《大学物理》第15章 波动

1、波动第十五章Wave Motion石子落在水面产生水波比较常见的机械波-水波当你向池塘扔一块石子，将看到形成的水波以圆圈的形式从振源开始扩散。波动携带着水，从石子击打水面的地方向外扩散；因此运动着的水携带者能量向外扩散。波仅仅使水发生上下运动，不会发生从中心向外的能量传递波仅仅使水发生上下运动，但是波可以携带能量从石子击打水面的地方向外传播。开篇问题- 请猜一猜比较常见的机械波-细绳上的波除此之外还有其他形式的波-电磁波和光波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.15-1 波动的特征两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动

2、的介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射干涉衍射两类波的共同特征波源介质+弹性作用机械波机械波的形成产生条件：1）波源；2）弹性介质.机械波：机械振动在弹性介质中的传播.15-1 波动的特征波动脉冲由波源向外传播一个传播的波包就相当于一个扰动振源相邻部分之间的结合力导致了波包的向前传播 波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播。注意波的传播速度和质点的振动速度是两个完全不同的速度。 如果振源以正弦方式振荡，并且介质是完全具有弹性的，那么波在时间和空间上就具有正弦的形式。正弦波正弦波的物理量振幅A：表示波峰相对于平衡点的最大高度波长：两个相邻波峰的距离叫做波长波峰波谷周期 ：波前进一个

3、波长的距离所需要的时间.频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.注意周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！假设波长是5m，频率3Hz，由于每秒有三个波峰通过某一点，而波峰与波峰之间的距离是5m，因此，第一个波峰在1s的时间内将向前传播15m的距离，波形中的其他任意一点也是如此。故，波速是15m/s。假设水波相邻的两个波峰穿过码头的末端的时间间隔是0.5s，那么（a）频率是0.5Hz；（b）波速是0.5m/s；（c）波长是0.5m；（d）周期是0.5s。练习B：横波：质点振动方向与波的

4、传播方向相垂直的波.（仅在固体中传播 ）15-2 波的种类：横波和纵波一、横波和纵波 特征：具有交替出现的波峰和波谷.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部. 注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、 气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。振动方向传播方向波谷波峰波密波疏横波和纵波横波：纵波：1、横波的速度波的速度取决于波传播过程中的介质的特性。二、波的传播速度是介质收到的张力是介质单位长度的质量例题:导线上的波包，一个铜导线，长度是80.0m，直径2.10mm，被系在两个极点之间。一只小鸟落在铜导线的中间（取t=0时刻），并

5、同时沿着铜导线向两个极点方向发送一个小的波包（波脉冲），脉冲在极点发生反射后又到达小鸟落点的时刻是（t=0.750s）,试求铜导线上张力的大小。解：波的传播速度v =（80.0m/0.750s）=107m/s张力:2、纵波的速度B表示体积弹性模量, 液体或气体的密度E表示材料的弹性模量，是材料的密度.例题：回声定位是很多动物所使用的一种感知世界的能力，比如蝙蝠、锯齿鲸、海豚等。这些动物发射一个声波脉冲（纵波），这个声波脉冲被周围物体反射以后，又再次被动物接收、感知。回声定位的声波频率是100,000 Hz.（a）试估算海洋动物回声定位声波的波长；（b）如果障碍物距离海洋动物100m，试问，海洋

6、动物发射声波以后多久能够接收到被障碍物反射的声波？解：（a）纵波在海水（海水的密度比纯净水稍大）中的波速可以得到：（b）声波脉冲在动物和障碍物之间来回所需要的时间是：三、其他的波-地震波当地震发生的时候，可以产生横波（S波）和纵波（P波）三、其他的波-海浪波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。波阵面：在波动过程中，把振动状态（相位）相同的点连成的面简称波面。波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。平面波：波面为平面球面波：波面为球面柱面波：波面为柱面四、波线 波面 波前平面波球面波波线波阵面波阵面波线1、在各向同性介质中传播时，波线和

