几种横向自适应滤波算法及其改进研究

1、第三章几种横向自适应滤波算法及其改良研究3.1自适应横向滤波器的定义及其性能函数3.1.1横向自适应滤波器横向自适应滤波器是一类基本的自适应滤波器形式。所谓自适应实现是指：M阶滤波器的抽头权系数w0,.,wMj，可以依据预计偏差e(n)的大小自动调理，使得某个代价函数最小。令W(n)表示图2.1中的滤波系数矢量，W(n)=w0(n),W|(n),.,wMJi(n)，滤波器抽头输入信号矢量U(n)=u(n),u(n_1),.,u(nM1)-，明显，输出信号y(n)为MJy(n)wiu(n-i)二W(n)U(n)(3-1)i=0式中一表示转置。利用图2.5中的输出信号和输入信号之间的关系，偏差序列

2、e(n)=d(n)-W(n)U(n)(3-2)明显，自适应滤波器的控制机理是用偏差序列e(n)依据某种准则和算法对其系数W(n)进行控制的，最后使自适应滤波的目标(代价)函数最小化，达到最佳滤波见效。依据均方偏差(MSE)准则所定义的目标函数是：defJ(n)=(n)=E|e(n)|2=E|d(n)-WU(n)|2(3-3)将式(3-1)代入式(3-3)，目标函数可以从头写为二Ed2(n)2Ed(n)W(n)U(n)EW(n)U(n)U(n)W(n)(3-4)当滤波器的系数固准时，目标函数可以写为=Ed2(n)-2WPWRW(3-5)此中，R二EU(n)U-(n)是输入信号的自有关矩阵，P二E

3、d(n)U(n)是希望信号和输入信号的互有关矢量3.1.2自适应滤波器的性能函数习惯上称均方偏差E|e(n)|2为自适应滤波器的性能函数，并记为J或者MSE，即农=J=MSE=E|e(n)|2(3-6)由式(3-5)知，当输入信号u(n)与希望信号d(n)为安稳随机过程时，性能函数?为权矢量W的二次函数。二次均方偏差函数的曲面形式为一碗状抛物面，当权矢量的维数大于2时，性能函数为一抛物面形式，且其抛物面上有独一的全局最长处。当自有关矩阵为正定的，超抛物面向上凹起(即碗口向上)，表示均方偏差函数有独一的最小值，该最小值所对应的权系数矢量为自适应滤波器的最正确权系数Wopt，即等于维纳滤波器的权矢

4、量。3.1.3二次型性能表面的找寻在性能表面上找寻的目的是找出性能函数的最小值，并由此获取最小值所对应的最正确权矢量。这样，二次型性能表面找寻最小值的问题，在数学上就转变成求取曲线和曲面的系统问题。常用的性能表面找寻的方法为梯度降落的迭代算法，比方牛顿法和最速降落法9。1.最速降落法最速降落法是一种古老而又特别合用的经过迭代找寻极值的方法。从几何意义上讲，迭代调整权矢量的结果是使系统的均方偏差延梯度的反方向降落，并最终达到最小均方偏差min。在最小均方偏差实现时，权矢量变成最正确权矢量W。它的长处pt是简单，但需要大批的迭代，才能使算法收敛于充分凑近最优解的点。2.牛顿法牛顿法是一种经过迭代找

5、寻函数f(X)的过零点的数学方法，即求f(x)=0的解。假定f(x)为变量x的一元函数，牛顿法的求解过程为：由初始估值X。开始,利用f(X)的一阶导数在Xo点的值f(Xo)来计算新值X!，即f(Xo)Xi=Xo厂f(Xo)(3-7)此后，再利用Xi的导数f(Xo)和f(X)来计算下一步的估值X2，其一般的迭代公式为Xk1=Xk；-，k=o,1，|I(3-8)f(Xk)f(Xk)-f(Xk4)而f(Xk)二XkXe这样牛顿法可以表示为Xk-Xk(3-9)xk?二xkf(Xk),f(Xk)-f(Xk)要注意的是牛顿法的收敛对一大类函数是相当快的，但它的弊端是计算量大。3.2最小均方算法3.2.1最

