《大学物理》第三章 二维或三维中的动力学 矢量

1、第三章 二维或三维中的动力学 矢量开篇问题直升飞机从A点水平飞行，此时从飞机上抛下装有救援物资的箱子。如忽略空气阻力，从地面上的人看来，下图中哪条路径可以更好的描述箱子的运动？3.1矢量和标量矢量（vector）:既有大小又有方向的物理量如速度、加速度、动量 标量（scalar）：仅有大小的物理量如长度、温度、时间 箭头：表示方向长度：表示大小3.2 矢量加法作图法一个人第一天向东走了8km，第二天接着又向东走了6km，那么这个人从原点向东走了8+6=14km。我们说净位移或合成位移是向东14km。矢量方程: 如果这个人第一天向东走了8km，第二天向西走了6km，那么这个人距原点2km，即合成

2、的位移是向东2km。合成位移利用减法即8-6=2km。两个不在同一方向矢量相加，合矢量的大小不等于矢量大小的和，比它们的和小。 1、 在图上按比例画出第一个矢量。2、 按比例画第二个矢量 ，使其尾部落在第一个矢量的顶部，同时确保其方向不变。 3、 从第一个矢量的尾部向第二个矢量的顶部连线并画出箭头，就表示两个矢量的和或合成。 合成矢量的长度表示其大小。保证大小和角度不变，矢量可以通过平移完成其合成。合成矢量的长度可用直尺测量，角度可用量角器量度。矢量相加的首尾法或矢量相加的三角形法则Tail to tip method of adding vectors相反的相加次序也会得到同样的结果三个矢量

3、的合成平行四边形法则三角形法则错误的计算思考：假设有两个长度均为3.0m的矢量，它们的矢量和可能的长度是多少？矢量加法3.3矢量的减法，标量与矢量相乘负矢量与原矢量长度相等，方向相反的矢量两个矢量相减问题：图中深色的箭头表示矢量_的运算结果。 标量与矢量相乘 1、一个正标量乘以一个矢量，只改变其大小不改变其方向。2、如果一个负标量乘以一个矢量，大小依然是 ，但方向和 相反3.4 利用矢量的分解计算矢量合成矢量的分解（沿相互垂直的坐标轴进行分解）利用三角形法则实现矢量的分解(resolving the vector into its components)用分量进行矢量相加例题3-2 邮差的位移

4、 一个邮差离开邮局向北行驶22.0km。接下来，她向东偏南60o行驶47.0km。她离开邮局的位移是多少？解题思路：选择x轴正方向指向东， y轴正方向指向北（一般地图中常用的方向）。xy坐标的原点是邮局。我们把每个矢量分解成它的x和y方向上的分量，将所有x分量相加，所有y分量相加，给出合成的x和y分量即可。解：把每个位移矢量分解成x和y分量。东偏南方向38.5例题3-3 三段旅程 飞机某次旅程有两次中途停留。第一段向东620km，第二段向东南45o方向440km，第三段向西偏南53o方向 550km，飞机总的位移是多少？3.5 单位矢量(unit vector)矢量可以方便地用单位矢量表示。单

5、位矢量的长度等于1，方向沿指定方向。沿坐标轴的单位矢量较为多用。所以推广到矢量加法3.6 矢量动力学把位移、速度、加速度的定义扩展到二、三维运动时间间隔平均速度瞬时速度定义zyxkvjviv+=vvvddddddddktzjtyitxtrv+=vrvvv直角坐标系中分量形式：方向:当 时位移 的极限方向，该位置的切线方向，指向质点前进的一侧。大小: 加速度与速度类似瞬时加速度也可以写为根据微分的运算加速度方向与速度增量的方向相同。大小方向: t 0时，速度增量的极限方向。矢量表示加速度与速度的方向0速率增加速率减小180思考 A : 直线运动中，质点的速度和加速度的方向如何决定物体运动状态？B

6、: 质点作曲线运动加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一边速率减小速率不变速率增大1.质点的运动学方程为x=6+3t-5t3(SI),判断正误:质点作匀加速直线运动，加速度为正。质点作匀加速直线运动，加速度为负。质点作变加速直线运动，加速度为正。质点作变加速直线运动，加速度为负。思考题（1）一物体具有恒定速率但仍有变化的速度；（2）一物体具有恒定速度但仍有变化的速率；（3）一物体具有加速度而其速度可以为零；（4）一物体可以具有向东的加速度同时又具有向西的速度。答案：22. 指出下列哪种说法错误。3.O问 吗？ 因为所以而例 匀速率圆周运动所以例题 3-5 位置是时间的函数 质点的位置是时间的函数，