7、波阵面垂直。注：2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。15-3 波的能量对于频率为f的正弦波，当波通过介质中的某个粒子时，粒子将做简谐振动，如果假设粒子简谐振动的最大位移（振幅）A,每个粒子的能量可以表示成:对于一个在弹性介质中传播的三维波，质量波的能量与振幅的平方成正比，和频率的平方成正比。能量传播的平均功率：波的强度I：定义为在垂直于波的传播方向上，单位面积平均功率。如果介质是各向同性的，随着球面波向外传播，波的能量将分布在更大的面积上。于是波的强度将变成：（W/m2）如果假设波的能量是常数，那么波的强度I与其到振源的距离r的平方成反比：如果考虑到振源距离分别是r1

8、和r2的两个点若r1:r2=1:2则I1:I2=1:4因此因为三维球面波： 然而对于一维的横波和纵波，在传输过程中面积不变，所以：例题15-4：地震强度；地震产生的P波穿越地壳在距离振源100km的地方被探测到的地震波功率是 试求：距离振源400km的地方探测到的地震波功率是多少？解：故有由于地震产生的是三维的球面波，因此有波源介质+弹性作用机械波机械波的形成产生条件：1）波源；2）弹性介质.机械波：机械振动在弹性介质中的传播.横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.（仅在固体中传播 ）横波与纵波 特征：具有交替出现的波峰和波谷.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液

9、体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部.波的参数注意周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！1、横波的速度2、纵波的速度平面波球面波波线波阵面波阵面波线1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。注：2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。波的能量波的能量与振幅的平方成正比，和频率的平方成正比。能量传播的平均功率：波的强度I：（W/m2）三维球面波： 一维波各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置一 简谐波的波函数15-4 行波的数学表示介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移D随时间的变化关系，即D（x，t)称为波函数。沿着x轴向右

10、传播的一维正弦波，t=0时刻，波的传播方向上的x点偏离平衡位置的位移为：经过一定的时间t之后，波的每一部分都向前移动了vt的距离，如图所示：波是振动状态的传播，因此在t时刻，x位置质点的运动是x-vt位置质点运动传输而来。因此t时刻x位置质点的运动与x-vt位置质点在t=0时刻的运动是相同的，即：1、已知t=0时刻的波的空间函数Wave at time t=0vtWave at time t向x轴正向(向右)传播的正弦波波函数同理当波是沿X轴的负向，即向左传播是，则x点的在t时刻的振动是从x+vt的位置位置传输而来，因此用x=x-vt来代入t=0时刻方程中的x即获得t时刻的x质点振动方程。得向

11、x轴负向(向左)传播的正弦波波函数当波动存在初位相时，则有:波函数 沿 轴正向 沿 轴负向 考虑到,波动方程还可以写为波数在上面的公式中称为相位因此在等相位的质点上，质点的振幅都是一样的。两边对时间微分得：相速度因此波的传播速度就是等相位面的传播速度。对于正向传播的波有,相同振动状态满足点O 的振动状态点 Pt 时刻点 P 的运动t-x/u时刻点O 的运动 以速度v 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振动方程 点P 振动方程时间推迟方法2、已知波源的振动方程点 P 比点 O 落后的相位点 P 振动方程点 O 振动方程 波函数P*O相位落后法 沿 轴负向 点 O 振动方

12、程 波函数 沿 轴正向 O 如果原点的初相位不为零 质点的振动速度，加速度二 波函数的物理意义1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程.波线上各点的简谐运动图 2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.OO 3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）. 时刻时刻练习D：一列波其中x的单位是米，t的单位是秒；试求波速是多少？（a）10m/s,(b)0.10m/s,(c)40m/s,(d)0.005m/s,(e) 例题15-5.行波， 手抓住一条水平放置的弹性长细绳的左端，手上下移动的频率f=250Hz，幅度是2.6cm；绳子上的拉力1

13、40N，线密度 。当t=0时，绳子的末端有1.6cm正位移，且正在向下运动；试求：（a）波长（b）行波的方程。解：（a）波的速度：因此（b）在t=0，x=0时D=1.6cm， 由因此由于故行波方程为：得O11 12 图A表示t = 0时的余弦波的波形图，波沿x轴正向传播；图B为一余弦振动曲线. 则图A中所表示的x = 0处振动的初相位与图B所表示的振动的初相位 (C) 均为 (D) 依次分别为 与 (E) 依次分别为 与 (A) 均为零.(B) 均为D各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置一 简谐波的波函数15-4 行波的数学表示介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移D随时间的

