天津南开务实中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

1、天津南开务实中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数的定义域为R，且，若则函数的最小值是（ ）A1 B3 C D参考答案：B略2. 若函数满足，则的值为（ ）A. B. C.0 D. 参考答案：C略3. 函数则函数的零点个数为A B C D 参考答案：A考点：零点与方程分段函数，抽象函数与复合函数时，令符合题意；时，令或符合题意。所以函数的零点个数为3故答案为：A4. 抛物线与双曲线有相同焦点F，点A是两曲线交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为 （ ） 参考答案：D5. 一个

2、几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )ABC2D参考答案：B考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：此几何体是底面积是S=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出解答：解：此几何体是底面积是S=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，V=点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题6. 定义在R上的函数满足：，则不等式 的解集为（ ）A. (0,+)B. (,0)(3,+ )C. (,0)(0,+)D.

3、(3,+ )参考答案：A【分析】由变形得，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集。【详解】由变形得，设，所以原不等式等价于，因为，所以在定义域 上递增，由，得，故选A。【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力。7. 已知函数ysin(x)，且此函数的图象如图所示，则点(，)的坐标是A. B. C. D.参考答案：A8. 已知则的最小值是 A2 B C4 D参考答案：答案：C9. 直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 参考答案：C略10. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ）A

4、 B. C1 D. 参考答案：二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设的最小值为，则。参考答案：略12. 已知= 参考答案：略13. 在等比数列中，成等差数列，则 参考答案： 14. 已知直线与曲线有且仅有一个公共点，则参考答案：15. 定义在上的奇函数当时， 则关于的函数的所有零点之和为_（结果用表示） 参考答案：【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数和对数函数/指数方程和对数方程.【试题分析】函数有零点，则函数的

5、图像与直线有交点，它们的图像如图所示，当时，图像无交点，当时，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，令，得，当时，由得，同理，可得当时，所以函数的所有零点之和为，故答案为.16. 数列满足,且是递增数列,则实数的取值范围是_ _.参考答案：(2,3) 17. 已知抛物线上两点的横坐标恰是方程的两个实根，则直线的方程是 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组

6、15，25)a0.5第2组25，35)18x第3组35，45)b0.9第4组45，55)90.36第5组55，653y()分别求出a，b，x，y的值；()从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？()在()抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.参考答案：（）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=, a=1000.01100.5=5，b=1000.03100.9=27， 4分 （）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人

7、；第3组：人；第4组：人 8分（）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件， .10分 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：. .12分19. 已知函数f (x) = ln(ex + a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，.（

8、）求a的值；（）求函数的单调区间和极值；（）讨论关于x的方程的根的个数.参考答案：（本小题满分12分）（）由于f (x) 是R上的奇函数，f (0) = 0，故a = 0-3分（）由（1）知 =，当x(0，e)时，在(0，e上为增函数；当x(e，+)时，在（e，+)上为减函数；当x = e时取极大值 -7分（）令h(x) = x2 2ex + m，即，当x = e时, 取最小值 由（）知,当x = e时取最大值-9分当时，即时方程无解 当时，即时方程有一解当时，即时方程有二解-12分略20. 已知函数f（x）=ax2x+2ln（x+1）（）求函数f（x）的图象在点（0，f（0）的切线方程；（）

9、设函数h（x）=f（x）ln（x+1），当x0，+）时，h（x）x恒成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；综合题；综合法；导数的综合应用【分析】（）根据导数的几何意义即可求出（）若对任意的x0，+），h（x）x恒成立，则f（x）g（x）0恒成立，g（x）=ax2+ln（x+1）x，（x0），只需g（x）max0，分类讨论后，综合讨论结果可得实数a的取值范围【解答】解：（）f（0）=0，所以切点为（0，0），f（x）=2ax+，f（0）=+2=，所求切线方程为y=x，（）由题设，当x0，+）时，不等式ax2+ln（x

10、+1）x0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）x，（x0），只需g（x）max0即可，由g（x）=2ax+1=，（1）当a=0时，g（x）=，当x0时，g（x）0，函数g（x）在0，+）上单调递减，故g（x）max=g（0）=0，满足条件，（2）当a0时，令g（x）=0，解得x=1，若10，即a，在区间（0，+）上，g（x）0，则函数g（x）在0，+）上单调递增，g（x）0，当且仅当x=0时等号成立，此时不满足条件，若10，即0a时，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，g（）=lg（1+）0，此时不满足条件，（3）当a0时，由g（x）=，2ax+（2a1）1，

11、g（x）0，函数g（x）在0，+）上单调递减，故g（x）max=g（0）=0，满足条件，综上所述，实数a的取值范围为（，0【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数最值，利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导数符号与原函数单调性的关系，是解答的关键21. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：为定值参考答案：解：（1）由，得曲线直线的极坐标方程展开为，故的直角坐标方程为（2）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为为参数），代入得，设，对应的参数为，所以为定值22. (本小题满分14分)已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为 (1) 求椭圆的方程； (2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.参考答案：（1）椭圆的方程为（2）的面积的最大值为（1）解：椭圆的离心率, . 2分解得. 椭圆的方程为 4分（2）解法1：依题意，圆心为由 得. 圆的半径为