清华信号与系统chapter2

1、2.1LTIS 微分方程建立与求解引言微分方程式的建立与求解起始点的跳变2006-10-912.1.0本节内容引言微分方程式的建立与求解起始点的跳变2006-10-922.1.1引言描述系统的微分方程输入输出描述法（端口描述法） 建立输入输出变量的高阶微分方程状态变量描述法建立系统状态变量的微分方程组系统分析方法任务：给定系统模型和输入，求解系统的输出响应；方法：时域分析、变换域分析；2006-10-932.1.1引言系统时域分析分析方法内容微分方程的求解:（对于高阶系统不方便）状态变量方法：（矩阵运算）卷积积分：（重点）2006-10-94建立线性系统微分方程输入输出变量的高阶微分方程式建立

2、方法元件约束条件微分方程 高阶微分方程微分方程系统结构约束条件 求解微分方程微分方程组阶微分方程2006-10-95系统微分方程的建立建立线性系统微分方程根据具体物理系统建立微分方程举例：电路RLC串联电路机械位移系统根据系统框图建立微分方程（第一章）y (t) ay (t) by(t) f (t)2006-10-96系统微分方程的建立例：右图所示为RLC并联电路，求并联电路端电压v(t)与激励源iS (t)间的关系.RLC并联电路2006-10-97系统微分方程的建立解：将v(t)作为变量，列写各元器件约束条件：电阻：i (t) 1 v(t)RR电感：i (t) 1tRLC并联电路v( )d

3、LL电容：i (t) C d v(t)基尔霍夫电流定律Cdt系统结构约束条件：iR (t) iL (t) iC (t) iS (t)2006-10-98系统微分方程的建立1 v(t)R1LC d v(t)dttv( )diR (t)iL (t)iC (t)iS (t)方程两边再求导d 21 d 1di (t)dt SCdt 2v(t)v(t)R dtv(t)L2006-10-99系统微分方程的建立例：右图所示为机械微机系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为 f ，外加牵引力为FS (t)，求外加牵引力FS (t) 与刚体运动速度 v(t)间的关系。机

4、械位移系统2006-10-910系统微分方程的建立解：列写机械系统运动定律方程：弹簧胡克定律：t )d(t) kFv(K摩擦力（阻尼力）：Ff (t) f v(t)牛顿第二定律：机械位移系统F (t) m d v(t)mdtFm (t) Ff(t) FK (t) FS (t)达朗贝尔定律:2006-10-911系统微分方程的建立m d v(t)dttv( )df v(t)Ff (t)kFK (t) FS (t)Fm (t)d 2ddv(t) fv(t) kv(t) F (t)dtdtSmdt 22006-10-912系统微分方程的建立元器件特点：参数恒定线性电路网络：两个储能元件机械位移系统：

5、两个储能元件d 2ddv(t) C1 dt v(t) C2 E1 dt e(t)C0dt 2二阶线性常系数微分方程2006-10-913高阶微分方程求解线性程系数微分方程：LTIS系统d ndr(t) C r(t) dtnr(t)r(t)dtdtdmde(t) Em1 dt e(t) Eme(t)Ee(t)dtdt一般情况下：nm:n阶线性常系数线性微分方程d nidm jnmCii0r(t) Ejj 0e(t)dt nidt m j2006-10-9高阶微分方程求解高阶微分方程求解步骤：(）r (t) Ae1t A e2t A ent1）求解齐次解:h12 CnC C Cn 0n1特征方程：

6、n101nn个特征根：1,n项： 查表 rp (t)2）求方程特解：A1， A2 , , An3）列写方程完全解，并定系数完全解：Ae1t A e2t A ent r (t)12np2006-10-915高阶微分方程求解 -求齐次解特征方程不具有重根n个不相同的根：1,2 nni1r (t) Ae1t A e2t A ent tAeih12ni特征方程具有重根具有k重根 j 对应项：k At t tk 2 At A )ek i( Atejjk 12ki i12006-10-916高阶微分方程求解 -特解查表激励函数e(t)响应函数 r(t)特解教科书：P46EB说明：1）B,D为待定系数，可以

7、有方程系数平衡法求得；pi0pit pB tietcos(t)BetB1 cos(t) B2 sin(t)2项e(t)）有几种激励函数组合，则特解也为相应的组合；3）如果特解与齐次解重 复，应该增加t备乘项，k重根，则增加备乘t的1,2,.,k次方的项。 sin(t)p Bit ecos(t) tpit ecos(t) pti0t esin(t)pTptsin(t)piDit ei02006-10-917高阶微分方程求解 -确定齐次解中系数r(t) rh (t) rp (t) rp (t)rh (t) |( A , A, A )12n给出0+ t 中，关于r(t),以及它的d kr(t), k

