2019-2020年高中数学722《直线的方程两点式截距式》教案湘教版必修3

1、019-2020年高中数学722直线的方程两点式、截距式授课设计湘教版必修3授课目的1.掌握直线方程两点式的形式特点及合用范围；2.认识直线方程截距式的形式特点及合用范围.授课重点直线方程的两点式授课难点两点式推导过程的理解授课方法学导式授课过程1、创立情境直线I过两点A(1,2)，B(3,5)，求直线I的方程。回想：直线方程的点斜式、斜截式直线方程的点斜式：yy1=k(xX1)直线的斜截式：y=kx+b解：?直线I过两点A(1,2),B(3,5)?直线I的斜率k=(52)/(31)?直线I的方程是y2=(52)/(31)(x1)即:(y2)/(52)=(x1)/(31)2、提出问题：直线I过

2、两点A(X1,y1),B(X2,y2),(x1丰X2)求直线I的方程。猜想二一-(xx2,y1y2)y21X2-X1推导：由于直线I经过点A(X1,y1),B(X2,y2),而且xQX，所以它的斜率代入点斜式，得.3、解决问题直线方程的两点式:=_(x|=x2,yJy2)y2y1X2捲其中(是直线两点的坐标.说明：这个方程由直线上两点确定；当直线没有斜率()或斜率为时，不能够用两点式求出它的方程.两点式的变形式：(Xx(yy=(yy(xX1).特别状况，若直线I过点(a,0),(0,b),(ab丰0)则直线I的方程是什么？剖析：代入两点式有，整理得直线方程的截距式:,其中a,b分别为直线在x轴

3、和y轴上截距.说明：这素来线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距。4、检讨应用：例1三角形的极点是A(-5,0)、B(3，-3)、C(0，2),求这个三角形三边所在直线的方程解：直线AB过A(-5,0)、B(3,-3)两点，由两点式得整理得：，即直线AB的方程.直线BC过C(0,2),斜率是,由点斜式得：整理得:,即直线BC的方程?直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点，由截距式得：整理得：，即直线AC的方程.变：三角形的极点是A(-5,0)、B(3，-3)、C(0，2),求这

4、个三角形三边上的中线所在直线的方程.剖析：?A(-5,0)、B(3,-3)?AB的中点是(一1,3/2)?AB边上的中线所在的直线方程是即y=3x/2+2同理BC边的中线所在的直线方程是y=x/135/13AC边的中线所在的直线方程是y=4x/119/11说明:例1中用到了直线方程的点斜式与两点式说了然求解直线方程的灵便性应让学生惹起稳固训练P41练习1、2例2直线I在y轴上的截距为一1,且它的倾斜角是直线2xy1=0的倾斜角的2倍，求直线l的方程。剖析：采用直线方程的形式点斜式解：设直线2xy1=0的倾斜角是a,则直线I的倾斜角是2。2/tana=2,?tan2a=2tana/(1tana)

5、=4/3又直线I在y轴上的截距为1,?直线I的方程是y=4x/31例3直线I过点(1,2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线I的方程。剖析：采用截距式,行吗？为什么？截距式要求abz0。题目中只告诉我们截距相等，并没有说它们不等于0,故需分类讨论。解：当直线I在两坐标轴上的截距都为0时,直线过原点,此时方程为y=2x；当直线I在两坐标轴上的截距相等且不为0时,可设方程为x/a+y/a=1将点(1,2)代入得a=3，此时方程为x+y=3。故直线I的方程为y=2x或x+y3=0例4已知直线I的斜率为1/6,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求直线I的方程。解：设直线I的方程为：y=x/6+b,则它

