一一）角的概念的的推广教学目标1理理解引入入大于 角和负负角的意意义2理理解并掌掌握正、负负、零角角的定义义3掌掌握终边边相同角角的表示示法4理理解象限限角的概概念、意意义及其其表示方方法重点难点1理理解并掌掌握正、负负、零角角的定义义2掌掌握终边边相同角角的表示示法教学用具直尺、投投影仪教学过程1设置情情境设置实实例（11）用扳扳手拧螺螺母（课课件）；（2）跳水水运动员员身体旋旋转（视视频

6、）说明旋旋转第二二周、第第三周，则则形成了了更大范范围内的的角，这这些角显显然超出出了我们们已有的的认识范范围。本本节课将将在已掌掌握 角的范范围基础础上，重重新给出出角的定定义，并并研究这这些角的的分类及及记法2探索研研究（1）正角角、负角角、零角角概念一条条射线由由原来位位置 ，绕着着它的端端点 ，按逆逆时针方方向旋转转转到 形成的的角规定定为正角角，如图图中角 ；把按按顺时方方向旋转转所形成成的角规规定为负负角，如如图中的的 ；射线线没作任任何旋转转时，我我们认为为它这时时也形成成了一个个角，并并把这个个角规定定为零角角，与初初中所学学角概念念一样， 、 ，点 分别叫该角的始边、终边、角

7、顶点如果果把角顶顶点与直直角坐标标系原点点重合，角角的始边边在 轴的正正半轴上上，这时时，角的的终边落落在第几几象限，就就称这个个角是第第几象限限角，特特别地，如如果角的的终边落落在坐标标轴上，就就说该角角不属于于任何象象限，习习惯上称称其为轴轴上角我们们作出 ， 及 三个角角，易知知，它们们的终边边相同。还还可以看看出， ， 的终边边也是与与 角终边边重合的的，而且且可以理理解，与与 角终边边相同的的角，连连同 在内，可可以构成成一个集集合，记记作 一般般地，我我们把所所有与角角 终边相相同的角角，连同同角 在内的的一切角角，记成成 ， 或写成成集合 形式（2）例题题分析【例11】在 间，找

8、找出与列列列各角角终边相相同的角角，并判判定它们们是第几几象限角角（1） ；（2） ；（3） 解：（1） 与 角终边边相同的的角是 角，它它是第三三象限的的角；（2） 与 终边相相同的角角是 ，它是是第四象象限的角角；（3） 所以与与 角终边边相同的的角是 ，它是是第二象象限角 总结：草式写写在草稿稿纸上，正正的角度度除以 ，按通通常除去去进行；负的角角度除以以 ，商是是负数，它它的绝对对值应比比被除数数为其相相反数时时相应的的商大11，以使使余数为为正值练习：（学学生板演演，可用用投影给给题）（1）一角角为 ，其终终边按逆逆时针方方向旋转转三周后后的角度度数为_（2）集合合 中，各各角的终终

9、边都在在（ ）A 轴正半半轴上，B 轴正半半轴上，C 轴或 轴上，D 轴正半半轴或 轴正半半轴上解答：（1） （2）C【例22】写出出与下列列各角终终边相同同的角的的集合 ，并把把 中适合合不等式式 的元素素 写出来来：（1） ；（2） ；（3） 解：（1） 中适适合 的元素素是 （2） 满足条条件的元元素是 （3） 中适适合元素素是 说明：与角 终边相相同的角角，连同同 在内可可记为 ， 这里（1） ；（2） 是任意意角；（3） 与 之间是是“”连接，如如 应看做做 ；（4）终终边相同同角不一一定相等等，但相相等的角角终边必必相同，终终边相同同的角有有无数个个，它们们彼此相相差 的整数数倍；

10、（5）检检查两角角 ， 终边是是否相同同，只要要看 是否为为整数练习：（学学生口答答：用投投影给出出题）（1）请用用集合表表示下列列各角 间的角角 第一象象限角锐角小于 角（2）分别别写出：终边边落在 轴负半半轴上的的角的集集合；终边边落在 轴上的的角的集集合；终边边落在第第一、三三象限角角平分线线上的角角的集合合；终边边落在四四象限角角平分线线上的角角的集合合解答（1） ； ； ； （2） ； ； ； 说明：第一象象限角未未必是锐锐角，小小于 的角不不一定是是锐角， 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 【例33】用集集合表示示：（1）第第三象限限角的集集合（2）终终边落在在 轴右侧侧的角

11、的的集合解：（1）在 中，第三象限角范围为 ，而与每个 角终边相同的角可记为 ， ，故该范围中每个角适合 ， ，故第三象限角集合为 （2）在在 中， 轴右侧侧的角可可记为 ，同样样把该范范围“旋转” 后，得得 ， ，故 轴右侧侧角的集集合为 说明：一个角角按顺、逆逆时针旋旋转 （ ）后与与原来角角终边重重合，同同样一个个“区间”内的角角，按顺顺逆时针针旋转 （ ）角后后，所得得“区间”仍与原原区间重重叠3练习反反馈（1）与与 的终边边相同且且绝对值值最小的的角是_（2）若若角 与角 的终边边重合，则则 与 的关系系是_，若角角 与角 的终边边在一条条直线上上，则 与 的关系系是_（3）若若 是

