初中数学人教九年级下册第二十八章 锐角三角函数一变应万变特殊四边形不怕难南充唐鹏

1、一变应万变，特殊四边形不怕难2023年南充市初中数学教学竞赛说题稿南充市三原实验学校 唐鹏 第一题 选择、填空压轴题图1【原题再现】（2023曲靖8）如图1，在正方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，分别以为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，再分别以为圆心，以大于长的一半为半径画弧，两弧交于点作直线，分别交于点交的延长线于点，连接，下列结论：图1，KBLBCGE：CAB1：4其中正确的是（）A B C D一、知识背景这道题源自于2023年曲靖市中考数学第8题，4分. 本题考查了角平分线及线段垂直平分线两种基本作图与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与

2、性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角函数等知识点. 正方形是平面几何中最完美的基本图形之一，它具有许多特殊的性质.同时,它本身既是轴对称图形,又是中心对称图形.正因如此,以正方形为载体的中考压轴题能集多个数学知识点、多种数学思想方法于一体.能较全面地考查学生的基础知识、基本技能、基本方法以及多种数学思维品质和数学能力，能较好地反映学生的数学学习水平和数学素养，是中考选择题、填空题和解答题的首选压轴题. 二、思想方法本题考查的数学思想主要有：数学建模思想、数形结合思想、转化归纳思想.本题用到的数学方法主要有：分析法、综合法、比较法和特殊值法.三、解题思路1. 难点、关键点此题的难

3、点是相似三角形的性质、等量转换的灵活运用.熟练掌握基本作图和正方形的性质是解决此题的关键.2.条件分析已知条件隐含条件基本作图1-作是的平分线.基本作图2-作是线段的垂直平分线.正方形90, ,45.3.思路与解析图2要解决此题，首先要从两种基本作图中，分析出所作的线是什么线.由基本作图1可知AE平分BAC，由基本作图2可知PQ是AE的垂直平分线.于是原题可以转化图2如图2，在正方形中，连接，BAC的平分线交于点，再作的垂直平分线，分别交于点交的延长线于点，连接，下列结论：，KBLB，CGE：CAB1：4A B C D选项的思路: 根据三角形内角和定理，在和中，如果两个角对应相等，则第三个角对

4、应相等（或等角的余角相等），即；解：四边形ABCD是正方形,BAC45, ABK 90，由作图可知：AE平分BAC ，BAECAEPQ是AE的中垂线， AEPQ， AOLLBK90，又 ALOKLB， LKBBAE；故选项正确；选项的思路：根据线段垂直平分线性质可得GAGE, 则，可得；解：是的中垂线，故选项正确；选项的思路：由对顶角相等可得，又，根据等角的余角相等可得，从而得到它们的正切值相等即可判断选项正确.而“等（同）角的余（补）角相等”这几条性质在全等三角形、相似三角形、四边形、圆的计算和证明中十分常见，经常会成为解题的关键点.因此我在教学中时常采用“点叉”标记法，不仅能让孩子们轻松找

5、出等角，还能使他们解题的思路非常清晰.这种方法也被我历届的学生戏称为“唐氏符号”.解：，90，在中，BKBL，故选项同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法.一题多解，有利于沟通各知识点的联系，培养学生思维的发散性和创造性.下面我将从不同角度来探究和分析如何解答选项.选项的基本解题思路为：由可得，因此要求它们的面积比，只需要求出它们对应边的比便可作判断.方法1：如图3，连接EL，容易证明四边形ALEG是菱形，那么，则EGBA12，因此S方法2：如图4，过作于. 容易证明四边形BEGS是矩形，那么，则EGBA12，因此S方法3：如图5，过作于那么CE. 由角平分线的性质可得CE，则CE