6、在两坐标轴上的截距分别为6b与b.由题意知I6b|/2=3，解得b=1直线I的方程是y=x/61,即x6y6=0概括总结数学思想：数形联合、特别到一般数学方法：公式法知识点：点斜式、斜截式、两点式、截距式作业P44习题7.24,5,6,7思虑题：直线I过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当IPA|?IPB|取到最小值时，求直线I的方程。剖析：设直线I的方程是y1=k(x2),(k丰0)贝UA(21/k,0),B(0,12k)?IPA|PB|=.(厂i/k)(44k)=.8一4(k1/k2)当且仅当k2=1即k=1时IPA|?|PB|取最小值。又依照题意k0,?k=1,直线

7、I的方程是：x+y0授课后记：2019-2020年高中数学7.2直线的方程(备课资料)纲领人教版必修参照例题例1:过点P(2,1)作直线l交x,y正半轴于AB两点，当|PA|?|PB|取到最小值时，求直线l的方程.解：设直线l的方程为：y1=k(x2)(0)令y=0解得x=2x=0,解得y=12k?A(2,0),B(0,12k),?IAP|?|BP|=同时应注意联合直线与坐标轴正半轴订交84(k2.842=4当且仅当k2=1即k1时，|PA|?|PB|取到最小值.又依照题意kv0?k=1所以直线l的方程为：x+y3=0议论：本题在求解过程中运用了基本不等式，而除去k的状况.例2:素来线被两直线

8、l1：4x+y+6=0,是坐标原点，求该直线方程.12：3x5y6=0截得的线段的中点恰好设A(xo,o),则B点坐标为(Xo,y)解：设所求直线与l1,丨2的交点分别是AB,由于AB分别在l1,12上，所以得：x+6y=即点A在直线x+6y=0上，又直线x+6y=0过原点，所以直线I的方程为x+6y=0.例3直线Ax+By1=0在y轴上的截距是1,而且它的倾斜角是直线xy=3的倾斜角的2倍，则()B.A=,B=1A.A=,B=1D.A=,B=1C.A=,B1解：将直线方程化成斜截式y=-.由于一1,B=1故否认A、D.又直线xy=3的倾斜角a=,?直线Ax+By1=0的倾斜角为2a=,?斜率

9、?A=一?=,B=1应选B.例4若直线Ax+By+C=0经过第二、三、四象限，贝U系数AB、C需知足条件（）A.ABC同号B.ACk0,BCc0C.C=0,AB0,且0即A、B同号，BC同号?-A、BC同号，应选A.解法二：（用除去法）若C=0,AB0,则原方程化为y=x.由AB0.此时直线经过原点，位于第一、三象限，故除去C.若A=BC0.此时直线与x轴平行，位于x轴上方，经过一、二象限故除去D.若ACV0,BCV0，知A、C异号，BC异号?A、B同号，即AB0.此时直线经过第一、二、四象限，故除去B.故A、BC同号，应选A.例5:直线y=ax+b（a+b=0）的图象是（）XX解法一：由已知

10、，直线y=ax+b的斜率为a,在y轴上的截距为b.又由于a+b=0.?与b互为相反数，即直线的斜率及其在y轴上的截距互为相反数.图A中，ab0,图B中，av0,bv0图C中，a0,b=0故除去A、B、C.选D.解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a0,于是令y=0，解得x=-.又由于a+b=0a=b,.x=+1直线在x轴上的截距为1，由此可除去A、BC,应选D.备课资料参照例题例1已知直线的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程.剖析：由题意知所围三角形为直角三角形，而依照直角三角形面积公式，直线方程应设为截距式较好?解：设直线方程为?直线斜率k=?k=又s=|ab|=

11、3解得?所求直线方程为x6y+6=0或x6y6=0例2:过点A(1,4)且纵横截距的绝对值相等的直线共有的条数为()A.1B.2C.3D.4剖析：本题应注意直线方程截距式的合用前提是横、纵截距都存在且都不为零，同时注意意会分类讨论思想?解：(1)当直线经过原点时，横纵截距都为0，切合题意；(2)当直线不经过原点时，设直线方程为：由题意j4+=1ab*、=a1b解得综合(1)，切合题意的直线共有三(2)应选C.条例3:一条直线经过A(1,2),且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4,求这条直线的方程?解：由已知，可设直线方程为=1.又因直线过点A(1,2)，所以又已知所求直线与两坐标轴正半轴

