离散数学试题及答案解析

1、-. z.一、填空题1 设集合A,B，其中A1,2,3, B= 1,2, 则A - B_; (A) - (B) _ .2. 设有限集合A,|A| = n, 则 |(AA)| = _.3. 设集合A = a, b, B = 1, 2, 则从A到B的所有映射是_ _, 其中双射的是_.4. 命题公式G(PQ)R，则G的主析取式是_.6 设A、B为两个集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 则从AB_; AB_;AB _ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是_, _, _.8. 设命题公式G(P(QR)，则使公式G为真的解释有_，_,_.9. 设集合A1,2,3,4,

2、 A上的关系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R2 = (2,1),(3,2),(4,3), 则R1R2 = _,R2R1 =_,R12 =_.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |(AB)| = _.11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = * | -1*1, *R, B = * | 0* 6 (D)下午有会吗？5 设I是如下一个解释：Da,b, 则在解释I下取真值为1的公式是( ).(A)*yP(*,y) (B)*yP(*,y) (C)*P(*,*) (D)*yP(*,y).6. 假设供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，

3、能画出图的是( ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G*P(*), H*P(*),则一阶逻辑公式GH是( ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束式.8设命题公式G(PQ)，HP(QP)，则G与H的关系是( )。(A)GH (B)HG (C)GH (D)以上都不是.9设A, B为集合，当( )时ABB.(A)AB(B)AB(C)BA(D)AB.10 设集合A = 1,2,3,4, A上的关系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,

4、4), 则R具有( )。(A)自反性 (B)传递性(C)对称性 (D)以上答案都不对11以下关于集合的表示中正确的为( )。(A)aa,b,c (B)aa,b,c(C)a,b,c (D)a,ba,b,c12 命题*G(*)取真值1的充分必要条件是( ).对任意*，G(*)都取真值1. (B)有一个*0，使G(*0)取真值1. (C)有*些*，使G(*0)取真值1. (D)以上答案都不对.13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( ).(A)9条 (B)5条 (C)6条 (D)11条.15. 设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为( ).(A)4, 5 (B)5, 6 (

5、C)4, 10 (D)5, 8.三、计算证明题1.设集合A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12，R为整除关系。画出半序集(A,R)的哈斯图；写出A的子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。设集合A1, 2, 3, 4，A上的关系R(*,y) | *, yA 且 * y, 求画出R的关系图；写出R的关系矩阵.设R是实数集合，,是R上的三个映射，(*) = *+3, (*) = 2*, (*) */4,试求复合映射，, ,，.4. 设I是如下一个解释：D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(

6、3, 2)P(3, 3)32320011试求(1)P(a, f (a)P(b, f (b);(2) *y P (y, *).5. 设集合A1, 2, 4, 6, 8, 12，R为A上整除关系。画出半序集(A,R)的哈斯图；写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；写出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.6. 设命题公式G = (PQ)(Q(PR), 求G的主析取式。7. (9分)设一阶逻辑公式：G = (*P(*)yQ(y)*R(*)，把G化成前束式.9. 设R是集合A = a, b, c, d.R是A上的二元关系, R = (a,b), (b,a), (b,

7、c), (c,d),求出r(R), s(R), t(R)；画出r(R), s(R), t(R)的关系图.11. 通过求主析取式判断以下命题公式是否等价：(1) G = (PQ)(PQR) (2) H = (P(QR)(Q(PR)13. 设R和S是集合Aa, b, c, d上的关系，其中R(a, a),(a, c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 试写出R和S的关系矩阵；(2) 计算RS, RS, R1, S1R1.四、证明题参考答案一、填空题1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3.1= (a,1), (b,1), 2= (a,

8、2), (b,2),3= (a,1), (b,2), 4= (a,2), (b,1); 3, 4.(PQR).12, 3. 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2.自反性；对称性；传递性.(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).(1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).2mn* | -1* 0, *R; * | 1 * 2, *R; * | 0*1, *R.12; 6.(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).*(P(*)Q(*).21.(R(

9、a)R(b)(S(a)S(b).(1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3). 二、选择题 C. 2. D. 3. B. 4. B. D. 6. C. 7. C.8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A.15. D三、计算证明题1. (1)(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. (1)(*

10、)(*)+32*+32*+3.(2)(*)(*)+3(*+3)+3*+6,(3)(*)(*)+3*/4+3, (4)(*)(*)/42*/4 = */2,(5)()+32*/4+3*/2+3.4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2,3)= 10= 0. (2) *y P (y, *) = * (P (2, *)P (3, *) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. (1)(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.(3

11、) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. G = (PQ)(Q(PR)= (PQ)(Q(PR)= (PQ)(Q(PR)= (PQ)(QP)(QR)= (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= m3m4m5m6m7 = (3, 4, 5, 6, 7).7. G = (*P(*)yQ(y)*R(*)= (*P(*)yQ(y)*R(*)= (*P(*)yQ(y)*R(*)= (*P(*)yQ(y)zR(z)= *yz(P(*)Q(y)R(z)9. (1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c)

12、, (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)关系图:11. G(PQ)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m7m3 (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(PR)(PQ)(QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m3m7 (3, 6, 7)G,H的主析取

13、式一样，所以G = H.13. (1)(2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四 证明题2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(BC).3. (此题10分)利用形式演绎法证明：AB, CB, CD蕴涵AD。4. (此题10分)A, B为两个任意集合，求证：A(AB) = (AB)B .1. 利用形式演绎法证明：PQ, RS, PR蕴涵QS。1. 证明：PQ, RS, PR蕴涵QS(1) PRP(2) RPQ(1)(3) PQP(4) RQQ(2)(3)(5) QRQ(4)(6) RSP(7) QSQ(5)(6)(8) QSQ(7)2. 证明：(A-B)-C = (AB)C = A(BC)= A(BC)= A-(BC)3.证明：A