14、变化关系，即D（x，t)称为波函数。1、已知t=0时刻的波的空间函数Wave at time t=0vtWave at time t波函数 v沿 x轴正向 v沿 x 轴负向 点O 的振动状态点 Pt 时刻点 P 的运动t-x/u时刻点O 的运动点P 振动方程时间推迟方法2、已知波源的振动方程点 P 比点 O 落后的相位点 P 振动方程P*O相位落后法 u 沿x 轴负向 点 O 振动方程 波函数 u沿x 轴正向 考虑到,波动方程还可以写为波数例：波的传播。一个向右传播的波在t=0时刻各点的位置如图所示，波速为v=10m/s.试求波动方程。解一、由t=0的波函数，从图知所以波函数为二、由t=0时刻

15、O点的振动由图可知：所以15-5* 波动方程假设波的振幅和波长相比是个小量，因此弦上每一点的振动方向假设只有垂直方向的振动； 由于1和2是小量，因此， 而得到又因为所以有一维的波动方程 在三维空间中的一切波动过程，只要介质无吸收且各向同性，都适合下式：对于球面波： 为什么乐队合奏时人们能分辩出各种乐器的声音？15-6 波的叠加原理 在静水池中两个不同的地点同时投入两块小石块，它们将分别激起一列波，这些水面波在传播过程中彼此相遇，并且会交叉而过，但不会改变原来的传播特性，这些波的波前并不因为遇到其他波而改变形状。这是为什么呢？1. 波的叠加 波传播的独立性：几个波源产生的波，同时在一介质中传播，

16、如果这几列波在空间某点处相遇，那么每一列波都将独立地保持自己原有的特性频率、波长、振动方向等传播。 波的叠加原理: 有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。波的叠加原理沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加 正是这种波传播的独立性，在几列波相遇或叠加的区域内，任一点处质点的振动位移是各个波单独在该点所引起的位移的矢量和 矢量可以分解和合成。当几列波同时在媒质中传播时，它们在相遇处所激起的合振动是分振动的叠加。在图中弹性细绳上有三列波，每一个都具有不同的振幅和频率。某一时刻，三列波相遇，空间位置是x的空间一点上，合成波的振幅是三个分振动在此位置

17、振幅的代数和。这一合成波并不是简单的正弦波。一个周期为T的复杂的周期性的波可以分解为许多纯正弦波的线性叠加任意其他形式的波都可以看作是一系列纯正弦波的线性叠加合成波可以看成是由许多振幅不同、波长不同、频率不同的正弦波组成的例题15-17:在t=0时刻，三列波的波函数分别是： 其中A=1.0m， 在x=-0.4m-+0.4m的范围内画出三列波叠加之后得到的合振动的波形。解答：15-7 波的反射与 传播（自学）15-8 波的干涉两个波相遇时将会发生振动的叠加，产生强弱不同的振幅。（a）波峰与波谷相遇时，产生干涉相消。 (b)波峰和波峰相遇时，产生干涉加强。 在两列相遇区域内，某些点处振动始终加强，

18、另一些点处的振动始终减弱，这一现象称为波的干涉。波发生相干的条件相干条件：振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。两列分振动的相位相同，产生干涉加强 。两个分振动的相位相反，产生干涉相消。两列水波的相位差通常介于两种情况之间，发生图c部分干涉减弱的情况 一般情况S1和 S2单独存在时，在P点引起的振动的方程yt2+r=2222cos)A(cos=+ty222A)(St=y111Acos)(+Sr1r2*1s*2sP.+t=y211Acos)(11r两个相干波波源S1和 S2的振动方程分别为：cos yt2=+tt