12、第四四象限角角，则 是（ ）A第第一象限限角B第第二象限限角C第第三象限限角D第四象象限角答案：（11） ；（22） ， ， ；（33）C4总结提提炼判断一一个角 是第几几象限角角，只要要把 改写成成 ， ，那么么 在第几几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（ ），然后只要考查 的相关问题即可另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法课时作业1在 到到 范围内内，找出出与下列列各角终终边相同同角，并并指出它它们

13、是哪哪个象限限角（1） （2）（3） （4） 2写出终终边在 轴上的的角的集集合（用用 的角表表示）3写出与与 终边相相同的角角的集合合，并把把集合中中适合不不等式 的元素素 写出来来4时针走走过3小时200分，则则分钟所所转过的的角的度度数为_，时时针所转转过的角角的度数数为_5写出终终边在直直线 上的角角的集合合，并给给出集合合中介于于 和 之间的的角6角 是是 中的一一个角，若若角 与 角有相相同始边边，且又又有相同同终边，则则角 参考答案：1（1） （2） （3） （4） 2 3 ， 或 4 ， 5 ， 或 6 教学设计示示例（二二）角的概念的的推广教学目标1讨讨论等分分角所在在象限问

14、问题2会会表示给给定区域域内的角角的集合合重点难点1讨讨论等分分角所在在象限问问题2会会表示给给定区域域内的角角的集合合教学用具投影仪仪教学过程1教学情情境我们都都知道， 是锐角， 角的一半 也是锐角，那么第一象限角： ， 的一半 是否仍在第一象限呢？2探索研研究（1）在在上述问问题中，令令 ， ，则 为了确确认 的终边边所在位位置，关关键是“看”， 是否为为 的整数数倍。为为此可对对 的奇、偶偶性展开开讨论若 ， ，则 ，进而而可知 与 角终边边相同且且在象限若 ， ，则 ，易知知 与 角终边边相同，都都在象限综上可可知， 在或象限，且且它的两两个终边边互为反反向延长长线。（2）若若已知：角

15、 满足 ， 、 为常数数， ，则 所在位位置如何何确定？事实上上，此问问题可以以仿照上上述问题题一样处处理 ， 为了确确定 所在区区间，需需要确定定“边界” ， ， 的位置置，为此此又需要要“看” 是否为为 的整数数倍，故故讨论如如下若 ， ，则 ， 如图，它它表示单单位圆中中的扇形形区域若 ， ，则 此时， 在单位圆中的区域中综上知知， 在对顶顶扇形、之中（3）例例题分析析【例11】若 是第二二象限角角时，则则 ， ， 分别是是第几象象限的角角？解：（1） 是第二象限的角 则 ，故 是是第三或或第四象象限的角角，或角角的终边边在 轴的负负半轴上上（2） ，当 时时， 是第一一象限的的角，当

16、时时， ， 是第三三象限的的角， 是是第一或或第三象象限的角角（3） ，当当 时， ， 是第一一象限的的角，当 时 ， 是是第二象象限的角角；当 时， ， 是第四四象限的的角；综综上所述述 是第一一或第二二或第四四象限的的角，如图所示：3演练习习反馈1设设 ， ， 则相等的角角集合为为_2如如图，终终边落在在阴影处处（包括括边界）的的角集合合为（ ）A B C D 参考答案：1 ， 2D4总结提提炼（1）欲欲问角 在哪个个象限，只只需把 改写成成 ，其中中 ，如讨讨论形如如 所表示示的角所所在象限限，可按按 ， ， 对整数数 进行分分类，目目的是“凑”出表达达： （2）对对表达式式 ， ， 、

17、 为常数数，它的的图示为为单位圆圆中的对对顶扇形形课时作业1若 的的终边在在第一、三三象限的的角平分分线上，则则 的终边边在_2下列各各题中，正正确的是是（ ）A终终边和始始边都相相同的两两个角一一定相等等B 是第二二象限的的角C若若 ，则 是第一一象限角角D相相等的两两个角终终边一定定相同3与 终终边相同同的角可可写成（ ）A B C D 4已知角角 的终边边与 轴的正正半轴所所夹的角角为 ，且终终边落在在第二象象限，又又 ，求 5已知 求 ， 参考答案：1在 轴轴正半轴轴上（注注： 轴正半半轴上角角都是 吗？）2选D3选C 取2时 4 ， 5 典型例题例1 设 ， ， ， ，那么么有（ ）

18、A B C （ ）DD 分析：解答本本题时，先先应明确确所给集集合中角角的具体体含义，再再逐一对对照每一一个选项项，明辨辨真伪解：第第一象限限的角不不一定小小于 （如 ），故故A错；小小于 的角不不一定在在第一象象限（如如 ），故故B错； 的角 ，但 的角 ，故C错；又又 ，因此此D对，应应选D说明：角的概概念推广广后，遇遇到角的的问题，应应根据角角的范围围及相关关角的概概念进行行具体分分析如如本题中中的“锐角”与“小于 的角”就是两两个含义义不尽相相同的概概念例2 在 间，求求出与下下列各角角终边相相同的角角，并判判定它们们分别是是哪一个个象限的的角（1） ；（2） 分析：求解本本题，其其关

19、键在在于正确确得到 中的 值，即即用给出出的角去去除以 所得到到的整数数部分解：（1）因为 ，所以 即为为欲求的的角，它它在第三三象限，从从而 也是第第三象限限的角（2）因因为 ，所以 即为所所求的角角，它是是第三象象限的角角，故 也是第第三象限限的角说明：在 内求终终边与给给定的角角的终边边相同的的角时，若若题中给给定的角角是负角角，在应应用式子子 表示时时， 比正常常除法所所得整数数应小一一个单位位，才能能使余数数在 内，故故这里的的 只能取取2，而不不能11，若取取1，则 ，这种种形式对对解本题题并无作作用，因因为 不在 之间例3 （1）如图图，终边边落在 位置时时的角的的集合是是_；线