6、小均方算法最小均方(LMS)算法是一种梯度最速降落算法，它以希望响应波器输出信号y(n)=u(n)-w*=w：u(n)之间偏差的均方值E|e(n)|信号在迭代过程中预计梯度矢量，并更新权系数达到最优的自适应迭代令d(n)和滤2最小为准则，依据输入算法。e(n)=d(n)w：x(n)(3-10)LMS算法进行梯度估值的方法是以偏差信号每一次迭代的刹时平方值取代均方值，并以此来预计梯度，即冷)珂&,起,|，止(3-11)W(n)M(n)oWM若写成矢量形式，有2厂(n)二旦型(3-12)cw(n)将式(3-10)代入式(3-11)获取e(n)(n)=2e(n)(3-13)2e(n)x(n)ow(n

7、)用梯度估值(n)来取代最速降落法中的梯度真值、(n)，有Aw(n1)=w(n)订T、(n)=w(n)2e(n)x(n)(3-14)式中，为自适应滤波器的收敛因子。上式即为有名的LMS算法滤波器权矢量迭代公式。可以看出，自适应迭代下一时辰的权系数矢量可以由目前时辰的权系数矢量加上以偏差函数为比率因子的输入矢量获取。图3.1给出了实现LMS算法的流程图。x(n)e(n)-w(n+1)w(n)爭一图3.1LMS算法的流程图9322LMS算法性能分析LMS算法的收敛性式(3-14)中的收敛因子丄应知足以下收敛条件10(3-15)max式中，max为自有关矩阵R的最大特点值。因为max乞tMR)，所以

8、，上式可以改写为(3-16)或许10丄(3-17)(M+1)Rn式中，Pn为输入信号的功率。平常式(3-17)比式(3-16)常用。因为输入信号的功率比其自有关矩阵的特点值更简单预计。2.自适应学习曲线若将代价函数式(3-5)中权向量作代换，即V=W-Wopt并称它为权偏差向量。于是(3-18)(V)=Ed2(n)V%HRV%-2PV%二Ed2nMPW4ptVHRVWoptWoHtRVPV二minVHRV自适应权值的调整过程对系统的输出有影响，假设?就表示权固定在(3-19)输出均方偏差，则由上式知：Wk时的二min他卞戌)2(3-20)平常把权值迭代索引器的均方偏差由初值0到最小值min的弛

9、豫过程称为自适应系统的学习”过程，而把由此产生的均方偏差瞬市价变化曲线称为学习曲线”它表示了迭代过程中均方偏差减小并趋于最小值的变化状况。LMS自适应滤波器自问世以来，遇到人们广泛的重视，获取了广泛的应用。这类滤波器的主要长处是收敛性能坚固，且算法比较简单。可是，作为梯度算法的一种，LMS算法有其固有的弊端，第一，这类算法一般来说不可以从随意初始点经过最短的路径抵达极值点；其次，当输入信号自有关阵R的特点值在数值上分别性较大时，这类方法的性能趋于恶化。3.3对于LMS算法性能的仿真考证我们联合自适应滤波器的应用来对LMS算法的性能进行仿真考证。仿真(一)：我们使用一阶自回归过程来研究及时数据集

10、均匀对LMS算法瞬态特点的影响。考虑一阶AR过程，其差分方程为u(n)=-au(n1)v(n)(3-21)这里a是这个过程的参数，v(n)是零均值方差为鳥的白噪声。为了预计参数a，我们使用图3.2的一阶自适应展望器，展望器抽头权值的LMS自适应算法形式表示以下w(n1)=w(n)亠5(n-1)f(n)(3-22)此中A(3-23)f(n)二u(n)-w(n)u(n-1)是展望偏差图3.2一阶自适应展望器实验条件为：1)AR参数：a=-0.99；22)AR过程u(n)的方差：、：v=0.93627。图3.3为均方展望偏差f2(n)与迭代次数n的关系图，此中=0.05。由图3.1可见，LMS算法单

