例谈几何问题的联想与推广优秀获奖科研论文

1、例谈几何问题的联想与推广优秀获奖科研论文 几何证明可培养学生的发散思维能力，在初中几何教学中是一个难点.为提高几何的解题能力需要让学生学会联想与推广.学习几何离不开解题，但要学好几何离不开归纳、总结.学生要善于归纳总结，题目解完了要勤于联想，这样才能真正学好几何.下面结合实例，说明归纳、总结、联想、推广的方法. 例如图1，从圆外一点P作切线PA，点B是PA上的中点，过点B作圆的割线BCD，连接PD交圆于点F，连接PC并延长，交圆于点E，求证：EF/PA 分析：证明与圆有关的两直线平行的问题，应先考虑是否存在内错角、同位角相等，这是因为圆和三角形结合的图形中，一般可通过弧、弦找到不少角之间的关系

2、.由于题中相切与图中线段直接相关，所以应联想到用“线”成比例去证明角相等. 证明：PA切圆于A，点B为AP的中点， AB=BCBD，AB=BP BP=BCBD，即BC/BP=BP/BD又BPD=PBC， BPCBDP D=BPC D=E， BPC=E EF/PA. 数学大师波利亚有一句名言:“掌握数学就是意味着善于解题.”善于解题关键要懂得解题后的反思，这个题目解完后有下列问题可供我们反思. （1）实际上，由BP=BCBD，通过这个形式很容易联想得到PB与PCD的外接圆相切，切点是P由弦切角定理得，D=BPC又因D=E，所以BPC=E故EF/PA.这个证明方法更简捷，但对条件的处理和认识更深刻

3、. （2）据结果EF/PA，由夹在两平行线间的弧相等可知，A点是弧FAE的中点. （3）在图中找与PCB相似的三角形.通过相似可得很多相关的线段关系. （4）尝试对于一个命题的条件和结论互换是否仍然成立.若PA/EF，B是PA的中点吗？根据上面的证明不难推出这个结论是成立的，于是引申出下列问题 问题1如图1，从圆外一点作切线PA，点B在PA上，过点B作圆的割线BCD，连接PD交圆于点F，连接PC并延长，交圆于点E，若EF/PA ，求证：PB=BA 证明：PA切圆于A，点B为AP上的一点， AB=BCBD EF/PA， BPCBDP BP =BCBD PB=BA 问题2 原题中过B点作割线BCD

4、一定要按照如图1吗？这条割线是否可任意作呢？ 回答是肯定的.那么就可引出下面几种不同情形：如图2、图3此时对原命题PA/EF同样成立（请读者自己完成）. 进行了上面的反思后，我们再作些联想和推广：将本例的题设作一些变更，可引出一些新的问题. 问题3 若将原题中的PB改成向圆外任意方向引线段时，可有如下命题： 如图，从圆外一点P作切线PA和割线PCE，又从点P向任意方向作线段PB，使PB=PA，连接CB、EB，分别交圆于点F、D.求证：FD/PB 分析：与原题类似可证得CPBBPE，所以E=PBC于是只需证明DFB=PBC，那么首先得证明E=DFB（由C、F、D、E四点共圆即可得） 问题4若把问

5、题1中PA切线去掉，把原来的一些条件加强，可得到如下命题：如图5，已知DE为O的直径，A为O上一点，延长EA至G，使AG=AE，APCD，垂足为P，PE交O于C，CD交AP于B.求证:PB=BA. 分析：要证PB=BA，直接“线”相等的等量关系没有，所以要找中间量转化由条件APCD，DE为直径，可由射影定理得BP=BCBD，容易联想到要证AB为切线，因此该命题实际就可转化为问题1的证明了. 证明：连接OA AB是O的直径， CEBD 又APCD，由射影定理得：BP=BCBD A，O分别为GE，DE的中点， AO为为GDE的中位线 AOGD AOAP可知AP为O切线. 则AB=BCBD AB=BP，即PB=BA 小结：通过解题后的反思、联想，把与之有关的知识、方法、技巧都联系起来，可扩大和加