20、边边落在 位置，且且在 内的角角的集合合是_；终终边落在在阴影部部分（含含边界）的的角的集集合是_（2）已已知 ，求 与与 分析：本题可可借助数数形结合合的思想想方法求求解解：（1）由图形直观可得：终边落在 位置时角的集合是 ；终边落在 位置，且在 内的角的集合是 ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（2）分分别在直直角坐标标平面上上画出表表示集合合 、 的示意意图（ 为横线线部分， 为竖线部分）（如图）再由图形直观得出： 说明：求角值值的集合合的交集集或并集集时，借借助数形形结合是是最简便便的方法法例4 已知知 是第二二象限的的角，试试求（1） 角所在在的象限限；（2） 角所在在的象限限

21、分析：对于本本题，如如若不进进行较深深入地推推演，则则很容易易得到一一个较明明显而又又错误的的结论，即即认为 角在第第一象限限； 角在第第四象限限，而事事实上是是不尽然然的解：（1）因为 是第二象限的角，所以 ，从而有有 由上知知，当 为偶数数时， 角是第第一象限限的角；当 为奇数数时， 角是第第三象限限的角综上可可知， 角是第第一或第第三象限限的角（2）由由（1）可知知， 角的范范围是 故 角角是第三三象限，或或第四象象限，或或是 轴负半半轴上的的角说明：依照（1）中的方法，可得到以下规律：当 分别是第一、二、三、四象限时， 则可能顺次是第一或三、一或三、二或四、二或四象限的角仿此，还可进一

22、步考虑 的情形，有兴趣的读者不妨一试；另外，应注意，在（2）中，不可把 角答成是第三象限或第四象限的角，因为终边在 轴负半轴上的角 （ ）也是它的一个解，而此角不属于任何象限探究活动经过55小时又又25分钟钟，时钟钟的分针针、时针针各转多多少度？参考答案：5小时时25分钟钟折合成成3255分钟60分钟钟对应3360，所以以3255分钟对对应 ，因为为顺时针针旋转，所所以分针针转1195005小时时25分钟钟折合成成 小时，11小时对对应 所以以 小时对对应 ，所以以顺时针针转1162.5习题精选一填空题题1与与 终边相相同的角角的集合合是_，它们们是第_象象限的角角，其中中最小的的正角是是_，

23、最最大负角角是_2已已知 的终边边在 轴上的的上方，那那么 是第_象象限的角角3已已知角 的终边边落在第第一、四四象限及及 轴正半半轴，则则角 的集合合为_；终终边在坐坐标轴上上的角的的集合为为_4若若角 与 的终边边关于 轴对称称，则 与 的关系系是_；若角 与 的终边边互相垂垂直，则则 与 的关系系是_5给给出下列列命题： 和和 的角的的终边方方向相反反； 和和 的角的的终边相相同；第一一象限的的角和锐锐角终边边相同； 与与 的终边边相同；设 ， ，则 其中所所有正确确命题的的序号是是_二选择题题6下下列命题题中，正正确的是是（ ）A始始边和终终边都相相同的两两个角一一定相等等B 是第二二

24、象限的的角C若若 ，则 是第一一象限角角D相相等的两两个角终终边一定定相同7与与 角终边边相同的的角可写写成（ ）（ ）A B C DD 8经经过3小时355分钟，时时针与分分针转过过的度数数之差是是（ ）A B C D 9若若两角 、 的终边边关于原原点对称称，那么么（ ）A B C D 10设 ，且 的终边边与 轴非负负半轴重重合，则则这样的的角最多多有（ ）A二二个 BB三个个 CC四个个 DD五个个三解答题题11求所有有与所给给角终边边相同的的角的集集合，并并求出其其中的最最小正角角，最大大负角：（1） ；（2） 12求 ，使 与 角的终终边相同同，且 13如图所所示，写写出图中中阴影

25、部部分（包包括边界界）的角角的集合合，并指指出 是否是是该集合合中的角角14已知角角 是第三三象限的的角，试试判断 、 所在的的象限15若角 的终边边经过点点 ，试写写出角 的集合合，并求求出集合合中绝对对值最小小的角16写出终终边在函函数 的图象象上的角角的集合合 ，并指指出其中中在 内的角角参考答案：一填空题题1 ，三三， ， 2一、三三3 ， 4 ， 5、二选择题题6D 7C 8C 9D 100D三解答题题11（11） ，其中中 的最小小正角为为 ，最大大负角为为 ；（2） ，其中中 的最小小正角为为 ，最大大负角为为 12由 ，知符符合条件件的角为为 ， ， ， ， 13阴影影部分角角

26、的集合合为 ， 是该集集合中的的角因因为 14 在在第二、四四象限； 在第一一、三、四四象限15所求求集合为为 ，集合合中绝对对值最小小的角为为 16 ， ， ， ， 提示：先由由 可知所所求角在在 的值为为 或 ，由此此即可写写出集合合 4.2 弧弧度制教学目标1.使使学生理理解弧度度的意义义，能正正确地进进行弧度度与角度度的换算算，熟记记特殊角角的弧度度数；2.了解角角的集合合与实数数集R之之间可以以建立起起一一对对应的关关系；3.掌握弧弧度制下下的弧长长公式，会会利用弧弧度解决决某些简简单的实实际问题题；4.在在理解弧弧度制定定义的基基础上，领领会弧度度制定义义的合理理性；5.通过学学习