7、表示为这里长度和时间的单位分别是米、秒。求：(a)在t1=2.0s和t2=3.0s之间质点的位移是多少？(b)质点的瞬时速度和加速度。(c)确定t=3.0s时的速度和加速度。代入规定竖直方向为y方向很重要的公式3.7 抛体运动(projectile motion)物体在近地二维平面中的平移运动（忽略空气的阻力），例如高尔夫球、足球、射出的子弹等，这些都是抛体运动的例子。 定义：从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动称抛体运动。水平方向的匀速直线运动 + 竖直方向的匀变速直线运动以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。平抛质点受到重力作用，加速度为重力加速度故任意时刻

8、的速度为：现有一个球从水平桌面以初始速度vx0沿水平方向(x)下落位移的分量：斜上抛如果以向上的角度抛射物体，除了速度垂直分量vy0有初始值，分析类似平抛将上式积分，得运动方程为:几个问题： （1）运动轨迹方程 （2）用多长时间回到抛出点的高度 （3）最高点离抛出点的高度 （4）水平方向的射程物体在空中飞行回落到抛出点高度时所用的时间为: 飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所经过的水平距离）为: 运动方程r(t)消去时间参数t，得到抛体运动的轨迹方程为若 ，则 ， 此时为平抛运动； 若 ，则 ，此时射程最大； 若 ，则 ，此时为竖直抛体运动. 飞行的射高（即高出抛射点的距离）为 例 有一

9、学生在体育馆阳台上以投射角=30和速率v0=20m/s向台前操场投出一垒球。球离开手时距离操场水平面的高度h=10m。试问球投出后何时着地？在何处着地？着地时速度的大小和方向各如何？解：以投出点为原点，建x，y坐标轴如图所示。运动方程的分量式把已知条件y = -h = -10m, = 30, v0 = 20m/s代入方程得着地时速度大小此速度和水平面的夹角3.8解决抛体运动的相关问题步骤1：仔细读题，明确研究对象；步骤2：作出物体受力分析；步骤3：选择原点，建立xy坐标；步骤4：确定时间间隔。x和y方向运动时间相同。步骤5：对x和y方向运动分别进行分析研究；步骤6：列出已知量和未知量，vx在整

10、个抛射过程中是不变的，在抛射最高点vy=0。步骤7：利用公式进行计算。小结：抛体运动分析、解决的七个步骤例题3-6 电影特技演员驾驶摩托车水平跃出50m的悬崖。摩托车必须多快才能离开悬崖着陆于离悬崖水平距离90m的安全区域？忽略空气阻力。例题3-12 营救直升飞机投掷应急物品 直升飞机准备投掷一包物品给200m下岩石上受困的登上者。如果直升飞机水平飞行的速度为70m/s(250km/h),（a）从接受者前方多远投掷物品？(b)假设直升飞机在登山者前方400m投掷物品。给包裹多大速度，它才能准确到达登山者的位置？(c) 在后一种情况下，包裹的着陆速度是多大？抛体运动运动轨迹是抛物线联立消去时间t

11、3.9相对速度 运动是绝对的，但是运动的描述具有相对性，在不同参考系中研究同一物体的运动情况结果会完全不同。 人站在地球上，以地球为参照系人静止不动。而以地球以外的物体为参照系，则是“坐地日行八万里”了。 因此，位移、速度、加速度等都要加上相对二字：相对位移、相对速度、相对加速度。船相对岸的速度推广到K，K坐标系间的变换一般所述的发动机的速度，是指船相对于水的速度大小例题 某人以4 km/h的速度向东前进时，感觉风从正北吹来.如果将速度增加一倍，则感觉风从东北方向吹来.求相对于地面的风速和风向.解：由题意，以地面为基本参考系K，人为运动参考系K，取风为研究对象，作图45y(北)x(东)O根据速度变换公式得到：由图中的几何关系，知：由此解得以及即风速的方向为向东偏南45，亦