6、CB12，因此S本题正确的是：，故选A本题还有特殊值法、方程求解法等解题方法，因为时间原因，不再一一赘述.四、变式拓展1.多题一解.（1）变正方形为等腰直角三角形例1.如图6，在等腰中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点分别以为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，再分别以为圆心，以大于长的一半为半径画弧，两弧交于点作直线分别交于点交的延长线于点，连接，下列结论：，KBLB，CGE：CAB1：4ABCD（2）变基本作图为折叠例2.如图7，把正方形沿第一次对折；打开后把正方形进行第二次折叠，使与重合，折痕为；打开后再把正方形进行第三次折叠，使点与点重合，折痕为，若打开后

7、的直线分别交于点交的延长线于点，连接，下列结论：，KBLB，CGE：CAB1：4A B C D2.一题多变（1）变结论23,2,BKL：梯形BCFL1：3等等. （2）变条件例3.如图8，矩形中，2，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点分别以为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，再分别以为圆心，以大于长的一半为半径画弧，两弧交于点作直线，分别交于点，分别交的延长线于点连接，下列结论：30，KBLB，CGE：CAB1：2ABCD五、教学设计教学环节学生活动教师活动自主学习（5分钟）独立完成下列问题：由作图可知：AE是BAC的_线，PQ是AC的_线.(2)判断选项的正误并说

8、理.(3)判断选项的正误并说理.巡回指导，个别启发：(1)要判断AE是什么线，可以连接HM,HN. 要判断PQ是什么线，可以判断(2) 选项中找出现成的角，再找与它的关系；选项中抓住PQ,得到等腰、等角再转换角度.小组讨论（5分钟）(1)交流选项的判断.(2)比一比：谁先找出选项的解题思路，然后互助互学.(3)议一议：要判断选项，需要运用哪些知识点？(4)做一做：判断选项并说理.深入讨论，分组启发：KBLB是哪个锐角的正切值？然后探究相关角度的关系抓住学生思路的闪光点，因势利导、层层深入，启发学生运用分析法、综合法解题.合作探究（5分钟）(1)分组互助，合作探究选项，交流自己的思路和困惑.(2

9、)分别按已有思路判断选项并说理.(3)完成变式拓展的判断说理.(4)小组内交流、互助互学，安排板书和说题同学.引导探究，适时启发：两个三角形相似，判断面积比是否为1：4，就是要判断对应边的比是否为1：2.引发不同思路和解法，及时评价和鼓励，尤其要让基础较差的学生大胆参与.展示点评（7分钟）解法不同的小组分别派两人上台展示，一人板书，一人说题，说思路. 跟进学生的思路，发现各自的闪光点，及时评价、鼓励和完善.总结归纳（3分钟）学生畅谈：(1)学到哪些知识和方法？(2)收获了哪些解题经验？(3)与人合作交流中有啥感悟？ 聆听学生畅谈所学、所感、所悟，不断鼓励和完善，总结归纳本题相关的数学思想方法.

10、第二题 解答压轴题【原题再现】（18南充24）.如图9，矩形中，2，将矩形绕点A旋转得到矩形，使点B的对应点B落在上，交于点E，在上取点F，使.(1)求证：.(2)求的度数.图9(3)已知2，求的长图9一、知识背景这道题源自于2023年南充市中考数学第24题,10分.本题所涉及到的知识点有矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、解直角三角形、全等与相似的综合应用.特殊的平行四边形、等腰三角形在中考中是热门考点，选择题、填空题、解答题中都会出现它们的踪影，常与全等三角形、相似三角形、直角三角形、三角函数、圆等知识点结合命题. 不仅考查学生的基础

11、知识、基本技能、基本活动经验，更能考查学生的动手操作能力、思维分析能力、推理论证能力，提升学生的观察能力、探究能力和运用数学知识解决问题的能力，是体现新课改理念的一类好题.二、思想方法本题考查的数学思想方法主要有：数学建模思想、数形结合思想、转化归纳思想、函数思想、方程思想.解决本题要用到的数学方法有：分析法、综合法、构造法和待定系数法.三、解题思路1. 难点、关键点此题的难点是矩形与旋转性质、特殊三角形的判定与性质的综合运用. 由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，整体难度较大，难度系数达到.构造特殊直角三角形、等腰三角形、等边三角形是解决此题的关键.2.条件分析已知