27、，理理解并认认识角度度制与弧弧度制都都是对角角度量的的方法，二二者是辩辩证统一一的.教学建议一、关于弧弧度制的的知识结结构二、关于弧弧度制的的重点、难难点分析析重点是是理解弧弧度的意意义，能能正确地地进行角角度制与与弧度制制的换算算；难点点是弧度度制的概概念与角角度的关关系。（1）要要弄清11弧度的的意义。弧弧度制与与角度制制一样，只只是度量量角的一一种方法法，但由由于学生生有先入入为主的的想法，所所以学起起来有一一定的困困难，首首先必须须清楚11弧度的的概念，它它与所在在圆的半半径大小小无关。其其次弧度度制与角角度制相相比有一一定的优优点，一一是在进进位上角角度制在在度、分分、秒上上是600

28、进制，而而弧度制制却是十十进制，其其二在弧弧长和扇扇形的面面积的表表示上弧弧度制也也比角度度制简单单： （2）两两种制度度的转换换。利用用它们的的意义在在弧度制制下圆周周角为 radd，而角角度制下下圆周角角为 ，所以以 radd ，进而而得到 radd radd.1rad 三、关于弧弧度制的的教法建建议（1）建建议教学学用实例例来讲述述1弧度的的含义，这这样便于于学生概概念的理理解；（2）建建议在教教学时，通通过弧度度制与角角度制对对比来分分析、说说明应用用弧度制制的度量量比应用用角度制制的度量量方法是是否具有有优越性性；（3）关关于弧度度与角度度二者的的换算，教教学时应应抓住：弧度 弧度度

29、这个关键，来来引导学学生；（4）教教学应注注意强调调在同一一式中，所所采用的的单位必必须一致致；（5）通通过例33的教学学，应让让学生知知道，无无论是利利用角度度制还是是弧度制制，都能能在已知知弧长和和半径的的情况下下推出扇扇形面积积公式，但但利用弧弧度制来来推导要要简单中中些教学设计示示例（一一）弧度制教学目标：1明明确引入入弧度制制的必要要性，理理解新单单位制意意义2熟熟练掌握握角度制制与弧度度制的换换算教学重点：理解弧弧度制引引入的必必要性，掌掌握定义义，能熟熟练地进进行角度度制与弧弧度制的的互化教学难点：弧度制制定义的的理解教学用具：投影仪仪教学过程1设置情情境在角度度制下，当当把两个

30、个带着度度、分、秒秒各单位位的角相相加、相相减时，由由于运算算进率非非十进制制，总给给我们带带来不少少困难那么我我们能否否重新选选择角单单位，使使在该单单位制下下两角的的加、减减运算与与常规的的十进制制加减法法一样去去做呢？本节课课就来尝尝试选择择这种新新单位2探索研研究（1）复习习角度制制我们在在平面几几何中研研究角的的度量，当当时是用用度做单单位来度度量角， 的角是如何定义的？规定把把周角的的 作为1度的角角我们把把用度做做单位来来度量角角的制度度叫做角角度制，在在数学和和其他许许多科学学研究中中还要经经常用到到另一种种度量角角的制度度弧度制制，它是是如何定定义呢？（2）弧度度制定义义我们

31、把把等于半半径长的的圆弧所所对的圆圆心角叫叫做1弧度的的角，如如图1，弧 的长等等于半径径 ， 所对的的圆心角角 就是1弧度的的角，弧弧度制的的单位符符号是 ，读作作弧度图1 的弧弧度数 的弧度度数 提问：若弧是是一个半半圆，则则其圆心心角的弧弧度数是是多少？若弧是是一个整整圆呢？因为半半圆的弧弧长 ，其圆圆心角的的弧度数数是 ，同理理，若弧弧是一个个整圆，其其圆心角角的弧度度数是 在 到到 的角的的弧度数数 必然适适合不等等式 ，角的的概念推推广后，弧弧的概念念也随之之推广，任任一正角角的弧度度数都是是一个正正数如如果圆心心角表示示一个负负角，且且它以所所对的弧弧长 ，则这这个圆心心角的弧弧

32、度数是是 ，由此此我们给给出弧度度制的定定义：一一般地，可可以得到到：正角角的弧度度数是一一个正数数，负角角的弧度度数是一一个负数数，零角角的弧度度数是00；角 的弧度度数的绝绝对值 ，其中中 是以角角 作为圆圆心角时时所对的的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制提问：为什么么可以用用弧长与与其半径径的比值值来度量量角的大大小呢？即这个个比值是是否与所所取的圆圆的半径径大小无无关呢？ 如图22，设 为 的角，圆圆弧 和 的长分分别为 和 ，点 和 到点 的距离离（即圆圆半径）分分别为 和 ，由初初中学过过的弧长长公式可可得： ， ，于是是 上式式表明，以以角 为圆

33、心心角所对对的弧长长与其半半径的比比值，由由 的大小小来确定定，与所所取的半半径大小小无关，仅仅与角的的大小有有关因 ，可可以得到到 ，那弧弧长等于于圆弧所所对圆心心角的弧弧度数的的绝对值值与半径径的积，这这个公式式比采用用角度制制时相应应公式 要简单单（3）角度度制与弧弧度制的的换算用“弧弧度”与“度”去度量量每一个个角时，除除了零角角以外，所所得到的的量数都都是不同同的，但但它们既既然是度度量同一一个角的的结果，二二者就可可以相互互换算我们已已经知识识若弧是是一个整整圆，它它的圆心心角是周周角，其其弧度数数是 ，而在在角度制制里它是是 ，因此此 ，两边边除以22得 等式式两边同同除1880

