初中数学北师大八年级上册 一次函数《与一次函数有关的三角形面积问题》教学设计

1、授课教师： 张思悦2023年12月16日指导教师： 周小勇与一次函数有关的三角形面积问题2023年12月16日师大附中外国语学校 张思悦【教学目标】1知识与技能（1）使学生进一歩熟练掌握一次函数求交点、求解析式的方法。（2）通过数形结合，利用割补法求平面直角坐标系中与一次函数有关的三角形面积问题。2过程与方法（1）借助几何画板探究一次函数与三角形面积的相互关系，使学生初步形成正确、科学的分析解决问题的方法。（2）学生在与其他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。 （3）在割补图形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。3情感态度与价值观（

2、1）通过新媒体手段和个性化的学习方式，培养学生交流合作的意识，激发学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心，培养学生良好的学习习惯。（2）以小组活动形式对本节内容进行综合探究，在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。【教学重、难点】教学重点: （1）一次函数图像与三角形面积的转化与求解。（2）割补法求三角形面积。教学难点: （1）一次函数图像与三角形面积的转化与求解。（2）因动点产生的一次函数与三角形面积的关系问题。【学情分析】前面学生已经初步了解了一次函数图像的性质，确定函数的解析式，坐标轴交点及两

3、直线的交点坐标求法，但对三角形面积与一次函数综合应用问题还存在一定困难。【教学活动策略及教法设计】1活动策略课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“割补法”的运用。学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。辅助策略：借助几何画板，使学生直观形象地观察、操作。2教法演示法：通过几何画板演示割补法和动点的变化，使学生直观、形象的感知三角形面积的割补以及因为点的运动而引起

4、三角形面积的变化问题。实验法：让学生动手，在探究割补法的活动过程中，积累数学活动经验。讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。【教学过程】一、创设情境，引入新课这节课给同学们讲一个故事，这是一个一次函数与三角形面积之间的故事，当三角形遇到了一次函数，会碰撞出什么样的火花呢？这节课我们就一起来寻找这些火花。二、活动探究，集思广益探究平面直角坐标系中三角形面积的算法。探究一：特殊位置：直接法求三角形面积学生根据自己的预习和教师提供的坐标系中特殊位置的三角形，直接算出三角形面积，总结出直接法算面积的适用条件。为后面探究割补法算面积做铺垫。探究二：一般位置：割补

5、法求三角形面积对于坐标系中一般位置的三角形，又怎么算它们的面积呢？1、补：你能通过补图的方式先构造出特殊位置的三角形作为桥梁，再计算出一般位置的三角形面积吗？学生分组讨论并展示自己的成果：（1）延长AB： （2）延长BA： （3）补长方形： （2）做双高： 2、割：你能通过分割的方式计算出一般位置的三角形面积吗？（1）铅垂法： （2）水平法： 总结：对于更普通位置的三角形，我们可以用这里的铅垂法、水平法或上面的补长方形、补梯形等方法，几何画板演示：三、学以致用，牛刀小试我们已经探究出了直接法和割补法计算三角形的面积，当三角形处于特殊位置时，用面积公式直接算。处于一般位置时，用割补法，分为补和割

6、，其中“割”又分为铅垂法和水平法。如何将这些知识更好地加以运用，接下来我们就应用这些知识解决实际问题。1、例题分析设计意图：当一次函数和三角形面积联系在一起时，使学生初步应用割补法解决实际问题，在例1中，“割”和“补”两种方法都可使用，使学生感受到两种方法之间的区别和联系，培养学生的多向思维能力。教学措施：教师分析，学生独立思考，学生举手回答。例1 如图，直线l1过点和点D(3,0)，直线与x轴交于点C，两直线相交于点B.（1）求直线 QUOTE l1 的解析式和点B的坐标； （2）求ABC的面积.方法提炼：（1）用待定系数法求 QUOTE l1 的解析式，联立方程组计算点B坐标；（2）ABC

7、的面积可以用“补”，也可用“割”里面的铅垂法。2、变式练习设计意图：在初步应用割补法的基础上，使学生进一步熟练掌握割补法并熟练应用，在此基础上，培养学生独立思考以及语言表达的能力，并引入简单的动点问题，为例2做铺垫。教学措施:学生独立思考，举手上台展示解答过程。变式：如图，一次函数的图象经过点A(4,1)和点B(0,5).（1）一次函数的表达式为： .（2）若点P为此一次函数图象上第二象限内直线上一动点且，求点P的坐标.方法提炼：（1）待定系数法求一次函数 QUOTE l1 的解析式；（2）先用直接法或割补法算ABO的面积，再得到POB的面积，进而得到点P的坐标。补充：如果没有第二象限内这个限

8、制条件，那么点P的坐标会有几个呢？3、提升能力设计意图：在割补法的基础上，引入动点问题，通过几何画板演示其动态变化，引导学生突破难点，并提炼出割补法面积组合的本质以及特殊到一般的数学思想。教学措施：教师讲解，引导学生思考。例2 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A(a,1). （1）点A的坐标为： ，k= .（2）若点B的坐标为(0,-1)，点C在一次函数的图象上，连接BC交线段0A于点D，且BOD与ACD的面积相等，求直线BC的函数表达式；（3）在（2）的基础上，若点P是一次函数图象上一动点，连接BP，且BCP的面积为，求满足条件的点P的坐标.方法提炼：直接法面积组合（补图）一般

9、到特殊（1）点代入解析式求坐标和k直接法面积组合（补图）一般到特殊（2） C点坐标待定系数法 待定系数法 直线BC的解析式；（3）“铅垂法”得到点P的两个坐标。四、真题再现，拓展思维设计意图：通过上面的学习，在一次函数与三角形面积问题中，学生已经可以熟练掌握并运用直接法或割补法求三角形的面积，在这里设计一个真题，进一步巩固学生对割补法本质的理解，拓展学生的思维。教学措施：学生课下完成。（2023自贡）如图1，已知直线与y轴、x轴分别交于AB两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰.（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2 ，直线CB交y轴于点E，在直线CB上取一点D，连接AD，若，求证：.（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分BCM的面积？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由.