2021年中考数学复习 第一讲、最值问题 学案

1、第一讲、 问题最值问题通常与动点问题结合在起的重要内容一类综合性较强的 问题是中考的热点问题学生对平时所学的知识和方法的综合运用 数问题还是几何问题都有最值问强试题中出镜率比较高的主要有利用 重要的几何结点之间线最短之间垂线段最短和点与圆上的点的距离最 短等值问题质求最值的代数类型最值问题 何模型(1) “点之间线段最短” 模型这个模型主要用来解决一个动点两个定点所得到的两条两线段之和的最小值问题 是两条线段之差的最大值问题模型一 两条线段的和最小值问题如图，点 是直 l 同侧的个定点试在直线 l 上确定一点 ，使 的 值最小解 A 关于直线 l 对点 A 连 A B l 点 ，则 最小例 1

2、 ，在平面直角坐标系中 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 标为(3， C 坐标(， P 为斜边 OB 的一动点，则 PA+PC 的最小值（ ）分析 ，作 A 关于 OB 的对称点 ，连接 CD OB 于 P 连接 DNOA N求 小，由对称性可知，即求 CD 的长求出 DN 后，在 eq oac(,Rt) 中根据勾股定理即可得出答案解法一 如图，作 A 关于 OB 对称点 D OB 点 M接 CD 交 OB 于 接 AP D 作 DNOA 于 ，则此时 PA 最小DP=PA 3 )，3， OA=3，在 ，由勾股定理 由面积公式得 AB=OB ，即 ，BAO=90， AD= 在 eq

3、oac(,Rt) 勾股定理得DN=3 2C( ，0)， 在 eq oac(,Rt) 中，由勾股定理得 312即 PA 最小值是解法二 如图，312所以应选 点 A 于直线 OB 的对称点为 ，接 CD OB P，接 OD B(3 3 )可 得：AOB=30AOD=2AOB=60称性知OA=OD 边三角形D( 3， ) C(31，0)，PA+PC 小值是 CD= 2说明： 题考查了两条线和的最小值问题将同侧线段转化为异侧线段， 从而利用两点之间线段最短解决问题本例的难点有二，其一是如何将最小问题转化为基本模型“军饮马”，即如何找到基 本模型中的“河”从而构造轴对称；其二是如求对称点的坐标其中特别

4、要强调的是，解法二中充分利用了题目的特殊，由点 的坐标发现了含 30角三角形，从而到 等边三角形，并利用含 30的角三角形的性质，巧妙地求得对称点 标变式 “顶点 坐标为 ( ”为“点 B 坐标 ( ，1)”其它条件不变，求 值分析： 例 在求点 坐标时法都利用了 30这一特殊角特殊角， 因此要用更一般的通法解决：连 x 轴的平行线，延长 将四边形 “框”来，构造 K 本图形利用相似可求得解 沿 OB 折叠得ODB点 EF延长 交于点 ，接 CD由折叠得，BD=AB=1OED=ODB=90EOD+EDO=EOD=FDBOED=F， FB BD 1 OD 设 FB=x ，OE=1+x，DF=2-

5、2x 代入比例式可得 3 3 8解得 ， 5 5 5PA+PC 的最小值 CD=变式 2 三角形周长的最小值问题例 2 直角坐标系中的位置如图所示 B 标3 是 的中的，点 在 上，当CDE 的周长最小时，点 的坐标( )A(3，1) ，53 ，2)分析 周长的三条线段中 长为定值题可以化为求 EC+ED 最小值， 即可转化为“军饮马”型解 A 的右侧取点 F 连接 CF交 E易得 AE=1 4 3 3变式 3 一定两动、三动问题例 3 ，分别以点 A(2，3)、B(41 和 2 径画圆，点 、D 分别在这 两个圆上，点 P y 求 值分析 点 P 点，这是一个三动问题对于点 P 和A 连接

6、PA，与圆 的交点即为最小值的位置点 ；同理连接 与 的交点即为点 D此，此题可转 化为模型一“军饮马”题略解 将A y 得A 接 A B两圆分别交于点 、D由题意得A (-2，3)A CD=10-1-2=7即 值 CD 为 7模型二 过桥路线最短问题例 4 ，某人从点 A 垂直于河道的桥 PQ 到河对岸的 探究：桥建在什 么位置，使得行走的路程最短？分析 A 到点 的三条线段中PQ 定值，又由两点之间线段最短的原理只要 将 AP 和 BQ“”来即可解 图，过点 BC岸且 BC 等于河的宽，连接 AC，与靠近点 A 一侧的河道交 点为 P，过点 P 路程最短说明 与三角形周长的最小值问题有相通