34、得 同理，把把弧度换换成角度度 【例1】把把 化成弧弧度解： 【例2】把把 化成度度解： 同学们在进进行角度度制与弧弧度制互互化时要要抓住 弧度这这个关键键下面请大家家写出一一些特殊殊角的弧弧度数角度 弧度 按从左至右右顺序其其答案是是：0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 今后后我们用用弧度制制表示角角的时候候，“弧度”二字或或“ ”通常省省略不写写，而只只写相应应的弧度度数例例如：角角 就表示示 是 的角， 就表示示 的角的的余弦，即即 （4）角度度制与弧弧度制的的比较引进弧弧度制后后，我们们应将它它与角度度制进行行比较，同同学们应应明确：弧度制制是以“弧度”为单位位度量角角的制度度，

35、角度度制是以以“度”为单位位度量角角的制度度；1弧度是是等于半半径长的的圆弧所所对的圆圆心角（或或该弧）的的大小，而而 是圆的的 所对的的圆心角角（或该该弧）的的大小；不论是是以“弧度”还是以以“度”为单位位的角的的大小都都是一个个与半径径大小无无关的定定值【例3】计计算：（1） ；（2） 解：（1） （2） 练习（用投投影仪）1把下列列各角化化成 的形式式：（1） ；（2） ；（3） 2求右图图3中公路路弯道处处弧 的长 （精确确到 ，图中中长度单单位： ） 参考答案：1（1） （2） （3） 2 答：弯弯道处 的长约约为 3练习反反馈（1）若若三角形形的三个个内角之之比是22：3：4，求其

36、其三个内内角的弧弧度数（2）已已知扇形形的周长长为 ，面积积为 ，求扇扇形的中中心角的的弧度数数（3）下下列终边边相同的的是（）A 与 B 与 C 与 D 与 参考答案：（1） 、 、 ；（22）2（3）B4总结提提炼（1） 弧度；（2）“角化弧弧”时，将将 乘以 ；“弧化角角”时，将将 乘以 （3）弧弧长公式式： 扇形面积公公式： （其其中 为圆心心角 所对的的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径）课时作业1角集合合 与 之间的的关系为为（ ）AB C D不确确定2若角 和 的终边边互为反反向延长长线，则则有（ ）A B C D 3中心角角为 的扇形形，它的的弧长为为 ，则该该扇形所所在圆的

37、的半径为为_4若 ，且且 与 的角的的终边垂垂直，则则 5已知直直径为 的滑轮轮上有一一条长为为 的弦， 是此弦弦的中点点，若滑滑轮以每每秒5弧度的的角速度度旋转，则则经过55秒钟后后点 转过的的弧长等等于多少少？6已知一一个扇形形周长为为 ，当扇扇形的中中心角为为多大时时，它有有最大面面积参考答案：1C 2D 36； 4 或 ； 5 ； 6中中心角 时， 教学设计示示例（二二）弧度制教学目标1理理解角集集与实数数集 的一一一对应，熟熟练掌握握角度制制与弧度度制间的的互相转转化2能能灵活应应用弧长长公式、扇扇形面积积公式解解决问题题教学重点：能熟练练地进行行角度制制与弧度度制的互互化教学难点：

38、能灵活活应用弧弧长公式式、扇形形面积公公式解决决问题教学用具：投影仪仪教学过程：1设置情情境像角的的概念推推广一样样，我们们已经把把 中角，利利用“乘以 ”这一法法则映射射到实数数集 上，那那么， 以外的的角能否否化为弧弧度制？如果能能，如何何转化呢呢？乘数数因子是是否仍为为“ ”，本节节课就来来讨论这这个问题题2探索研研究（1）正正、负角角的弧度度定义 正角角的弧度度数是一一个正数数，负角角的弧度度数是一一个负数数，零角角的弧度度数是00，角 的弧度度数的绝绝对值 ， 为以角角 作为圆圆心角的的所对的的弧的长长， 是圆的的半径，这这种以弧弧度作为为单位来来度量角角的单位位制，叫叫做弧度度制（

39、2）角角集合与与实数集集 之间的的一一对对应用弧度度制来度度量角，实实际上是是在角的的集合与与实数集集 之间建建立这样样的一一一对应关关系（如如图1所示）每一个个角都有有惟一的的一个实实数（即即这个角角的弧度度数）与与它对应应；反过过来，每每一个实实数也都都有惟一一的一个个角（角角的弧度度数等于于这个实实数）与与它对应应于是，就就可以把把三角函函数看成成是以实实数为自自变量的的函数，它它的自变变量的意意义可以以有多种种解释，从从而使三三角函数数的应用用更加广广泛，在在数学与与科学研研究中所所以普遍遍采用弧弧度制，这这是原因因之一（3）有有关公式式弧长长 （4）例例题分析析【例11】下列列站个角

40、角中哪几几个是第第二象限限角？（1） （2） （3） （4）9（5）4（66） 解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 从而可知（2）（4）（5）所给的角在象限点评：用用弧度制制表示终终边相同同的角的的方法 把一一角化为为 形式，其其中 从而可可判断角角所在象象限在同同一问题题求解过过程中，两两种单位位不能混混用，如如 写法不不妥【例2】（1）把 化为 ， ， 的形式式是（ ）A B C D （2）在半半径不等等的两个个圆内，1弧度的圆心角（ ）A所所对弧长长相等BB所对对的弦长长相等C所所对弧长长等于各各自半径径DD所对对的弧长长为 解： 选DD（2）由弧弧度制定定义，知知半径为

