挖掘课本内涵灵活运用导数解题优秀获奖科研论文

1、挖掘课本内涵，灵活运用导数解题优秀获奖科研论文 一、灵活运用指数、对数的性质解题 例1求y=ln（4x-8）4的导数. 错误解法：原函数可化为y=4ln（4x-8）. 令y=4lnu，u=4x-8. 则y=4u，u=4. y=4u4=164x-8. 正确解法：令y=lnu，u=v4，v=4x-8. y=1u，u=4v3，v=4. y=1u4v34=1v44v34=16v=164x-8. 点评：在错误解法中，将原函数变形为y=4ln（4x-8）时缩小了自变量x的取值范围，即由 x2变成了x2.一般地，y=lnf（x）n求导时，n为奇数时可先化为y=nlnf（x），再求导；n为偶数时一般不能化为y

2、=nlnf（x）.若f（x）为恒正函数，也可先化简，再求导. 例2求y=xx的导数. 错误解法1：y=xxx-1=xx. 错误解法2：y=xxlnx. 正确解法：y=（elnx）x=exlnx， y=（exlnx）=exlnx（xlnx）=exlnx（lnx+1）=xx+xxlnx. 点评：y=xx既不是y=ax形式也不是y=xn形式，不能套用这两个函数的求导公式，应利用指数的性质alogNa=N将它化为复合函数形式，再求导. 二、灵活运用导数求函数的单调性 课本只讨论了开区间上函数的单调性，这给我们解题带来很大的局限性，其实，若利用闭区间上的单调性，将更加方便.为此，先引入以下结论： 定理1

3、：若x0（a，b）时，f（x0） 0（0），且f（b）0（0），则f（x）在（a，b上是增函数（减函数）. 类似地，可得到 f（x）在a，b）或a，b上为增函数或减函数的条件. 定理1可结合函数的单调性的定义进行说明. 定理2：若 f（x）在（a，b及b，c）上都是增函数（减函数），则f（x）在（a，c）上也是增函数（减函数）. 先证f（x）在（a，c）上也是增函数的情形，同理可证f（x）在（a，c）上是减函数的情形. 证明：设x1、x2是（a，c）上的任意两个数，则 当x1、x2均为（a，b或b，c）上的数时，显然f（x1） 当x（a，b），x2（b，c）时，有f（x1） f（x1） 即对任

4、意x1、x2（a，c），都有f（x1） 例3求y=x3的单调区间. 解：y=3x2，令y=0，则x=0. y=x3在（-，0及0，+）上是增函数. y=x3在（-，+）上是增函数. 定理3：若 f（x）在（a，b）内可导，且（a，b）时 f（x0）0（0），且满足f（x0）=0的点为一些不连续点，则y=f（x）在（a，b）上是增函数（减函数）. 可结合函数的单调性的定义及定理1、定理2进行证明，此处从略. 例4求证：y=x-sinx在（-，+）上是增函数. 证明：y=1-cosx0，令y=0，则x=2k（kZ）. （2k，2k）为一些不连续点， y=x-sinx在（-，+）上是增函数. 三、灵

5、活运用导数求函数的最大（小）值 连续函数y=f（x）在a，b上有意义，则f（x）在a，b上必有最大值与最小值，且最值在区间端点、不可导点或导数为0的点上取得.若y=f（x）在（a，b）上可导，则求f（x）的最值只须比较端点及导数为0的各点的函数值的大小即可，可不必判断各点是否为极值点，这种方法对中差生更为有利，可减少计算量.若y=f（x）在（-，+）可导，则求f（x）在（-，+）的最值，还应与x=处的极限进行比较. 例5求y=f（x）=（x+1）2（x-1）3在-2，2上的最值. 解：y=2（x+1）（x-1）3+3（x-1）2=（x+1）（x-1）2（5x+1） 令y=0则x1=-1，x2=1，x3=-15. f（-2）=-27，f（-1）=f（1）=0，f（-15）=-34563125，f（2）=9. y = f（x）在x=-2时ymin=-27，x=2时ymax=9. 总之，导数常出现在函数中的单