函数曲线凹凸性和拐点_第1页
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文档简介

1、关于函数曲线的凹凸性与拐点第1页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四观察下列两图的特点：一、曲线的凹凸性与拐点第2页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四.曲线凹凸性的定义定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.第3页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四 在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的

2、凹凸性呢?2.曲线凹凸性的判定上图可见： 切线斜率k 凹曲线第4页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四上图可见： 凸曲线 切线斜率k第5页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四定理2.12 设函数y = f (x)在区间 (a,b)内的二阶导数 存在(1)若在(a,b)内 f (x) 0 ,则曲线 y = f (x) 在区间(a,b) 内是凹的；(2)若在(a,b)内 f (x) 0 ,则曲线 y = f (x)在区间(a,b) 内是凸的。第6页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四 例1解注意到：第7页，共13页，2022年，5月20日，11

3、点1分，星期四注意：拐点一定在曲线上。怎样判断曲线的拐点呢？定义2.7 连续曲线y = f (x)上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点.函数凹凸性凹凸区间凹凸区间分界点（拐点）第8页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四拐点 凹凸性分界点 切线斜率k凸曲线 切线斜率k凹曲线前已述及:所以:凸曲线 凹曲线但反向不一定成立第9页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤:(1)求函数y=f(x)的定义域;(2)求出f“(x)，找出定义域内使f”(x)=0的点和f“ (x)不存在 的点； (3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 个小区间，考察每个小区间上f“ (x)的符号；从而判断曲 线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点. 第10页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四例2 求曲线的凹凸区间及拐点(2)(3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点:解 (1) 函数的定义域为凹拐点（2，17）凸拐点(，)凹f (x)00f(x)(2, +)2(0,2)0(-,0)x第11页，共13页，2022年，5月20日，11点1分，星期四例3 解因为拐点一定在曲线上，所以从而有即(1)式和(2)式联立解得:第12页，共13页，2022年，

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