8、 N 的n个取值，各阶导数dt k便可以列写出来n个关于待定系数的方程组来确定：A1, A2 , An2006-10-918高阶微分方程求解 -确定齐次解中系数一般情况下给定系统的初始条件：系统初始条件：r(k) (0 ), (k 0,1, n 1)r(t0 ), dt r(t0 ), dt 2 r(t0 ), dtn1 r(t0 )d n1d 2dt0 0代入方程， 组，进行求解n个关于待定系数的方程2006-10-919高阶微分方程求解 -确定齐次解中系数如果特征方程具有n个个不相同的特征根，则到如下方程组： r(0 ) A1 A2 An rp (0 ) ddr(0 ) A11 A22 A

9、nnrp (0 ) dtdt d n1d n1A A A ) n1n1n1dtn1r(0rp (0 )1122nnn1dt2006-10-920高阶微分方程求解 -确定齐次解中系数方程组的矩阵形式：当i , i 1, 2, n个不相同时，它的逆矩阵存在范德蒙德矩阵(VandermondeMatrix)2006-10-921r(0 ) rp (0 )dd 111 A1 r(0 ) rp (0 ) dtdt 12n A2 d n1d n1 n1 n1 n1 A r(0 ) r (0 )12n n dtn1dtn1p高阶微分方程求解 -确定齐次解中系数思考：如果方程具有重根，如何求解待定系数？200

10、6-10-922高阶微分方程求解 -确定齐次解中系数微分方程的解只是对应系统在t0后的信息。在 t=0时刻的状态是激励加入之后的零状态，称之为：0+。由于在t=0时刻加入了激励信号，故此系统0+,0-状态会不一致。2.1.1微分方程求解例子例：如下图所示电路，已知激励信号e(t) sin(2t)u(t)，初始时刻，电容电压都为0，求输出信号v2 (t)的解。2006-10-9242.1.1微分方程求解例子解：(1) 列写电路微分方程：e(t) i1 v1(t)v1 (t) i2 v2 (t) 1dv (t) ii1122 dt 1 div (t)223 dt2006-10-9252.1.1微分

11、方程求解例子解：化简后电路微分方程：d 2dv2 (t) 7 dt v2 (t) 6v2 (t) 6 sin(2t)dt 22006-10-9262.1.1微分方程求解例子(2)求齐次解，写出特征方程 2 7 6 0特征根： 1 1, 2 6齐次解为：AetA e6t122006-10-9272.1.1微分方程求解例子(3)查表，得知激励函数sin(2t)特解形式为：B1 sin(2t) B2 cos(2t)代入原方程求系数B:4B1 sin(2t) 4B2 cos(2t) 14B1 cos(2t) 14B2 sin(2t) 6B1 sin(2t) 6B2 cos(2t) 6 sin(2t)化

12、简为：(2B1 14B2 6) sin(2t) (14B1 2B2 ) cos(2t) 02006-10-9282.1.1微分方程求解例子因此：2B1 14B2 6 014B 2B 012解得：3 21B ,B125050于是，特解为：3sin(2t) 21 cos(2t)50502006-10-9292.1.微分方程求解例子3sin(2t) 21 cos(2t)et(4)完全解为：(t)5050(0) 0，又因为由于已知电容初始电压为，所以d(t) 0，初始电压为 ，所以流过初始电流为，所以dt由这两个初始条件可写出： 210 A A12506 0 A 6 A 50 122006-10-92

13、.1.1微分方程求解例子由此可解得： 24 ,3A A125050完全解为：v (t) 24 e533sin(2t) 21 cos(2t)e6t2255050502006-10-931高阶微分方程求解 -求解结果的物理解释常系数微分方程 线性时不变系统(LTIS)系统完全解r(t)自有响应强迫响应 rh (t) rp (t)i (i 1, 2, n)特征根2006-10-932固有频率自有频率自然频率系统起始点跳变：t 0t 0：激励接入系统之前瞬时t 0：激励接入系统之后瞬时求解微分r(k ) (0 )：系统的起始状态原始状态r(k ) (0 )：系统的初始状态（初始条件）方程条件r(k )

14、 (0 ) r(k ) (0 ) : 跳变r(k ) (0 ) r(k ) (0 ) : 连续导出的初始状态2006-10-933 t 系统响应区间：0激励e(t)加入时刻：t 0系统起始状态：Original Susd n1d) r(0(k )r(0),r(0),r(0 )n1dtdt系统初始条件：求解待定系数Aid n1d) r(0(k )r(0),r(0),r(0 )n1dtdt2006-10-934初始条件确定方法-从0-到0+状态转换系统储能元器件约束法；奇异函数系数平衡法；拉斯变换：初值性质；避免求0+值2006-10-935系统储能元器件约束法系统电容电感储能的连续性电荷的连续性

15、磁链的连续性在没有冲激电流（或者阶跃电压）强迫作用于电容时，电容两端电压vc (t)不发生跳变；在没有冲激电压（或者阶跃电流）强迫作用于电感条件下流过电感的电流iL (t)不发生跳变:vc (0 ) vc (0 )iL (0 ) iL (0 )2006-10-936系统储能元器件约束法-举例例：如下图所示电路，t 0开关S处于1的位置而且达到了稳定状态.当 t 0 时，开关S由1转向2。建立 i(t) 的微分方程并求解i(t)在 t 0时的变化.2006-10-937系统储能元器件约束法-举例解：(1)列写电路的微分方程，各回路方程：R1i(t) vC (t) e(t)v (t) L d i(

