12.3 角的平分线的性质（课件）-2022-2023学年八年级数学（人教版）

1、人教版 八年级上册数学第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质ABDCE 下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？情景引入 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？角平分线的画法问题1：问题2：问题引入 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能

2、说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.问题3：【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO 请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是AOB的平分线吗？ABMNCO已知: AOB.求作：AOB的平分线.仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握!作法：（1）以点O为圆心，适

3、当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.半径小于 MN或等于 MN，可以吗？一、角平分线的画法已知：平角AOB. 求作：平角AOB的角平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PEOB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：_ PD PE 第一次第二次 第三次 COBAPD=PEpDE OC是

4、AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.二、角平分线的性质已知：如图， AOC= BOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明： PDOA，PEOB， PDO= PEO=90 .在PDO和PEO中，PDO= PEO，AOC= BOC，OP= OP， PDO PEO(AAS).PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.验证猜想一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已

5、知推出要证的结论的途径，写出证明过程.归纳总结性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用： 证明线段相等.应用格式：OP 是AOB的平分线，PD = PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PDOA， PEOB，BADOPEC判一判：（1） 如下左图，AD平分BAC（已知）， = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CDBADC(2) 如上右图， DCAC，DBAB （已知）. = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CDBADC缺少“垂直距离”这

6、一条件缺少“角平分线”这一条件例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEAB, DFAC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明： AD是BAC的角平分线， DEAB, DFAC， DE=DF, DEB=DFC=90 .在RtBDE 和 RtCDF中，DE=DF，BD=CD， RtBDE RtCDF(HL). EB=FC.典例精析例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段直接应用ABCP变式：如图，在Rt ABC中，AC=BC,C900，AP

7、平分BAC交BC于点P，若PC4，AB=14.（2）求APB的面积.D（3）求PDB的周长.ABPD=28.由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. OC平分AOB，且PDOA， PEOB ， PD= PE.几何语言：猜想:想一想这个结论正确吗？三、角平分线的判定角的内部到角

8、的两边距离相等的点在角的平分线上已知：如图，点P为AOB内一点，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，且PD=PE.求证：OP平分AOB.验证：BADOPE证明： OP平分AOB. 在RtPDO和RtPEO 中，（全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边），PD= PE（已知 ），PDOA,PEOB，PDO=PEO=90.RtPDORtPEO（ HL）.AOP=BOPBADOPE 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.角平分线的判定定理结论应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.BADOPEC定理的作用：判断点是否在角平

9、分线上.几何语言： PDOA,PEOB，PD=PE.点P 在AOB的平分线上.图形已知条件结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E角的平分线的判定角的平分线的性质总结：证明：BFAC，CEAB，BEDCFD90，又BDECDF， BECF，BDECDF(AAS) DEDF，AD平分BAC. 例1: 如图，已知，BECF，BFAC于点F，DEAB于点E，BF，CE交于点D. 求证：AD平分BAC.典例精析例2:如图，已知CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FM

10、BC于M.点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC.FGFM.又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC，FMFH，FGFH.点F在DAE的平分线上.GHMABCFED活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点.四、三角形的内角平分线活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明这个结论吗？ 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流 结论：三角形三个角的平分线相交于一点. 怎样证明这个结论呢?

11、试一试点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？AP是BAC的平分线BP是ABC的平分线PI=PHPG=PIPH=PG点P在BCA的平分线上A B C P F H DEIG已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明结论证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D E F A B

12、 C P N M 想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D E F A B C P N M 例题1：到三角形三边距离相等的点是()A三边垂直平分线的交点B三条高所在直线的交点C三条角平分线的交点D三条中线的交点如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工厂的位置在哪里？解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上截取BP1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置C典例精析1如图，OP平分MON，PAON于点 A，点Q是射线OM

13、上的一个动点，若PA2，则PQ的最小值为( B ) A1 B2 C3 D42.如图，在ABC中，ACB90，BE平分ABC，EDAB于点D.如果A30，AE6 cm，那么CE等于( C ) A.1 cm B2 cm C3 cm D4 cm课堂练习3. AD是ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，SABC7，DE2，AB4 ，则AC的长是( A ) A3 B4 C6 D55.ABC中, C=90, AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距是 .ABCD3E4.如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= .60BFEBDF

14、ACG6.在RtABC中，C90，AD平分CAB，DEAB于点E，若AC6，BC8，CD3.求DE的长； 解：在RtABC中，C90 ，ACCD.又AD平分CAB，DEAB，DECD，又CD3，DE3.7.如图，P是BAC内的一点，PEAB，PFAC，垂足分别为点E，F，AEAF.求证：(1)PEPF；(2)点P在BAC的平分线上证明：(1)连接AP.PE AB，PFAC，AEPAFP90 .又AEAF，APAP，RtAEP RtAFP(HL)PEPF.(2)PEPF，且PEAB，PFAC，点P在BAC的平分线上8.如图1232，在四边形ABCD 中，B90，ABCD，M 为BC边上的一点，且AM 平分BAD，DM 平分ADC.求证：M 为BC的中点图1