12、条件隐含条件矩形 90中， 60, 30.旋转 60,30.3.思路与解析第(1)小题要证明三角形的两边相等，可以转换为证明它们所对的角相等.而是由旋转得到的，用三角函数容易求出它为30，因此只需利用矩形和旋转的性质求出也为30就能得证.第(2)小题是为第(3)小题作铺垫而设计的过渡小题，只需要由特殊的旋转先判定为等边三角形，得出 为60，进而得到等腰的顶角为150，从而求出底角为15.第(3)小题难度较大，其基本解题思路为：如何构造以为边长的特殊三角形，或把分割成两段，使其每一段都在一个特殊的直角三角形中.方法1：如图10，连接，容易发现中 为45，为30,从而想到过作垂线段，构造特殊直角三

13、角形，利用解直角三角形的方法解决问题.在中，可得 ,在中，可得 .故而.方法2：如图11，由(2)可知， 为它的一边，如果过作于,交于. 则构造出一个以为斜边的等腰直角三角形，这就需要求出它的直角边的长.而被分成两段，每一段又分别在一个含30的直角三角形中，可分别求出进而解决问题.在中，可求得,在中，可求得1. 因此，.由是等腰直角三角形, 得+.方法3：如图12，以为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.由于点可以看作与的交点，因此只需要分别求出两直线的解析式便可解题.解题时先确定点点点的坐标，再证明三点共线. 得到的坐标(2,4可求得直线的解析式为yx2,直线的解析式为yx.

14、联立成方程组可求出点的横、纵坐标都为+1,最终利用距离公式求得+.四、变式拓展（一）多题一解例1.如图13，在中， 30，45. 若2，求的长.例2.如图14，在等腰直角中，90，将绕顶点逆时针方向旋转60后得到，连接.若2，求. 例3.如图15，把正方形绕点A逆时针方向旋转60得到正方形，连接若2，求.（二）一题多变变式1（改变旋转角度）.如图16，矩形中，2，将矩形绕点A旋转得到矩形，使对角线经过点，分别交于点.(1)求证：(2)已知2，求的长.变式2（变矩形为正方形）.如图17，把正方形绕点A旋转得到正方形，使点B的对应点B落在上，交于E，交于F(1)求证：.(2)若2，求及. 设计意图

15、：通过“一题多解、多题一解、一题多变”等变式拓展，达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，体会到数学学习的成功和乐趣.五、教学设计教学环节学生活动教师活动自主学习（5分钟）独立完成下列问题：(1)矩形有哪些特性？(2)已知条件中，隐含哪些条件？(3)旋转前后有哪些等量？(4)独立完成题中(1) (2)问的解答.巡回指导，个别启发：(1) 矩形中四个角都是直角(2) 中，则 30.(3)旋转前后对应角相等，对应线段相等.小组讨论（5分钟）(1)交流题中(1) (2)的答案并说理.(2)比一比：谁先找出（3）的解题思路，然后互助互学.(3)讨论：有哪些方法求的长？深入讨论，分组启发：要求的长，可以构造特殊直角三角形，也可以分割它使其每一段都在一个特殊的直角三角形中.抓住学生思路的闪光点，因势利导、层层深入，启发学生运用分析法、综合法解题.合作探究（15分钟）(1)在小组讨论基础上谈谈自己的发现和思路.(2)分别按已有思路完成问题(3)的证明.(3)完成变式拓展的证明.(4)小组内交流、互助互学，安排板书和说题同学.引导探究，适时启发：启发1. 中，含45和30角.启发2.如何构造含特殊角的直角三角形？启发3.能否借助全等或相似解题？引发不同思路和解法，及时评价和鼓励，尤其要让基础较差的学生大胆参与.展示点评（10分钟）解法不同的小组分别派两人