19、tr=yyy2111112222222AAAcoscoscos)(+(1A1(SSr11r*22ssP.r为了方便起见，我们将 定义为P点两个独立振动的相位差 显然，P 点的合振动为:*其中对于P点为恒量为恒量，因此 A 也是恒量，并与 P点空间位置密切相关。请问:何时A取最大值,何时取最小值?（合振幅最大，相干增强）（合振幅最小，相干减弱）当为其他值时，合振幅介于波的干涉若1=2，上述条件简化为： （合振幅最大）（合振幅最小）波程差 两列相干波源为同相位时，在两列波叠加的区域内，在波程差等于零或等于半波长的偶数倍的各点，振幅最大（合振幅最大）波程差在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。

20、 （合振幅最小）因波的强度正比于振幅的平方若I1=I2，叠加后波的强度：两列波叠加后的波的强度I干涉现象的强度分布波的干涉 显然叠加后波的强度I随 变化.从图中可以看到:在 的偶数倍的一些点处的振幅始终加强,而在 的奇数倍处的振幅始终达到最小,这一现象称为波的干涉。干涉现象的强度分布干涉是波动的特性之一。15-9 波的共振 驻波当手上下摆动的频率适当的时，绳子上沿着两个相反方向传播的波干涉之后将产生一列“大振幅、静止不动”的波 ，称为驻波。干涉相消的点为波节，相干增长得点为波腹。两个点间可以有多个频率的驻波，最低为基频。然后可以是二倍、三倍、四倍.。一 驻波的产生 振幅、频率、传播速度都相同的

21、两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.15-9 波的共振 驻波驻 波 的 形 成15-9 波的共振 驻波干涉相消的点为波节(Node)，相干增长得点为波腹(Antinode)。两个点间可以有多个频率的驻波，最低为基频。然后可以是二倍、三倍、四倍.。二倍频基频之后的振动模式是具有两个波腹的“二阶谐频”基频通常也称之为“一阶谐频”对于第三阶和第四阶谐频：以此类推下标n表示谐波的阶数二、 驻波的频率因此有：因此每一个共振频率都是基频的整数倍。由其中是基频例题15-8：琴弦。 一个琴弦1.10m长，质量是9.00g。（a）如果要产生一个基频是131Hz的振动，所需要的

22、琴弦上的绳子张力是多大？（b）前四阶的谐频频率分别是多少？解：（a）基频的波长是（b）二、三、四阶谐频频率分别是基频频率的二、三、四倍，分别是：262Hz，393Hz和524Hz.琴弦上的波速由大学物理课程的班级负责人按下面时间和地点集体购买和领取大学物理第二册教材（下册价格与上册相同）松江校区：5月16日(周一)9:00-17:00学生公寓东八角亭（11宿14宿中间）广而告之期中考试取消波的叠加 波传播的独立性：几个波源产生的波，同时在一介质中传播，如果这几列波在空间某点处相遇，那么每一列波都将独立地保持自己原有的特性频率、波长、振动方向等传播。 在两列相遇区域内，某些点处振动始终加强，另一

23、些点处的振动始终减弱，这一现象称为波的干涉。波的干涉波发生相干的条件相干条件：振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定 一般情况cos=+ty222A)(St=y111Acos)(+Sr1r2*1s*2sP.两个相干波波源S1和 S2的振动方程分别为：yt2+tr=y2112222Acoscos)(1A1(r*其中对于P点为恒量（合振幅最大，相干增强）（合振幅最小，相干减弱）当为其他值时，合振幅介于波的干涉若1=2，上述条件简化为： （合振幅最大）（合振幅最小）两列波叠加后的波的强度I干涉现象的强度分布驻 波 的 形 成驻波的数学表示：驻波可以看作是两列沿着相反方向传播的波组成的驻波的合振动表达式可以写成：根据三角变换关系可以将上试化简为：驻波的振幅与位置有关各质点都在作同频率的简谐运动当x=0时，D=0 满足边界条件当x=l时， 因此有得到： 驻波方程 讨论01相邻波腹（节）间距 相邻波腹和波节间距 1）振幅 随 x 而异， 与时间无关.波节波腹 2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 .（与行波不同，无相位的传播）.例题15-9：波形。绳子的一端系在x=0处，绳子上有两列沿着相反方向传播的波，其振动方程分别是： ，其中x的单位是m，