初中数学华东师大九年级上册第22章 一元二次方程22章一元二次方程导学案

1、宜宾市八中C区九年级数学第22章一元二次方程第1课时导学案一元二次方程的概念教学目标： 1、知道一元二次方程的定义，熟练地把一元二次方程整理成一般形式。2、能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。重点难点：一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。教学过程： 一、温故知新：问题1：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到万册.求这两年的年平均增长率.思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两

2、个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？二、新知自学：上述两个整式方程中都只含有_未知数，并且未知数的最高次数是_，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式：_ (a、b、c是已知数，且a0)。 其中叫做_，叫做_；叫做_，叫做_，叫做_。三、探究合作：例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1） （2） （3） （4） 例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1） （2）（x-2）(x+3)=8 （3） 说明：一元二次方程的一般形式（0）具有两个特征：一：方程的右边为0； 二：二次

3、项系数不能为0。例3、方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？例4 、已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。练习一、 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. 2x(x-1)=3(x-5)-4 练习二 、关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？四、巩固训练：一、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“”，不是的，在括号内划“”）1、5x2+1=0（ ） 2、3x2+1=0 （ ） 3、（ ） 4、4 x2+y2=0（ ） 5

4、、 =2x （ ） 6、 =2 （ ） 二、填空题1、将方程(x+1)2=2x化成一般形式为_.2、方程5(x2x+1)=3x+2的一般形式是_，其二次项是_， 一次项是_，常数项是_.3、关于x的方程(m4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m_时，是一元二次方程，当m三、选择题1、方程x2=()x化为一般形式，它的各项系数之和是（ ） A.B.C. D.2、若关于x的方程（ax+b）(dcx)=m(ac0)的二次项系数是ac，则常数项为（ ） B.bdmD.(bdm)3、若关于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，则a的值是（ ） B.2 4、若x=1是方程ax2+bx+c=0的

5、解，则（ ） +b+c=1b+c=0 C.a+b+c=0bc=05、关于x2=2的说法，正确的是（ ） A.由于x20，故x2不可能等于2，因此这不是一个方程=2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程=2是一个一元二次方程=2是一个一元二次方程，但不能解宜宾市八中C区九年级数学第22章一元二次方程第2课时导学案一元二次方程的解法（1）直接开平方法、因式分解法教学目标：1、会用直接开平方法解形如（a0,ab0）的方程；2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。3、合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程。教学重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。教学难点：

6、理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。一、温故知新：1、怎样解方程x2=4的？2、因式分解： 二、新知自学：例1、解下列方程： （1）（x1）240； （2）12（2x）290.例二、解下列方程：（1） （2）(x1)2180三、探究合作：解下列方程 （1） （2） （3）四、小结：1、直接开平方法：如果方程能化成或的形式，那么可得，或。2、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。因式分解法的根据是：如果，那么或。3、用直接开平方法或者因式分解法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程来解。五、巩固

7、训练：1、方程的根是（ ）A. B. C. D. 2、用直接开平方法解方程（xh）2=k ，方程必须满足的条件是（ ）Ako Bho Chko Dko3、已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）A、n=0 B、n=0或m，n异号 C、n是m的整数倍 D、n=0或m，n同号4、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）A.(2x2)(3x4)=0 22x=0或3x4=0 B.(x+3)(x1)=1 x+3=0或x1=1C.(x2)(x3)=23 x2=2或x3=3 (x+2)=0 x+2=05、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ）A.化为x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0

8、 C.化为x6、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 、 求解。7、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ， 该方程可化为（x-1）（x ）=0。8、解下列方程：(1）(x1)2180 (2) (2x3)2250. (3) (4) x（x-3）+x-3=0 (5) x2-6x-16=0； (6) 4x2-3x=09、右图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求的值（列出方程）宜宾市八中C区九年级数学第22章一元二次方程第3课时导学案一元二次方程的解法（2）配方法

9、学习目标:1、掌握用配方法解数字系数的一般一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。教学重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；教学难点：配方的过程。教学过程：一、温故知新：填上适当的数，使下列等式成立：(1)x2+6x+ =(x+ )2； (2)x2-2x+ =(x- )2；(3)x2-5x+ =(x- )2； (4)x2+x+ =(x+ )2；(5)x_（x_）2 (6)x2+px+ =(x+ )2；由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：二、新知自学：解下列方程：x22x5； (2)x24x30.思考：能否经过适当变形，将它们转化为 2a的形式，应用直接开方法求解？