41、为 的圆上上，1弧度的的弧长应应等于半半径 ，故选选 【例3】填填空（1）在在 内找出出与 终边相相同的角角_（2）圆圆的弧长长等于该该圆内接接正三角角形的边边长，则则该弧所所对的圆圆心角的的弧度数数是_（3）在在扇形 中， ，弧长长为1，则此此扇形内内切圆的的面积_解：（1）与与 终边相相同角，设设为 令 所求求角为： （2）设设圆半径径为 ，则内内接正三三角形边边长为 ，当弧弧长 时，其其所对圆圆心角 （3）如如图2，设扇扇形半径径为 ，内切切圆半径径为 ，则由由 3练习反反馈（1） _弧弧度； _弧度；100弧度_度（2）与与 终边相相同的角角是_，它它们是第第_象限限角，其其中最小小正

42、角为为_，最最大负角角为_参考答案：（1） ； ； （2） ；它们们是第三三象限角角；最小小正角为为 ，最大大负角为为 4总结提提炼（1） （度） ； 这里， 为为任一角角度制角角， 为任一一实数（弧弧度）（2）有有了弧度度制，实实现了角角度集与与实数集集合之间间的一一一对应，对对应法则则是正比比例函数数 （ 为角度度集合中中元素， 为实数集中元素）（3）弧弧度制的的引入，使使得有关关公式表表达式简简单，运运算为常常规的十十进制（4）任任一角 的弧度度的绝对对值为 ，也就就是说，对对于任意意角的度度量，其其弧度要要把符号号和绝对对值分开开求课时作业1若 ， ， ，则 的终边边位置关关系是（ ）

43、A重重合BB关于于原点对对称CC关于于 轴对称称D关关于 轴对称称2如果弧弧度的圆圆心角所所对的弦弦长为22，那么么这个圆圆心角所所对的弧弧长是（ ）ABCD 3地球赤赤道的半半径是663700，所所以赤道道上 的弧长长是_（精精确到00.011）4一条铁铁路在转转弯处成成圆弧形形，圆弧弧的半径径为2，一一列火车车用每小小时300的速速度通过过，100秒间转转过几度度？5半径为为 的扇形形，其周周长为 ，则扇扇形中所所含弓形形的面积积是多少少？6角 和和角 的和是是1弧度，差差为 ，则 和 的弧度度数分别别是多少少？参考答案：1C； 2C； 331.885； 4因为圆圆弧半径径为 ， ， 走过

44、弧弧长为 ，由公公式 ；5 ；6 ， 板书设计弧度制（二二）1正、负负、零角角的弧度度制意义义2角度集集合与实实数集间间一一对对应3例1例2例3练习反馈小结典型例题例1 将将下列各各角化成成 ，且 的形式式，并指指出它们们是第几几象限角角：（11） ；（2） 分析 先先把 化成 的形式式，再用用弧度制制表示解（1） ， 与与 角的终终边相同同，又 是第一一象限角角， 是是第一象象限角（2） ， 与 角的终终边相同同又 是第三三象限角角， 是第三三象限角角说明 用弧弧度制表表示终边边相同角角 时， 是 的偶数数倍，而而不是整整数倍同时， 为弧度，不能写成 的形式例2 若若弧度为为2的圆心心角所对

45、对的弦长长为2，则这这个圆心心角所夹夹扇形的的面积是是（ ）A B C D 分析 由由扇形的的面积公公式 知，要要求扇形形的面积积，只需需求出扇扇形的半半径 即可解 如图，过过点 作 于 ，延长长 ，交 于 ，则 ，且 在 中中， 扇形形的面积积 故选C例3 集集合 ， ，则有有（ ）AB C D 分析 对集集合 中的整整数 依次取取0，1，2，3，得角角 ， ， ， ， ， ， 角的终终边相同同故选选 例4如如图，用用弧度制制表示下下列终边边落在阴阴影部分分的角的的集合（不不包括边边界） 解（1）按按逆时针针方向，在在区间 上与角角 终边相相同的角角为 ，故所所求集合合为： （2）图图中第三

46、三象限部部分可看看成是由由第一象象限的阴阴影部分分绕原点点旋转 弧度而而成的，故故所求集集合可表表示为： 说明 当两两区域的的边界互互为反向向延长线线时，只只用一个个式“ ”就可以以表示（3）所所求集合合为： 例5 已已知两角角的和为为1弧度，且且两角的的差为 ，求这这两个角角各是多多少弧度度分析 设两两角的弧弧度数分分别是 、 ，通过过列方程程组，就就可以求求出 、 ，但要要注意单单位的统统一解 设两角角的弧度度数分别别是 、 ，因为为 ，则依题题意，得得 ，解之之得 即所求求两角的的弧度数数分别为为 ， 扩展资料纸扇能否按按照黄金金比例设设计？在炎炎炎夏日，用用纸扇驱驱走闷热热，无疑疑是最