16、t) i(t)RCLL2dti(t) C d(t) iv(t)CLdt2006-10-938系统储能元器件约束法-举例首先消去vC (t) :d111 di(t) i(t) i (t) e(t)LdtdRC RC R dt111i (t) R1 i(t) R2 i (t) 1 e(t)LLdtLLL再消去iL (t), 整理得: dd 21R1Ri(t) 2 i(t) 2 i(t)dt 2R CLdtLCR LC11d 21Rd1e(t) 2 e(t) e(t)R dt 2R L dtR LC1112006-10-939系统储能元器件约束法-举例代入电路参数,可以系统微分方程:d 2d 2dd

17、i(t) 7i(t) 10i(t) e(t) 6e(t) 4e(t)dt 2dt 2dtdt(2)求系统完全响应系统特征方程： 2 7 10 0( 2)(a 5) 0特征根：1 2, 5齐次解:i (t) Ae2tA e5th122006-10-940系统储能元器件约束法-举例特解：当t 0 后，激励信号 e(t) 4V方程右边为4 4：常量，令特解 ip (t) B代入方程得：10B 4 4 16B 16 8求得：105系统完全响应： 85i(t) Ae2tA e5t(t 0)122006-10-941系统储能元器件约束法-举例d i(0(3)确定换路后的i(0)与)dt2 4 Ai(0 )

18、 i) (0换路前LR R512d i(0) 0dtv (0 ) 4 3 V 6 VC5252006-10-942系统储能元器件约束法-举例d换路后的i(0 ) 与i(0 )：dt根据电容两端电压与电感电流不能够突变：i(0 ) 1 e(01 e(0 ) v(0 ) (0 ) ) vCCRR11 iL0 )(0 )iL (0 )CdtR1 dtdtR1 dtC 1 0 1 14 4 A / s 2 A / s15 1 52006-10-943系统储能元器件约束法-举例(4) 求i(t) 在 t 0时的完全响应由i(t)的表达式i(0 8 14 43) A AA12155，求得 d2 i(0 )

19、 2 A1 5A2 2 A2 dt电路电流的完全响应：15i(t) 4 e2t 8 2 e5t(t 0A) 35 152006-10-944奇异函数系数平衡法奇异函数系数平衡法微分方程左右奇异函数系数匹配奇异函数： u(t), (t), (t), (t),奇异函数在(0 , 0 )之间的关系tu( )d 0(0 t 0 )0t ( )d u(t)(0 t 0)0t k ( )d k 1 (t)(0 t 0)02006-10-945奇异函数系数平衡法2006-10-946奇异函数系数平衡法奇异函数系数平衡法：步骤：首先将激励信号代入微分方程右边，确定 (t)最高微分阶次k,则方程左边最高微分项也

20、应该包含 k (t),写出它的一般表达式：d n) a2 ak (t) bu(t)k 1krdt nd kr(t), k 0,1, n 1中的奇异函数表达式 .由此到dt k2006-10-947奇异函数系数平衡法奇异函数系数平衡法：步骤：d n) a2 ak (t) bu(t)k 1krdtnd n1) a2k 1k 1 ak u(t)rdt n1n k :n k :n k :(t) r(t) a1u(t)r(t) 02006-10-948奇异函数系数平衡法奇异函数系数平衡法：步骤：d kr(t)代入微分方程左边, 经过化简合并得到奇将dt k异函数的多项式,对比微分方程左右各奇异函数的系数

21、进行匹配,便可以得到关于a1, a2 , an , b的方程组,通过求解便到它们的值。由此可以得到d kr(t), k 0,1, n中奇异函数的表达式,根据其中dt kd kr(t)在0- 0变化值；u(t)系数,便可以确定dt k2006-10-949奇异函数系数平衡法-举例使用奇异函数系数平衡法求解下图所示的电路的完全响应2006-10-950奇异函数系数平衡法-举例解：系统的微分方程：d 2d 2ddi(t) 7i(t) 10i(t) e(t) 6e(t) 4e(t)dt 2dt 2dtdt激励信号在(0- , 0 )期间的奇异信号:e(t) 2u(t)de(t) 2 (t)dtd 2 (t)e(t) 2dt 2激励信号e(t) 从 0到0 的变化2006-10-951奇异函数系数平衡法-举例在(0 , 0 )期间系统微分方程：d 2di(t) 10i(t) 2 (t) 12 (t) 8u(t)i(t) 7dt 2dt方程右边冲击函数最高阶次为 (t)，则有 d 2注意：a,b,c分别代表了i(t)以及它的导数的) b (t)ciu(t) dt 2 d i) bu(t)(0 t 0) dti(t) au(t)变化 2006-10-952奇异函