11、调实现的学习曲线表现严重噪声的形式。这幅图也包含100次独立实验后集均匀获取的Ef2(n)的相应图形。LMS算法学习曲线集均匀的圆滑效应表现的清清楚楚。987654321n-n-oon-n-oon_憫?isK较迭代谀敛图3.3LMS算法的学习曲线图3.4是在变步长参数所用的为0.01、0.05、0.1的状况下，LMS算法的学习曲线的图形。并且，集均匀在100次独立试验后达成。1.41.28o.O6.40.20100200300400500迭代找数图3.4不同样步长对LMS算法收敛特点的影响从图3.4可看到以下结果:当步长参数，减小时，LMS算法的收敛率响应减小。步长参数减小也影响学习曲线的变化

12、。仿真(二)：自适应均衡。用于研究LMS算法性能的自适应均衡系统仿真模型如图2.9所示。仿真时,信道采纳升余弦脉冲响应来模拟：0.5n玄1cos(n-2)n=1,2,3h(n)二-W其余(3-24)0该脉冲响应对于n=2对称。参数W是一个可调参数，调整W可以改变信道性。表3.1给出了自适应均衡器为11抽头，不同样W对应的特点值分别。信道失真增大，特点值扩散度变大。表3.1W值与特点值分其余对应关系W2.93.13.33.5人min0.33260.18520.12560.0502/?max2.01202.05422.72642.5946(R)=，-max/上min6.025411.325621.

13、021446.21781信道失真参数W(特点值扩散度)对系统的收敛性和稳态性的影响。步长参数固定为=0.075。选择这个值的依据是：必然小于1，此中.：-maxmax表示有关矩阵R的最大特点值。对于每一个特点值扩散度，经过200次独立实验，经过刹时均方偏差e2(n)与n的关系曲线均匀，可获取自适应滤波器集平均学习曲线。这个计算结果如图3.5所示。特点值扩散度的影响ESM均=46.2178平=21.0214=11.32566025450100150200250300350400450500迭代次数图3.5不同样特点值扩散度对应的LMS算法的学习曲线由图3.5可见，特点值扩散度变化范围的扩大降低了

14、均衡器的收敛速率，同时也提升了均匀平方偏差的稳态值。比方，当（R）=6.0254时，自适应滤波器以平方方式收敛大概要80次迭代，收敛后的稳态均方偏差也是最小的；另一方面，当（R）=46.2178时（即均衡器输入处在不适合的条件下），均衡器在均方意义上收敛大概要200次，并且收敛后仍旧出现大幅度震荡，迭代500次迭代后的稳态均方偏差也也比较大。2迭代步长对系统的收敛性和稳态性的影响将特点值扩散度（R）固定为11.3256步长参数分别取为0.0075。.0.075、0.025、图3.6示出计算的结果。与前面同样，每一条学习曲线都是瞬态均方偏差e2（n）与n的关系曲线经过200次独立试验后获取的集均

15、匀结果。11010110-210尿初I炉忖神巒艸4血訴你烯L-31050010001500迭代次数图3.6不同样步长参数对应的LMS算法学习曲线这个结果证了然自适应均衡器的收敛速率在很大程度取决于步长参数J。当步长参数较大时（如J=0.075），均衡器收敛到稳态需要120次迭代。当，较小时（如J=0.0075），收敛速率降低超出一个数目级。该结果也表示均匀均方偏差的稳态值跟着的变大而增大。以上两个仿真切验充分证了然LMS算法的失调与自适应收敛过程之间存在着矛盾的结论。3.4LMS算法的改良鉴于传统LMS算法的矛盾，人们对固定步长的LMS算法进行了各种各种的改良10111213。此中最简单的一种

16、改良就是归一化LMS（NLMS）算法341归一化LMS算法变步长LMS算法中一个典型的算法就是归一化最小均方偏差(NLMS)算法，它是针对标准LMS算法的自己矛盾提出的改良，能有效地减小传统LMS算法在收敛过程中对梯度噪声的放大作用，收敛速度也比LMS算法快。变步长7n)的更新公式可以写成:W(n1)=W(n)(n)e(n)X(n)=W(n)：W(n)(3-25)式中，.-:W(n)(n)e(n)X(n)表示滤波权矢量迭代更新的调整量。为了达到迅速收敛的目的，必然选择适合的变步长J(n)的值，一个可能的策略是尽可能多的减小刹时平方偏差，即用刹时平方偏差作为均方偏差MSE的简单预计，这也是LMS