10、解：（1）原方程化为x22x151，_,_,_.（2）原方程化为x24x434_,_,_.我们把方程x24x30变形为(x2)21，它的左边是一个含有未知数的_式，右边是一个_。这样，就能应用直接开平方的方法求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。三、探究合作：1、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)22、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x- )2=的形式，则q的值为（ ）A. B. C. D. -3、用配方法解下列方程：（1）3x10. （2）四、归纳总结：1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方

11、法，叫做配方法。2、配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。3、方程的二次项系数不是1时，方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：、移项，把常数项移到方程右边；、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；、利用直接开平方法解之。五、巩固训练：1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（） .7 2、用配方法解方程x2-x+1=0，正确的解法是（ ）.A.(x- )2= ,x= B.(x- )2=-,方程无解C.(x- )2= ,x= D.(x-

12、)2=1, x1=;x2=-3、下列配方有错误的是（ ）A、B、C、D、4、用配方法解下列方程：(1)x2+5x1=0 (2)2x24x1=0 (3) x26x+3=0宜宾市八中C区九年级数学第22章一元二次方程第4课时导学案一元二次方程解法（3）公式法教学目标： 1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系。教学重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；教学难点：推导求根公式的过程。教学过程：一、温故知新：1、用配方法解下列方程4x212x40 2、方程中， ， ， 。二、新知自

13、学： 用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0).解：因为a0，方程两边都除以a，得_0.移项，得 x2x_，配方，得 x2x_,即 (_) 2_因为 a0，所以4 a20，当b24 ac0时，直接开平方，得 _.所以 x_即 x_由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 bxc0的求根公式：xx( b24 ac0)利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。归纳：一元二次方程：当_时，方程有实数根_；当_时，方程有实数根_；当_时，方程没有实数根。叫一元二次方程根的判别式。三、探究合作例1：解下列方程:(1) 2 x2x60；

14、(2) 4x24x1018x.例2：当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3)方程没有实数根四、巩固训练：1、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根 B. 有一个实数根C.没有实数根 D.有两个相等的实数根2、方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）-4ac0 B. b2-4ac0 C. b2-4ac0 D. b23、用公式法解方程：(1) (2) 4、 不解方程，判断下列方程实数根的情况：(1) (2) (3) x2+5=2x.5、关于x的一元二次方

15、程x2+4x-m=0的一个根是-2，则m= ，方程的另一个根是 。6、若mn，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根7、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.宜宾市八中C区九年级数学第22章一元二次方程第5课时导学案一元二次方程解法（4）练习课教学目标： 使学生熟练地选择合适的方法解一元二次方程。教学过程：一、自主学习：解下列方程：1. 2. 3、x（x2）+x2=04. 5、5x22x- =x22x+ 6. 二、归纳总结：1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程主要有四种解法

16、，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义或配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程3、一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、 分解因式法、 配方法或公式法三、巩固训练1、方程的根是（ ）A. B. C.， D. 2、一元二次方程的根是_.3、当_时，代数式的值等于3.4、两个数的和为7，积为12，这两个数是_.5、解下列方程：(1) (2) (3) (4) 6、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一

17、次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？7、已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值。宜宾市八中C区九年级数学第22章一元二次方程第6课时导学案实际问题与一元二次方程(1)学习目标：会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。学习过程:一、温故知新：1、解下列方程：(1) (2) 2、列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“设”，即设_，设求知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中_关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的_；(4)“检验”，即验证是否符合

18、题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。二、新知自学：问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_人，第一轮后共有_人患了流感：2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_人，第二轮后共有_人患了流感。则：列方程 ，解得 即平均一个人传染了 个人。再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？三、探究合作：某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？四、归纳总结：1、2、平均增长率公式： 其中a是增长

19、（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的次数。五、巩固练习：1某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_kg，第三年的产量为_，三年总产量为2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A. 720 B. C. D. 3我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2023年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是_4、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百

20、分率是多少？5、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36，问平均每月降价百分之几？6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率宜宾市八中C区九年级数学第22章一元二次方程第7课时导学案实际问题与一元二次方程(2)学习目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.学习过程：一、温故知新：1、某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获得25%，这种服装的售价应

21、为_元。2、某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_。二、新知自学：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?三、探究合作：某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现