7、之处，均为条线段和的最值，且都有一条 线段为定值区别在于定值的线在中间，两条和最小的线段被“开”因此，本题的策 略是利用平移构造平行四边形，两段“开”线段共端点，从而化为基本模型一模型三 两条线段的差最大值问题例 5 是直线 l 同侧两个定点 l 上确定一点 PA 的 值最大解 ，交 l 于点 ，则 PA 值最大例 6 线 x 2 x+2 的顶点为 y 点 B P 是 x 上任意一点，|PB|最时，求点 P 的坐标解 AB x 于点 P当|最大时，点 P 是所求的作 于 BOOP，BOP=AHPBPO=APH， eq oac(,)BOP AHP AH OP由抛物线的表达式可知A(2，3)，B(

8、0：，P(4说明 本题考查了两条线段差的最值问题，利用了三角形两边之差小于第三边的性质，在 特殊位置取得了最大值了点 P 的位置后 的坐标可以利用本例解答中所用 的几何法，即利用相似三角形求 OP 长，从而等到点 P 坐标；也可以利用代数法求直 线 式，与 的交点即为点 P2 22 2(2) “ 到直线的距离最短” 模型这个模型主要用来解决直线外一定点与直线上的一个动点连接所得线段的距离最短 问题，即垂线段最短例 7 ，在平面直角坐标系 中，线 经点 A(， 的半径为 1(O 为坐标原) P 直线 上点 P 作 切线 点 切线长 PQ 的最小值分析 本题中 P 均动点，并不适合本模型的前提，即

9、两点必须为一个定点和一个 动点如何转化呢？考虑到 切线，故连接 可以利用勾定理，将求 PQ 最值问题转化为求 的最值问题，从而化归为本模型的规律解 连接 PQ 为 线，OQPQ在 eq oac(,Rt) OP PQ 的最小值即 取得最小值当 时 取得最小值，设垂足为 A(、B(0，4)，OP =AB= 2 即 小值为 说明 本题考查两个动点形成的线的最小值问题这条线段利用等量关系转化到 另一条线段段满足定点到定直线的距离最短的模型打开了一个思路， 即求线段的最值问题可以利用转的思想转移到另一条线段，从而解决问题(3) “ 与圆上点的距离 ” 模型例 8 ，点 P 方形 对角线 个动点（不与 B

10、、D 重合 AP，过点 线 AP 的垂线，垂足为 H结 ，若正方形的边长为 ，则线段 长度的最小值 分析 求的线段 的特点是：点 ，点 点但关键问题是，点 在怎样的轨迹上运动？如果在直上运动，那么本题可归结为模型二，但是通过分析发现， 说明了点 H 以 为直径的圆周上运动，则本题可归为圆外一点与圆上一 点距离的最值问题法是连接圆外一点和圆心最小值点 解 AB E，连接 由题意得 5 最小值为 252说明 本题的难点是隐形圆的挖掘若定线段所对的角为直角，则直角顶点在以该线段为直 径的圆上外，当一个动点到定点的距离等于定长时形圆一条线段所对 的角是定值时，这个角的顶点在线段为弦的圆上，也能构造隐形

11、圆 函数模型(1) 函数模型此类最值问题的特点是自变量所要求的量与该自变量之间的一次函 数关系，然后利用一次函数的增性，通过自变量的取值范围得到所要求的量的最值例 9 函数 -1x 最大值 =_，y 最小值 =_ 分析 一次函数模型求最值问题就首先考虑一次项数的符号，再根据增减性分别 在自变量的两个端点处取得最大最小值解 可得：当 x= 取得最小值，当 x=3 时 最大值即：y；y(2) 函数模型此类最值问题的方法与一次函数型类似要求的量与自变量之间的二次函 数关系变量的取得范围确定最值的情况般在顶点处取得最 值例 10 已知半径为 与直线 l 相切于点 ，点 是直径 半圆上的 动点，过点 P

12、 l 于点 ，PC 与 于点 设 PC 的长为x(2x4)当 x 为何值时PDCD 的值最大？最大值是多少？分析 本题的重点是用 x 的数式表示 PD 和 CD 的，从而可得 PDCD 与 x 之间的函数 关系式考虑到 PD 为弦，可以作弦心距后利用垂径定理解决解 OHPD 于 HPHDH2 22 2 22 2 2 2 22 l ， 边形 CH=OA=2PC=xPH=x-2PD=2x-4CD=PC-PD=4 -xPDCD=2x22x4 x=3 PDCD 最大值，最大值为 说明 用二次函数模型求最值问题时，得到二次函数后需判断最值是否恰在顶点处取 得例中 x=3 满足条件 最值在顶点处取得问题的难点是建立二次函数 模型例 11 边长为 的正方形 为直径在正方形内作半圆， P 是半圆上的动点（不与点 A 合 PA以 边所在直线为 x 轴 所在直线为 y 轴立如图所示的直角坐标 A 即为原点 eq oac(,、) 分别记为 、S 点 P 的坐标a，b)试求 2S S 1 2 3 1 3 2的最大值，并求出此时 ，b 的值2分析 本题的关键是用恰当的变量示 S 1 3 22，从而建立 S 1 3 22与这个变量的函数关系，利用函数模型求得最解 P 的坐标，b)S =2a，S ，S 1 2 3 S 1 3 2点 P 以 OB 直径的圆