17、算法的基本思想。刹时平方偏差可以写成2I2e(n)二d(n)_X(n)W(n)=d2(n)W(n)X(n)X(n)W(n)-2d(n)W(n)X(n)(3-26)_2假如滤波权矢量的变化量W(n)=W(n)rw(n)，则对应的平方偏差e(n)可以由式(4-22)获取e(n)=e2(n)2W(n)X(n)X(n)W(n)_T-W(n)X(n)X(n)W(n)-2d(n)W(n)X(n)_T(3-27)_2在此状况下，刹时平方偏差的变化量?；e2(n)二e(n)-e2(n)_T_TT-2W(n)X(n)e(n)W(n)X(n)X(n)W(n)(3-28)把：W(n)二叫n)e(n)X(n)的关系代

18、入式(4-24)，获取2(n)-2(n)e2(n)X(n)X(n)-j2(n)e2(n)X(n)X(n)2(3-29):e为了增添收敛速度，适合的采纳叫n)使平方偏差最小化，故将式(4-25)对变系数J(n)求偏导数，并令其等于零，得1(3-30)?L(n)二X(n)X(n)这个步长值J2(n)出现负值，这对应于2(n)的最小点，相当于2(n)(n)致使：e:e平方偏差e等于零。为了控制失调量，考虑到鉴于刹时平方偏差的导数不等于均方偏差MSE求导数值，所以对LMS算法的更新迭代公式作以下修正：W(n1)=W(n)-e(n)X(n)(3-31)X(n)X(n)式中是一个很小的正常数，为防备X(n

19、)X(n)过小而惹起步长过大，从而致使算法发散。-为一固定的收敛因子，0：u0.18-仗7,p=0.2-0.160.1410.120.10.080.06C=1,件0.21J1-10?.3,佯0.20.04110.02rr:i-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8e(n)图3.8步长与偏差的关系MSVSLMS算法的步长-偏差曲线在零点周边比较圆滑，在偏差同样的状况下，MSVSLMS算法产生的步长颠簸小于SVSLMS算法，所以稳态均方偏差也较小比较式(3-33)和式(3-34)可知，MSVSLMS算法的步长函数比较简单，算法复杂度也较低。下边用系统鉴识模型进行该算法的仿真。系统鉴

20、识表示图如第一章图。所示。计算机仿真条件是：(1)自适应滤波器阶数L=2；(2)未知系统的FIR系数为W=0.8,0.5T,在第500个采样点时辰未知系统发生时变，系数矢量变成W*=0.4,0.2T;参照输入信号x(n)是零均值，方差为1的高斯白噪声；v(n)为与x(n)不有关的高斯白噪声，其均值为0,方差鳥=0.04仿真结果如图3.9所示图3.9MVSLMS算法收敛曲线由以上仿真图，可以得出：鉴于S函数的LMS算法比一般LMS算法，收敛快，且收敛后的稳态偏差较小。3.4.4解有关LMS算法在LMS算法中，当自适应滤波器的输入信号矢量x(n)之间不知足统计独立的条件时，LMS算法的性能将降落，

21、特别是收敛速度变慢。大批研究表示1718,解有关(消除各时辰输入向量之间的有关性，使它们尽可能的保持统计独立)可以明显加速LMS算法的收敛速度。解有关可以在时域和频域两种状态下进行。Doherty与Porayath提出时域解有关算法17。变换域解有关算法是对输入信号数据矢量x(n)使用酋变换。对于某些种类的输入信号，使用酋变换可以提升收敛速度，而计算复杂度与LMS算法相当。常用的酋变换可以使用失散傅氏变换或迅速傅氏变换FFT，失散余弦变换DCT，沃尔什-哈达姆变换WHT等。一时域解有关算法在LMS算法中，我们可以定义近似于投影系数的有关系数：(3-35)x(n1)x(n1)这里强。明显a(n)是x(n)a(n)代表了和x(n-1)在采样时辰n的有关系数。a(n)x(n)与x(n-1)有关部分。若从中减去该部分越大，它们之间的关系性越,则这一减法运算相当解有关”用解有关的结果作为更新方向向量z(n):z(n)=x(n)-a(n)x(n-