2022年秋新教材高中数学习题课二导数的几何意义及其应用新人教A版选择性必修第二册

1、PAGE PAGE PAGE 4习题课(二) 导数的几何意义及其应用一、选择题1曲线y1eq f(2,x2)在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选A因为y1eq f(2,x2)eq f(x,x2)，所以yeq f(x2x,x22)eq f(2,x22)，yeq blc|rc (avs4alco1()x12，所以曲线在点(1，1)处的切线的斜率为2，所以所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.2已知曲线yeq f(x2,4)3ln x的一条切线的斜率为eq f(1,2)，则切点的横坐标为()A3 B2C1 Deq f(1,2)解析：选A因为yeq

2、f(x,2)eq f(3,x)，所以令yeq f(1,2)，解得x3，即切点的横坐标为3.3已知函数f(x)xln xa的图象在点(1，f(1)处的切线经过原点，则实数a的值为()A1 B0C.eq f(1,e) D1解析：选Af(x)xln xa，f(x)ln x1，f(1)1，f(1)a，切线方程为yx1a，001a，解得a1，故选A.4若点P是函数yexex3xeq blc(rc)(avs4alco1(eq f(1,2)xeq f(1,2)图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是()A.eq f(5,6) Beq f(3,4)C.eq f(,4) Deq f(,6)解析：选

3、B由导数的几何意义，kyexex32eq r(exex)31，当且仅当x0时等号成立即tan 1，0，)又eq f(1,2)xeq f(1,2)，tan k0)根据题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2aeq f(1,x2)(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，)6.意大利画家列奥纳多达芬奇(1452.41519.5)的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬，呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：f(x)acos

4、heq f(x,a)，其中a为悬链线系数，cosh x称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh xeq f(exex,2)，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh xeq f(exex,2).若直线xm与双曲余弦函数C1、双曲正弦函数C2的图象分别相交于点A，B，曲线C1在点A处的切线l1与曲线C2在点B处的切线l2相交于点P，则下列结论正确的为()Acosh(xy)cosh xcosh ysinh xsinh yBysinh xcosh x是偶函数C(cosh x)sinh xD若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数m0解析：选ACDcosh xcosh ysinh xsinh yeq

5、f(exex,2)eq f(eyey,2)eq f(exex,2)eq f(eyey,2)eq f(exyexy,2)cosh(xy)，A正确；ysinh xcosh xeq f(e2xe2x,4)，记h(x)eq f(e2xe2x,4)，则h(x)eq f(e2xe2x,4)h(x)，h(x)为奇函数，即ysinh xcosh x是奇函数，B错误；eq blc(rc)(avs4alco1(f(exex,2)eq f(exex,2)，即(cosh x)sinh x，C正确；对于D，因为ABx轴，因此若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则kPA0，由kPAeq f(emem,2)0，解得m0，

6、D正确二、填空题7若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab_.解析：依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，f(0)g(0)，即asin 020b，得b0.又mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1.答案：18若曲线yln(xa)的一条切线为yexb，其中a，b为正实数，则aeq f(e,b2)的取值范围为_解析：由yln(xa)，得yeq f(1,xa).设切点为(x0，y0)，则有eq blcrc (avs4alco1(f(1,x0a)e，,lnx0aex0b)bae2.b0，aeq f(2,e)，aeq f(e,b2)aeq f(1,a

7、)2，当且仅当a1时等号成立答案：2，)9设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线yeq f(1,x)(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_解析：yex，则曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率为1，又曲线yeq f(1,x)(x0)上点P处的切线与曲线yex在点(0,1)处的切线垂直，所以曲线yeq f(1,x)(x0)在点P处的切线的斜率为1.设P(a，b)，则曲线yeq f(1,x)(x0)上点P处的切线的斜率为yeq blc|rc (avs4alco1()xaa21，可得a1，又P(a，b)在yeq f(1,x)上，所以b1，故P(1,1)答案：(1,1)三、解答题10已知函数f

8、(x)eq f(aln x,x1)eq f(b,x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30，求a，b的值解：f(x)eq f(ablc(rc)(avs4alco1(f(x1,x)ln x),x12)eq f(b,x2).因为直线x2y30的斜率为eq f(1,2)，且过点(1,1)，所以f(1)1，f(1)eq f(1,2)，即b1，eq f(a,2)beq f(1,2)，解得a1，b1.11已知函数f(x)eq r(x)，g(x)aln x，aR.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程解：f(x)eq f(1,2r(x)，g(x

9、)eq f(a,x)(x0)，设两曲线的交点为P(x0，y0)，则eq blcrc (avs4alco1(r(x0)aln x0，,f(1,2r(x0)f(a,x0)，)解得aeq f(e,2)，x0e2，所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)切线的斜率为kf(e2)eq f(1,2e)，所以切线的方程为yeeq f(1,2e)(xe2)，即x2eye20.12设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解：因为f(x)x3ax2bx1，所以f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab，又f(1)2a，则32ab2a，解得b3.令x2得f(2)124ab，又f(2)b，所以124abb，解得aeq f(3