47、环环好的方方法扇扇在美观观设计上上，可考考虑用料料、图案案和形状状若从从数学角角度看，我我们能否否利用黄黄金比例例（0.6188）去设设计一把把富美感感的的白白纸扇？在设计计纸扇张张开角（ ）时，可考虑从一圆形（半径为 ）分割出来的扇形的面积（ ）与剩余面积（ ）的比值若假设这比值等于黄金比例，便可以找出 若若 ， 以弧度度表示 则则 （精精确至最最接近的的 ） 除除了找市市面上的的纸扇去去量度其其张开的的角度外外，我们们更可自自制不同同形状的的纸扇，去去测试一一下 接近 的设计计是否最最美探究活动旋转的风车车一个大大风车的的半径为为8m，12分钟钟旋转一一周，它它的最低低点离地地面2mm（如

48、图图所示），求求风车翼翼片的一一个端点点离地面面距离 （米）与与时间 （分钟钟）之间间的函数数关系（用用弧度制制求解） 解：首首先考虑虑建立直直角坐标标系，以以最低点点的切线线作为 轴，最最低点作作为坐标标原点，如如图建立立直角坐坐标系那么，风风车上翼翼片端点点所在位位置 可由函函数 、 来刻画画，而且且 所以，只只需要考考虑 的表示示达又又设 的初始始位置在在最低点点即 在 中中， ， 而 ，所以以 ， ， 习题精选一、选择题题1 的值值是（ ）A BB CC D 2一条弦弦长等于于半径的的 ，则此此弦所对对圆心角角（ ）A等等于 弧度B等等于 弧度C等等于 弧度DD以上上都不对对3把 化化

49、为 的形式式是（ ）A B C D 4扇形的的周期是是16，圆圆心角是是2弧度，则则扇形面面积是（ ）A B C16D32二、填空题题1 度； 弧度2半径为为2的圆中中，长为为2的弧所所对的圆圆周角的的弧度数数为_，度度数为_33弧度度的角的的终边在在第_象象限，77弧度的的角的终终边在第第_象限限4扇形的的圆心角角为 ，半径径为 ，则弧弧长为_5若 的的圆心角角所对的的弧长为为 ，则此此圆的半半径为_三、解答题题1在半径径为 的圆中中，扇形形的周长长等于半半圆的长长，那么么扇形的的圆心角角是多少少度？扇扇形的面面积是多多少？2在直径径为 的滑轮轮上有一一条弦，其其长为 ，且 为弦的的中点，滑

50、滑轮以每每秒5弧度的的角速度度旋转，则则经过 后， 点转过过的弧长长是多少少？进阶演练3扇形 的面积积为 ，它的的周长为为 ，求扇扇形圆心心角的弧弧度数及及弦长 4一扇形形周长是是 ，扇形形的圆心心角为多多少弧度度时，这这个扇形形的面积积最大？最大面面积是多多少？参考答案：一、选择题题1B 2D 3D 4C二、填空题题136， 2 ， 3二、一一4 5 三、解答题题1 ， 2 3 ， 4圆心角角为2弧度时时， 最大值值为 4.3 任任意角的的三角函函数教学目标 （1）掌掌握任意意角的正正弦、余余弦、正正切的定定义，了了解如何何利用与与单位圆圆有关的的有向线线段，将将任意角角的正正弦、余余弦、正

51、正切函数数值分别别用正弦弦线、余余弦线、正正切线表表示出来来；（2）了了解余切切、正割割、余割割的定义义；掌握握正弦、余余弦、正正切函数数的定义义域和这这三种函函数的值值在各象象限的符符号；（33）掌握握公式一一，会运运用它们们把求任任意角的的正弦、余余弦、正正切函数数值分别别转化为为求0到3660的的这三种种三角函函数值；（44）通过过树立映映射的观观点，建建立正确确理解三三角函数数是以实实数为自自变量的的函数的的能力；（55）体会会同一角角的三角角函数值值，不因因在其终终边上取取点的变变化而变变化，从从而启示示在研究究问题时时，要能能在千变变万化中中，抓住住事物的的本质属属性，不不被表面面

52、现象所所迷惑教学建议一、知识结结构先通过过平面直直角坐标标系定义义了任意意角的正正弦、余余弦、正正切函数数，并利利用与单单位圆有有关的线线段，将将这些函函数值分分别用它它们的几几何形式式表示出出来；然然后定义义了任意意角的正正切、正正割、余余割函数数接着着着重研研究正弦弦、余弦弦、正切切函数的的定义域域和这三三种函数数的值在在各个象象限的符符号；并并根据三三角函数数的定义义，得出出“终边相相同的角角的同一一三角函函数的值值相等”的结论论及把此此结论表表示成第第一组诱诱导公式式（公式式一）二、重点、难难点分析析重点是是任意角角的正弦弦、余弦弦、正切切的定义义及在各各象限内内的符号号和定义义域，诱

53、诱导公式式一；难难点是用用单位圆圆中的有有向线段段表示角角的正弦弦、余弦弦、正切切值（1）定定义中的的六个比比值 等，与与点 在终边边上的位位置无关关，只与与角的大大小有关关；它们们都可以以看作以以角为自自变量，以以比值为为函数值值的函数数，分别别称为正正弦函数数，余弦弦函数等等（2）三三角函数数在各象象限内的的符号，是是根据三三角函数数的定义义，终边边上的点点坐标符符号来确确定的，十十分重要要，在今今后的学学习中经经常用到到（3）定定义域也也是根据据三角函函数的定定义，要要求其有有意义，即即分母不不为0而得到到角的取取值范围围（4）诱诱导公式式（一）也也是利用用任意三三角函数数的定义义，结合

