利用定积分求简单几何体体积

1、关于利用定积分求简单几何体的体积第1页，共11页，2022年，5月20日，12点7分，星期四1（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？ (2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析问题：求函数，x=a,x=b围成的平面图形绕 轴旋转一周所得到的几何体的体积。第2页，共11页，2022年，5月20日，12点7分，星期四2设由曲线yf(x)，直线xa，xb与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.思考： 1简单几何体的体积计算第3页，共11页，2022年，5月20日，12点7分，星期四3在区间a，b内插入n1个分点，使ax0 x1x

2、2xn1xn1，把曲线yf(x)，axb分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示设第i个“小长条”的宽是xixixi1，i1,2，n.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是xi的小圆片，如图乙所示当xi很小时，第i个小圆片近似于底面半径yif(xi)的小圆柱，因此第i个小圆台体积Vi近似为Vif2(xi)xi.该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和Vf2(x1)x1f2(x2)x2f2(xi)xif2(xn)xn这个问题是积分问题，则有第4页，共11页，2022年，5月20日，12点7分，星期四4(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数(2)分清端点(

3、3)确定几何体的构造(4)利用定积分进行体积表示2利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于3一个以y轴为中心轴的旋转体的体积 yox第5页，共11页，2022年，5月20日，12点7分，星期四5例1、求由曲线所围成的图形绕轴旋转所得旋转体的体积。 例题研究 xyox=1第6页，共11页，2022年，5月20日，12点7分，星期四6变式练习1、求曲线，直线， 与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。答案：例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。第7页，共11页，2022年，5月20日，12点7分，星期四

4、7分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。 解：将其轴截面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。则， ，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：， 第8页，共11页，2022年，5月20日，12点7分，星期四8代入求得：抛物线方程为：（）设直线AB的方程为：，代入求得：直线AB的方程为：所求“冰激凌”的体积为： 第9页，共11页，2022年，5月20日，12点7分，星期四9变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A是双曲线的顶点，C,C是冷却塔上口直径的两个端点，B,B 是下底直径的两个端点，已知AA=14m,CC=18m,BB=22m,塔高20m.(1)建立坐标系，并写出该曲线方程(2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计， 取3.14）第10页，共11页