22、，如果甲种贺年卡的售价每降价元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价元，那么商场平均每天可多售出34张如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大四、归纳总结：1、有关利率问题公式：利息=本金利率存期 本息和=本金+利息2、有关商品利润的关系式：（1）利润=售价进价（2）利润率= （3） 售价=进价（1+利润率）五、巩固训练：1一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）A12人 B18人 C9人 D10人2一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_%3一个容器盛满纯药液63升

23、，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出液体x升，则列出的方程是_4上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?5某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加%，那么应多种多少棵桃树?6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，

24、月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润 （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?宜宾市八中C区九年级数学第22章一元二次方程第8课时导学案实际问题与一元二次方程(3)学习目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.学习过程：一、温故知新：1.直角三角形的面积=_, 一般三角形的面积=_2.正方形的面积=_, 长方形的面积=_ 3.梯形的面积

25、=_ 4.菱形的面积=_ 5.平行四边形的面积=_ 6圆的面积=_二、新知自学：如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.23-3-1三、探究合作：23例题：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有一位学生设计了如右图的一种方案(如图2331),求图中道路的宽是多少时图中的草坪面积为540平方米。四、小结：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程五、巩固练习：1直角三角形两条直角边的和为7，

26、面积为6，则斜边为（ ） A B5 C D72从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A8cm B64cm C8cm2 D64cm23长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为_4如图2333，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2232323-3-45.如图2334所示，在ABC中B=90，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟

27、，使SPBQ=8cm2 6、一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来(1) 小球滚动了多少时间?(2) 平均每秒小球的运动速度减少多少?(3) 小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到）宜宾市八中C区九年级数学第22章一元二次方程第9课时导学案一元二次方程复习复习目标：掌握一元二次方程的概念，会用合适的方法解一元二次方程。能用一元二次方程解决实际问题。一、师生共识：1.一元二次方程的概念：形如：方程中只含有_未知数，并且未知数的最高次数是_，这样的_的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_（ ）,其中二次项系数是_，一次项系数是_，常数项是

28、_2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：3.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当 时，方程有两个相等的实数根；（3）当 时，方程没有实数根。二、探究合作：例1一元二次方程化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。例2关于x的方程,当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程。例3、选用合适的方法解下列方程（1） （2）（3） （4）例4（1）已知关于x的方程2x2mxm20有一个根是1，求m的值；（2）若关于x的方程（2xm）（mx1）（3x1）（mx1）有一个根是0，

29、求另一个根和m的值.例5.已知关于x的方程.（1）求证方程有两个不相等的实数根.（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的根。例6、求证：方程对于任何实数，总有两个不相等的实数根；例7、某商品原价为28元，连续两次降价后售价为元，若两次降价的百分率相同，那么这两次降价的百分率是多少？例8、如图，某农场要建有一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另三边用栅栏围成，栅栏长40m鸡场的面积能达到182吗？能达到200吗？能达到250吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由三、巩固练习：一、填空题1、对于方程，= ，= ，= ，= ，此方程的解的情况是 。2已知关于

30、的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 3若实数满足，则= 。4若，则= 。5已知的值是10，则代数式的值是 。6、设 、是方程的两个根，则+= ， 7某小区的一块长26米，宽15米的草坪内要修一条如图所示宽度相同的通道，使绿地的面积是甬道面积的4倍，通道的宽度为 8某经济开发区今年一月份高科技产品产值达50亿元，第一季度总产值是175亿元.设平均每月的增长百分率为，那么二月份的产值为 亿元，三月份的产值为 _亿元，为求出的值可列出方程 二、选择题1、关于x的方程有实数根，则K的取值范围是( )A、 B、 C、 D、2若是关于的一元二次方程的根，且0，则的值为（ ）（A） （B）1 （C） （

31、D）3关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）4若方程中，满足和，则方程的根是（ ） （A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定5、配方法解方程，下列配方正确的是（ ） ABCD6在一元二次方程中，若、异号，则方程（ ）根的情况无法确定 （B）没有实数根 （C）有两个不相等的实数根 （D）有两个相等的实数根7某工厂第一季度生产机床331台，已知一月份生产100台若设平均每月增长率为，根据题意可列方程（ ）（A）（B）（C） （D）8某种服装，平均每天销售20件，每件盈利44元.若每件降价1元，则每天可多售出5件.如果每天要盈利1600元，若设每件应降价元，根据题意可列方程（ ）（A）（B）（C）（D）三、解答题1用适当的方法解方程：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5； （3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=02新发商场销售某种冰箱，每台进货价是2500元