2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算课件新人教A版选择性必修第一册

1、第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算学习目标 素养要求1.能够说出空间向量夹角和模的概念及表示方法数学抽象2.会灵活运用两个向量的数量积的计算方法数学运算3.能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题数学运算、直观想象| 自 学 导 引 | 两个向量的夹角a，b互相垂直ab a，bb，a吗？a，b与a，b有什么关系？【答案】提示：a，bb，a，a，ba，ba，b微思考【预习自测】两个向量的数量积1定义：已知两个非零向量a，b，则_叫做a与b的数量积，记作ab，即ab_2数量积的运算律：|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b 数乘向量与数量积

2、的结合律(a)baba(_)交换律ab_分配律a(bc)_bbaabac 3空间两向量的数量积的性质：|a|a|cosa，a【答案】(1)(2)【解析】(1)不一定可能是，也可能是.(2)abaca(bc)0，所以可能只是a与(bc)垂直【预习自测】2已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_已知向量a，b，对于|ab|a|b|成立吗？【答案】提示：|ab|a|b|cosa，b|a|b|，所以当a与b共线时，|ab|a|b|，否则不成立 微思考| 课 堂 互 动 | 【答案】C求数量积的方法已知向量的模和夹角，利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算【答案】A题型2利用数量积求夹角和

3、模(1)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角均为60，则对角线BD1的长为()(2)在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD1，AA11，若BADA1ADA1AB60，则C1AB的余弦值是_提醒：求异面直线所成的角(或余弦值)时，易忽视向量的夹角与异面直线所成角的区别【答案】A题型3利用数量积解决垂直问题探究1已知垂直求参数已知|a|5，|b|2，且a与b不共线k为何值时，向量akb与向量akb互相垂直？解：因为向量akb与akb互相垂直，所以(akb)(akb)0，即a2k2b20.探究2证明

4、垂直关系如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.利用空间向量解决垂直问题的方法(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否垂直4已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角解：由已知，(a3b)(7a5b)0，(a4b)(7a2b)0，即7a216ab15b20，7a230ab8b20.5已知空间四边

5、形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.规范解答利用空间向量数量积求向量的模和夹角如图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60，N是CM的中点| 素 养 达 成 | 1空间向量夹角定义的三个关注点(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且a，bb，a3对空间向量的数量积的两点说明(1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积(2)运算符“”：其中ab中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“”代替【答案】D2(题型3)若向量m垂直于向量a和b，向量nab(，R且，0)，则()AmnBmnCm既不平行于n，也不垂直于nD以上三种情况都有可能【答案】B【解析】由已知得ma0，mb0，所以mnm(ab)mamb0，故mn.故选B.【答案】D4(题型2，3)设向量a