函数方程以及其应用

1、关于函数方程及其应用第1页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax (a1)与幂函数y=xn (n0) 在区间(0,+)，无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_y=xn 的增长速度,因而总存在一个x0,当xx0时有_.图象的变化随x增大逐渐表现为与_平行随x增大逐渐表现为与_平行随n值变化而不同y轴x轴快于axxn第2页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四（2）对数函数y=logax (a1)与幂函数y=xn (n0) 对数函数y=logax (a1)的增长速

2、度，不论a与n值的 大小如何总会_y=xn的增长速度,因而在定义域 内总存在一个实数x0,使xx0时有_. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函 数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上, 因此在（0,+)上，总会存在一个x0，使xx0时有 _. 慢于logaxxnlogax第3页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四3.常用的几类函数模型 (1)一次函数模型 f(x)=kx+b (k、b为常数，k0); (2)反比例函数模型 (k、b为常数,k0); (3)二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数， a0)； (4)指数函数模型 f(x)

3、=abx+c （a、b、c为常数， a0,b0,b1）； (5)对数函数模型 f（x）=mlogax+n（m、n、a为常 数，m 0, a0,a1）; (6)幂函数模型 f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a0, n1). 第4页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果要回到实际问题中写答案. 第5页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税 外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元， 不收附加税时,

4、每年大约销售100万瓶,若每销售100 元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量 减少10 x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附 加税额不少于112万元，则x的最小值为 （ ） A.2 B.6 C.8 D.10 解析 依题意 解得2x8,则x的最小值为2. A第6页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利 息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人 2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%， 到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元, 则该存款人的本金介于 （ ） A.3万4万元

5、B.4万5万元 C.5万6万元 D.2万3万元 解析 设存入的本金为x， 则x2%20%=138.64，A第7页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四3.在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x元之 间满足一次函数关系,如果购买1 000 吨,每吨为800 元；购买2 000 吨,每吨为700元;一客户购买400 吨, 单价应该是 （ ） A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 解析 依题意，可设y与x的函数关系式为 y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000, 可得k=-10,b=9 000,即y=-10 x+9 000, 将y

6、=400代入得x=860. C第8页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四4.某物体一天中的温度T(单位:)是时间t(单位:h) 的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午1200，其后t 取正值,则下午3时温度为 （ ） A.8 B.78 C.112 D.18 解析 由题意，下午3时，t=3，T(3)=78. B第9页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一 种方式其加密、解密原理如下： 明文 密文 密文 明文 已知加密为y=ax-2 （x为明文,y为密文）,如果明文 “3”通过加密后得到密文为“6”，再发

7、送，接受 方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为 “14”，则原发的明文是_. 解析 依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2， 解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由 14=2x-2,解得x=4. 加密发送解密4第10页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四题型一 一次、二次函数模型【例1】如图所示，在矩形 ABCD中，已知AB=a，BC=b （ba）,在AB，AD，CD， CB上分别截取AE，AH,CG, CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最 大？并求出最大面积. 依据图形建立四边形EFGH的面积S关于 自变量x的目标

8、函数，然后利用解决二次函数的最值 问题求出S的最大值. 思维启迪题型分类 深度剖析第11页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四解 设四边形EFGH的面积为S，则SAEH=SCFG= x2,SBEF=SDGH= (a-x)(b-x)，由图形知函数的定义域为x|0 xb.又0ba,0b3b时,S(x)在（0,b上是增函数， 此时当x=b时，S有最大值为综上可知，当a3b时， 时，四边形面积Smax= 当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2. 第13页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四探究提高 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以

9、求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解. 第14页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四知能迁移1 某人要做一批地砖，每块地砖（如图1所 示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在 边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由 单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为321.若 将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色 阴影部分成四边形EFGH. 图1 图2 第15页，共68页，2022年，5月20日，11

10、点2分，星期四(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？(1)证明 图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次逆时针旋转90，180,270后得到，EF=FG=GH=HE，CFE为等腰直角三角形，四边形EFGH是正方形. 第16页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四(2)解 设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，制成CFE、ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a（元），=a(x2-0.2x+0.24）=a(x-0.1)2+0.23 （0 x0，当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省.答

11、当CE=CF=0.1米时，总费用最省. 第17页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四题型二 分段函数模型【例2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售 情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对 销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中 图（一条折线）、图（一条抛物线段）分别是 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图 是每件样品的销售利润与上市时间的关系. 第18页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四(1)分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t

12、的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由. 第19页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四思维启迪 第(1)问就是根据图和所给的数据, 运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（2）问先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是否有解.解 (1)图是两条线段,由一次函数及待定系数法,图是一个二次函数的部分图象，第20页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四(2)每件样品的销售利润h（t）与上市时间t的关系为 故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的 关系为第21页，共68

13、页，2022年，5月20日，11点2分，星期四当0t20时， F（t）在0，20上是增函数，F（t）在此区间上的最大值为F（20）=6 0006 300.当20t30时， 由F（t）=6 300，得3t2-160t+2 100=0,解得t= (舍去)或t=30. 第22页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四当30t40时， 由F（t）在（30，40上是减函数，得F(t)400时，f(x)=60 000-100 x是减函数， f(x)60000.所以，当x=300时，有最大值25 000.所以，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25

