概率论复习课件

1、概率论复习第一章 随机事件第二章 随机事件的概率第三章 随机变量及其分布第五章 大数定律及中心极限定理第四章 随机变量的数字特征1.1、随机现象 1.2、随机试验1.3、样本空间 样本点1.4、随机事件的概念第一章 随机事件在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 具有统计规律性2. 随机现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.1.确定性现象 1.1、随机现象 随机现象的特征条件不能完全决定结果1.2、随机试验 1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义 在

2、概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验. E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. 4=0，1，2， 1=0, 2=1, 3=2 E3:掷一颗骰子,观察点数.则 3=1,2,3,4,5,61=1 2=2 6=6E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.2=HHH, THH， HTH, HHT,HTT,THT,TTH,TTT 1.4、随机事件的概念随机事件 随机试验 E 的样本空间 的子集(或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件, 简称事件.随机事件间的关系对立差互斥(互不相容)交（积）和（并）包含事件关系事件的互不相容 (互斥) 若事件 A 、B 满足则称事件 A与B互不相容.

3、图示 A与B互斥AB说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥. 若事件 A 、B 满足则称 A 与B 为互逆事件. A 的逆记作事件的互逆图示 A 与 B 的对立.BA概率论与集合论之间的对应关系 记号概率论集合论样本空间,必然事件不可能事件基本事件随机事件A的对立事件A出现必然导致B出现事件A与事件B相等空间(全集)空集元素子集A的补集A是B的子集A集合与B集合相等事件A与事件B的差A与B两集合的差集事件A与B互不相容A与B 两集合中没有相同的元素事件A与事件B的和A集合与B集合的并集 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集2.1频率与概率5s*2

4、4000/3600=33.3h 概率的统计定义（频率）直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即只适用能够大量重复的问题，很多重要问题无法根据此定义计算某事件的概率。例如：不能直接应用概率的频率解释“你和你的小学同学在街上偶遇的概率”古典概型中事件概率的计算公式设随机试验E为古典概型，其样本空间及事件A分别为： =1，2，n A=i1，i2，ik则随机事件 A 的概率为： 条件概率的性质乘法定理2.4 全概率公式和贝叶斯公式:1. 样本空间的划分例 学生在回答多项选择题时，或者知道答案或猜测答案。假定他知道答案的概率是p，而猜的概率是1-p。假设他猜对的概率为1/m

5、，其中m是选项数。问已知学生答题正确时，他确实知道答案的概率是多少？2.5 事件独立性(一) 两个事件的独立性（二） n 个事件的独立性 设 A1，A2 ， ，An为n 个事件，若对于任意k(1kn), 及 1i 1 i 2 i kn 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.注：2 独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件互斥二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系1定义2: 设A,B,C是三个事件,若满足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=

6、P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C为相互独立的事件.定义3：对n个事件A1,A2,An,如果对所有可能的组合1ijkn成立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An), 则称这n个事件A1,A2,An相互独立.定义4：设A1, A2, , An是n个事件，如果对任意的1ij n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 则称这 n个事件两两独立.注： 若n个事件相互独立，必蕴含这n个事件两两相互独立. 反之不成立。例 同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一四面体的面分别标有号码1，2，3，4令

7、A=第一个四面体出现偶数 B=第二个四面体出现奇数 C=两个四面体同时出现偶数或同时出现奇数 验证A、B、C的独立性 故A、B、C三事件不相互独立但两两独立。 第三章 随机变量及其分布3.1 随机变量的概念3.2 随机变量的分布函数3.3 离散型随机变量的概率分布3.4 连续型随机变量的概率密度3.5 随机变量的函数的分布3.6 多维随机变量及其分布3.1 随机变量的概念例1 从一批产品中任意抽取k件,观察出现的“废品数”X1,依试验结果不同X1的所有可能取值为:0,1,2,k.K+1个结果可用(X1=j)表示.例2 记录某接待站一天中来访的人数X2,“接待k个人”可用(X2=k)表示.定义如

8、果对于样本空间中每个样本点 (为随机实验的任一可能结果)，都有唯一的一个实数X()与之对应，则称X()为随机变量简记X()为X.随机变量分类：(1) 离散型，(2)连续型.3.2 随机变量的分布函数定义：X是一随机变量, 对任意xR, 函数 F(x)=P Xx 称为X的分布函数.P x1x1, F(x2)-F(x1)0.(2) 0F(x)1 且(规范性)(3) F(x)至多有可列个间断点, 而在其间断点 x0处是右连续的,(右连续性)3.3 离散型随机变量的概率分布定义 若随机变量全部可能取值是有限或 可列无穷多, 则称为离散型随机变量.则称(1)式为离散型变量的分布律。分布律的性质：或列表若

9、离散型随机变量X的分布律为则X的分布函数为几种重要的离散型随机变量的分布律：(一) 0-1分布设随机变量X只可能取0和1两个数值，其分布为 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. 其中0p1,则称X服从(0-1)分布。设A是随机事件，P(A)=p(0p1),记, 则X服从(0-1)分布.(二) 二项分布将试验E独立重复地进行n次得到的试验序列称为n重贝努利试验。以X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1-P，且各发动机的互不影响，如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利的飞行，问对于多大的P而言，

10、四发动机飞机比二发动机飞机更安全？ 波音747A380波音777四发动机飞机： 正常运行时2台或3台或4台发动机正常运行 2台发动机正常运行另外2台故障概率C(4.2)*P(1-p)=6P(1-p) 3台发动机正常运行另外1台故障概率C(4.3)*P(1-p)=4P(1-p) 4台发动机正常运行概率概率P4 四发动机飞机正常运行概率 6P(1-p)+4P(1-p)+P4 =P6(1-p)+4P(1-p)+P =P(3p-8p+6) 二发动机飞机： 正常运行时1台或2台发动机正常运行 1台发动机正常运行另外1台故障概率C(2.1)*P(1-p)=2P(1-p) 2台发动机正常运行概率P 二发动机