54、合终边相相同的角角定义得得出，即即终边相相同的角角的同名名三角函函数值相相等： （5）三三角函数数线是表表示一个个角三角角函数值值的几何何方法，它它们的大大小即长长度等于于 的三角角函数值值的符号号特别别注意的的是它们们均有方方向，即即起点和和终点，记记法：当当两个端端点都在在 轴上时时，以原原点为起起点（余余弦线），当当两个端端点有一一个在轴轴上时，以以轴上的的点为起起点（正正弦线、余余弦线），特特别是正正弦线和和正切线线在后面面三角函函数的图图象中，用用来作出出正弦曲曲线和正正切曲线线，所必必须清楚楚其意义义三、关于任任意角的的三角函函数的教教法建议议（1）由由三角函函数的定定义可知知，若

55、已已知角 终边上上一点，便便可求出出其各三三角函数数值，或或通过三三角函数数定义，可可知其二二求其一一三角函函数的符符号与角角所在象象限有关关，采用用上图来来记忆 （2）必须须讲清并并强调 这六个个比值的的大小都都与点 在角的的终边上上的位置置无关，只只与角的的大小有有关，即即它们都都是以角角为自变变量，以以比值为为函数值值的函数数（3）教教学中应应注意，语语言要准准确严密密首先先“六种函函数统称称为三角角函数”这句话话，说明明不是这这六种函函数的函函数，都都不能说说是三角角函数（4）教教学中，应应当引导导学生深深刻认识识三角函函数符号号的含义义如， 这个符号，它表示 ，即角 的正弦，不能把

56、看成 与 的乘积，犹如 不能看成 与 的乘积一样，离开了自变量 ，符号 就没有意义了同时也应注意，每个函数记号的第一个字母“ ”或“ ”或“ ”都不能大写，不能让学生养成写“ ”、“ ”等习惯教学设计示示例（一一）任意角的三三角函数数教学目标：1通通过对初初中锐角角三角函函数定义义的回忆忆，掌握握任意角角三角函函数的定定义法，并并掌握用用单位圆圆中的有有向线段段表示三三角函数数值2掌掌握已知知角 终边上上一点坐坐标，求求四个三三角函数数值（即即给角求求值问题题）教学重点：任意角角的三角角函数的的定义教学难点：任意角角的三角角函数的的定义，正正弦、余余弦、正正切这三三种三角角函数的的几何表表示教

57、学用具：直尺、圆圆规、投投影仪教学步骤： 1设置情情境角的范范围已经经推广，那那么对任任一角 是否也也能像锐锐角一样样定义其其四种三三角函数数呢？本本节课就就来讨论论这一问问题2探索研研究（1）复习习回忆锐锐角三角角函数我们已已经学习习过锐角角三角函函数，知知道它们们都是以以锐角 为自变变量，以以比值为为函数值值，定义义了角 的正弦弦、余弦弦、正切切、余切切的三角角函数，本本节课我我们研究究当角 是一个个任意角角时，其其三角函函数的定定义及其其几何表表示（2）任意意角的三三角函数数定义如图11，设 是任意意角， 的终边边上任意意一点 的坐标标是 ，当角角 在第一一、二、三三、四象象限时的的情形

58、，它它与原点点的距离离为 ，则 定义：比比值 叫做 的正弦弦，记作作 ，即 比值值 叫做 的余弦弦，记作作 ，即 图1比值值 叫做 的正切切，记作作 ，即 同时提提供显示示任意角角的三角角函数所所在象限限的课件件提问：对于于确定的的角 ，这三三个比值值的大小小和 点在角角 的终边边上的位位置是否否有关呢呢？利用三三角形相相似的知知识，可可以得出出对于角角 ，这三三个比值值的大小小与 点在角角 的终边边上的位位置无关关，只与与角 的大小小有关请同学学们观察察当 时， 的终边边在 轴上，此此时终边边上任一一点 的横坐坐标 都等于于0，所以以 无意义义，除此此之外，对对于确定定的角 ，上面面三个比比

59、值都是是惟一确确定的把上面面定义中中三个比比的前项项、后项项交换，那那么得到到另外三三个定义义比值值 叫做 的余切切，记作作 ，则 比值值 叫做 的正割割，记作作 ，则 比值值 叫做 的余割割，记作作 ，则 可以看出：当 时， 的终边边在 轴上，这这时 的纵坐坐标 都等于于0，所以以 与 的值不不存在，当当 时， 的值不不存在，除除此之外外，对于于确定的的角 ，比值值 ， ， 分别是是一个确确定的实实数，所所以我们们把正弦弦、余弦弦，正切切、余切切，正割割及余割割都看成成是以角角为自变变量，以以比值为为函数值值的函数数，以上上六种函函数统称称三角函函数（3）三角角函数是是以实数数为自变变量的函

60、函数对于确确定的角角 ，如图图2所示， ， ， 分别对对应的比比值各是是一个确确定的实实数，因因此，正正弦，余余弦，正正切分别别可看成成从一个个角的集集合到一一个比值值的集合合的映射射，它们们都是以以角为自自变量，以以比值为为函数值值的函数数，当采采用弧度度制来度度量角时时，每一一个确定定的角有有惟一确确定的弧弧度数，这这是一个个实数，所所以这几几种三角角函数也也都可以以看成是是以实数数为自变变量，以以比值为为函数值值的函数数 即：实实数角（其其弧度数数等于这这个实数数）三角函函数值（实实数）（4）三角角函数的的一种几几何表示示利用单单位圆有有关的有有向线段段，作出出正弦线线，余弦弦线，正正切