14、000元. 第25页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四题型三 指数函数模型与幂函数模型 【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然 增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年)的 函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万 人（精确到1年）. (4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年 自然增长率应该控制在多少？ 第26页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四（参考数据:1.01291.113，1.012101.127，

15、lg 1.20.079,lg 20.301 0,lg 1.0120.005, lg 1.0090.003 9） 增长率问题是指数函数问题，利用指数 函数模型，构造函数. 思维启迪第27页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四解 （1）1年后该城市人口总数为 y=100+1001.2%=100(1+1.2%)2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x. 第

16、28页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四(2)10年后，人口总数为 100(1+1.2%)10112.7（万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(1+1.2%)x=120,(4)由100(1+x%)20120,得(1+x%)201.2,两边取对数得20lg(1+x%)lg 1.2=0.079,所以 所以1+x%1.009,得x0.9,即年自然增长率应该控制在0.9%. 第29页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以 用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数

17、模型y=a(1+x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解. 第30页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四知能迁移3 1999年10月12日“世界60亿人口日”， 提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主 题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口 平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平 均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多 有多少亿？ 第31页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四以

18、下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lg N0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lg N0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2第32页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四解 （1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口 数为y，则y(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，(1+x)40=2，两边取对数，则40lg（1+x）=lg 2，则lg（1+x）= =0.007 525，1+

19、x1.017，得x=1.7%.（2）依题意，y12.48(1+1%)10，得lg ylg 12.48+10lg 1.01=1.139 2,y13.78，故人口至多有13.78亿.答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿. 第33页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四题型四 函数的综合应用 【例4】(12分)有一个受到污染的湖泊，其湖水的体 积为V立方米,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的 水量，都为r立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡， 且污染物质与湖水能很好的混合.用g（t）表示任一 时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其 为在时刻t时的湖水污

20、染质量分数.已知目前污染源 以每天p克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数 满足关系式 (p0)，其中 g(0)是湖水污染的初始质量分数. 第34页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的 初始质量分数；（2）求证：当g(0) 时,湖泊的污染程度将越来越 严重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染 停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平 下降到开始时(即污染源停止时)污染水平的5%？ 第35页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四 （1）水污染质量分数为常数，即g(t) 为常数函数；(2)污染程度越来越

21、严重，即证明g(t)为增函数；(3)转化为方程即可解决. (1)解 设0t1t2 , g(t)为常数，g（t1）=g(t2), 2分 4分思维启迪第36页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四(2)证明 设0t1t2, g(0)- 0,t1t2,g(t1)-g(t2)0,g(t1)g(t2).故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重. 8分第37页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四(3)解 污染源停止，即p=0，此时 设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g(t)=5%g(0)，即有5%g（0）= 10分由实际意义知g(0)0

22、， 即需要 天时间. 12分第38页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四探究提高 (1)对此类问题的解决关键是认真审题， 理顺数量关系.(2)应用数学模型，抽象出方程、不等式或函数解析式.(3)用函数、方程、不等式解答. 第39页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四知能迁移4 经市场调查，某城市的一种小商品在过 去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件),价 格近似满足 (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20) 的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. 第40

23、页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四解 （1）y=g（t） f（t）=（40-t）（40-|t-10|）= （2）当0t0,b1)； (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数， m0,a0,a1); (6)分段函数模型. 第43页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正 确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确 定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个 数学解对实际问题的合理性. 失误与防范第44页，共68页，2022年，5

24、月20日，11点2分，星期四一、选择题 1.某电信公司推出两种手机收费 方式:A种方式是月租20元,B种 方式是月租0元.一个月的本地网 内打出电话时间t(分钟)与打出 电话费s（元）的函数关系如图， 当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差 （ ） A.10元 B.20元 C.30元 D. 元 定时检测第45页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四解析 设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20, B种方式对应的函数解析式为S=k2t, 当t=100时，100k1+20=100k2, 当t=150时，150k2-150k1-20= 故选A. 答案 A第46页，共68页，

25、2022年，5月20日，11点2分，星期四2.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(-,+) 上是 （ ） A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析 当x0且y0时，x2+y2=1, 当x0且y0时，x2-y2=1, 当x0时，y2-x2=1, 当x0且y0），匀速 行驶s=vt,减速行驶 (a0)结合函数图象可 知选A. A第50页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数 关系是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x0且a1，f(x)=x2-ax,当x(-1,1)时均有 f(x)0时，方程

26、f(x)=0只有一个实数根； c=0时，y=f(x)是奇函数； 方程f(x)=0至多有两个实根. 上述三个命题中所有正确命题的序号为_. 解析 f(x)=x|x|+c=第55页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四如图，曲线与x轴只有一个交点，所以方程f(x)=0只有一个实数根，正确.c=0时，f(x)=x|x|+bx，显然是奇函数.当c=0,b0在2,+)上恒成立,且为增函数,-40，解得x2.3.xN*，x3，3x6，xN*，当x6时，y=50-3（x-6）x-115.令50-3（x-6）x-1150,有3x2-68x+1150,上述不等式的整数解为2x20 (xN*）,6

27、185，当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多. 第60页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四11.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注 意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时, 学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持 较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t) 表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律(f(t) 越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知： 第61页，共68页，2022年，5月20日，11点2分，星期四(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的