11、飞机正常运行概率 2P(1-p)+P=P2(1-p)+P=p(2-p)四发动机飞机比二发动机飞机更安全时 P(3p-8p+6)p(2-p) (3p-2)(p-1)0 3p-20 p2/3 当p2/3时四发动机飞机比二发动机飞机更安全Ps+t|Xs)=P(Xt)(三) 正态分布:性质:(2)标准正态分布:引理 对于标准正态分布有3.5 随机变量的函数的分布已知随机变量X的分布,求Y=g(X)的分布一、 X为离散型变量例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4X -1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.1 0.4Y4101即

12、 PY=0 =PX=1 =0.1PY=1 =PX=0+PX=2 =0.3+0.4=0.7或者 Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2 PY=4=PX=-1=0.2设X的分布律为 X x1 x2 xk P(X=xi) p1 p2 pk . 记yi=g(xi)(i=1,2,), yi的值也是互不相同的, 则Y的分布律为: PY=yi)= P(X=xi) =pi若yk=g(xk1)=g(xk2)=g(xkm),则 P(Y=yk)=P(X=xk1)+P(X=xkm)离散随机变量函数的分布律的求法:例 设随机变量XN(,2),求Y=aX+b(a0)的概率密度。于是求导可得二、X为连续型- 分布函数

13、法3.6 多维随机变量及其分布 n维随机变量定义: 设E是一个随机试验, 样本点是，若X1()X2(),Xn()是定义在样本空间上的n个随机变量,则称构成一个n维随机变量,简记为X=(X1,X2,Xn)1. 二维随机变量(联合)分布函数:联合分布函数.二维随机变量(1) F(x,y)是变量x或y的单调不减函数，即联合分布函数的性质：(3) F(x,y)关于x,y都是右连续的，即 2. 二维随机变量的分布(一) 二维离散型随机变量的分布律(二) 二维连续型随机变量的联合概率密度3. 二维均匀分布及二维正态分布(1) 二维均匀分布设G是平面上的有界区域,面积为 A,若二维随机变量(X,Y)具有概率

14、密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布.若区域G1是G内的面积为A1的子区域,则有(2) 二维正态分布设二维随机变量(X,Y)具有概率密度二维正态分布，2. 边缘分布 一、边缘分布函数：二、边缘分布律：二维离散型随机变量(X,Y)的分量X,Y的分布律 P(X=xi ), P(Y=yj) (i=1,2,)分别称为(X,Y)关于X,Y的边缘分布律。设(X,Y)的联合分布律 P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,)则关于X的边缘分布律为三、边缘概率密度:所以，关于X的边缘密度为3. 条件分布 一、二维离散型变量的情况:4. 相互独立的随机变量 若两个事件A, B满足P(AB)=P(A)P(

15、B), 则称A, B相互独立.定义:例 (X,Y)由联合分布证明X与Y独立。定理: 如果(X,Y)是二维离散型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:对任意的一对值(xi,yj)有定理 如果(X,Y)是二维连续型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:在 f(x,y)的连续点(x,y)处，有命题：设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y相互独立的充要条件是 =0.定理：设(X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, Yn)相互独立, 则Xi(i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互独立,若h, g是连续函数, 则h(X)和g(Y)相互独立.第四章 随机变量的数字特征4.1. 随机

16、变量的数学期望4.2 随机变量的方差 4.3. 协方差和相关系数4.4 矩、协方差矩阵1. 随机变量的数学期望下面计算一些离散型分布的期望值。1) (0-1)分布 设X服从(0-1)分布，分布律为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p, 0p1X的数学期望为 EX=1p+0(1-p)=p连续型随机变量的数学期望下面计算常用连续型变量的数学期望：则它恰是区间a,b的中点。随机变量函数的数学期望公式: 均值的性质:(1) E(c)=c; (c为常数)(2) E(cX)=cE(X);( c为常数)(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4) 设X,Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y);

17、 (5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2)(许瓦尔兹不等式)围绕平均工资的争论统计局最新数据显示，上半年，中国城镇单位在岗职工平均工资12964元，比去年同期增长18.0% ，2008年张家有财一千万，九个邻居穷光蛋，平均起来算一算，个个都是张百万 4.2 方差 若X为离散型r.v.其分布律为PX=xk=pk, k=1,2, 则方差的计算公式:1. X服从(0-1)分布, 则EX=0(1-p)+1p=p,故 D(X) =E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).E(X2)=02(1-p)+12p=p, 下面计算一些常见分布的方差方差的性质:1 设C是常数, 则D(C)=0;2 C是常

18、数, 则有 D(CX)=C2D(X);3 设X, Y是两个相互独立的随机变量, 则有 D(XY)=D(X)+D(Y);切比雪夫不等式:4.3. 协方差和相关系数展开可得计算公式: Cov(X, Y)=EX-EXY-EY =E(XY)-E(X)E(Y).由方差性质证明知对于任意的X和Y, 有 D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y). 协方差的性质:1 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);2 Cov(aX, bY)=abCov(X,Y), a, b是常数;3 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);6 |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y);5 若X, Y相互独立, 则Cov(X, Y)=0.4 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX,a为常数;由性质(6) |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y)可得.公式：Cov(aX+bY,cX+dY) =acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY4.4 矩、协方差矩阵E(X)为一阶原点矩, D(X)为二阶中心矩, cov(X,Y)为二阶混合中心矩.(1) 若E(Xk), k=1, 2, 存在, 则称为X的k阶原点矩.(2) 若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在,则称它为X的 k阶中心矩.(3) 若EX-E