12、订交故a0,b0且ab=4.解得2-b00?所求直线方程为，即2x+y-4=0例4已知直线经过点(一2,2),且与两坐标轴组成单位面积的三角形，求此直线的方程?解法一：设过点(一2,2)的直线方程为：y-2=k(x+2).令y=0,得x=-，令x=，得y=2k+2，由已知得l(-)(2k+2)|=1,即卩2(k+1)2=|k|当kv0时，方程化为2k2+5k+2=0.解得k=-2或k.所求直线方程为：2x+y+2=0和x+2y2=0(2)当k时，方程化为2k2+3k+2=0?/A=94X2X2v0方程无实解解法二：设方程为，由已知，有-22=1?abab=2解方程组111-+-=(1Wab2丄

13、、ab2得；而方程组1丄11r=(2)ab2无解，11-=-ab2故所求方程为：+y=1或x=1,即x+2y2=0或x+y+2=0.例5:直线y=ax+2穿过以A(1、B(、1)两点为端点的线段，求a的取值范围.解法一：直线y=ax+2与线段AB的交点为P,且P分AB的比为入.显然P为AB的内分点，其内分比入0,所以入=0./.0解得va2.解法二：直线方程y=ax+2表示的是过定点P(0,2)、斜率为a的一条直线.依题意，此直线穿过线段AB,其地点介于PAPB之间，其斜率a也在kA与kpB之间.而kpA=2,kpB.所以kpakPA即一a0,b，又由于点R1,2)在直线I上，所以=1即b+2

14、a=ab.又由于AOB勺面积S=|0A|?|OB|=ab所以S=ab=(b+2a)，当且仅当b=a时等号成立.?ab.解这个不等式，得ab8.进而S=ab4，当且仅当b=2a时，S取最小值4.将b=2a代入到b+2a=ab解得a=2,b=4.此时，直线的方程为=1,即卩2x+y4=0.于是当过点P(1,2)的直线的方程为2+y4=0时，AOB勺面积取最小值备课资料一、参照例题例1:(xx年全国)设AB是x轴上的两点，点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为xy+1=0,则直线PB的方程是()A.2yx4=0B.2xy1=0C.x+y5=0D.2x+y0解法一：由xy+1=0得

15、A(1,0).又|PA|=|PBI知点P为AB中垂线上的点，故巳5,0)，且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补，则斜率互为相反数，故所求直线的斜率为-1,所以选C.解法二：y=0代入xy+1=0得A1,0).由解得P(2,.设B(XB,0),由|PA|=|PB|解得XB=5.由两点式整理得PB直线方程：x+y5=0,应选C.例2(1997年全国)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点AB作y轴的平行线与函数y=log2X的图象交于CD两点.(1)求证点CD和原点O在同一条直线上.(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.(1)证明：设AB的横坐标分别为X,X2

16、，由题设知X11,X21,点A(x1,log8X1),B(X2,logx2).由于AB在过点O的直线上，所以又C、D的坐标分别为(xi,log2x1),(X2,log2x2).由于log2X1=3log8Xi,log2X2=3log8X2.OC的斜率和OD勺斜率分别为：2log2Xi3log8X.log?x?3log8Xkoc-=-,kD=-=-，由此得koc=koD,又OCOD有XiXiX2X2相同起点Q?OCD三点在同素来线上.3(2)解：由BC平行于x轴，有log2X1logX2,解得X2Xi,3将其代入，得Xilog8xi=3xilog8Xi由于xii,得log8xi丰0?x3=3xi，解得xi于是点A坐标为(，log8).二、参照练习题某房地产企业要在荒地ABCDE以以下图上划出一块长方形地面(不改变方向)建筑一幢大楼，问怎样设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精准到im)说明：本题作为一数学应用题，要修业