线性代数课件：第三章习题课

1、第三章 向量与线性空间 3.5 向量组的线性相关性 3.6 向量空间 3.7 线性方程组解的结构 3.8 n 维欧氏空间 3.9 线性空间与线性变换一、向量的线性运算 二、向量组线性相关性的判定 三、向量组线性表示的判定 第三章习题课 四、求向量组的极大线性无关组和秩 五、向量空间的判定 六、基础解系和方程组求解不同维的向量不能进行线性运算.一、 向量的线性运算 例1 设且有 求 . 方法1利用定义判定 二、 向量组线性相关性的判定 整理得齐次线性方程组 即 方法2 利用线性相关性的有关结论判定(1) 一个零向量线性相关, 而一个非零向量线性无关.(2) 两个向量线性相关对应坐标成比例.(3)

2、 向量个数大于向量维数的向量组必线性相关.(4) 若整体组线性无关, 则部分组必线性无关; 若部分组线性相关, 则整体组必线性相关.(5) 若低维组线性无关, 则对应高维组也线性无关; 若高维组线性相关 则对应低维组也线性相关.方法3 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定方法4 对含有待定参数的向量组线性相关性的判定, 往往根据定义进行.方法5 向量坐标已知, 且向量个数等于向量维数时, 可用行列式来判定.例2 研究下列向量组的线性相关性: 线性相关. 例3 设 线性相关, 证明存在不全为零的数 t1, t2, , tr , 对任何向量 都有 量组任意 r 个 线性无关的向量均构成它的一个极大

3、线性无关组.例4 已知向量组 的秩为 r, 证明该向 例5 设 n 维向量组 线性无关, 令 证明 线性无关的充要条件是 例6 已知向量组 线性相关, 求 t 的值. 例7 已知 的秩为2, 求 t 的值. 例8 设 t1, t2, , tr 是互异 r 个非零实数, r n, 证明 线性无关. 例9 设 A 为 nm 矩阵, B 为 mn 矩阵, 其中 n m, E 为 n 阶单位方阵. 若 AB E, 证明 B 的列向量组线性无关.方法1 方程组法 (适用于向量分量为已知的向量组)第二步 分析方程组解的情况三、 向量组线性表示的判定 判断向量 能被向量组 线性表示第一步 构造线性方程组(1

4、) 方程组无解, 则 不能被 线性表示.(2) 方程组有唯一解, 则 能被向量组唯一线性表示.表达式不唯一. (3) 方程组有无穷多解, 则 能被向量组线性表示, 且方法2 定义法( 适用于抽象向量组 )方法3 利用唯一性定理判断向量 能被抽象向量组 线性表示可先构造若 k 0 时上式成立, 则 能被向量组线性表示;若只有 k 0上式才成立, 则 不能被向量组线性表示.若 线性无关, 而 线性相关, 则 可由 唯一表示. 例10 设 线性相关, 线性无关, 试讨论:(1) 能否由 线性表示? (2) 能否由 线性表示? 求一个向量组的秩, 可以把它转化为矩阵的秩来求,这个矩阵是由这组向量为行(

5、列)向量所排成的.将列(行)向量组的向量作为矩阵的列(行), 再对矩阵作初等行(列)变换, 这样, 不仅可以求出向量组的秩, 而且可以求出极大线性无关组和线性组合关系.若矩阵 A 经过初等行(列)变换化为矩阵 B, 则 A和 B 中任何对应的列(行)向量组都有相同的线性相关性.四、求向量组的极大线性无关组和秩 例12 求下面向量组的秩: 例13 设有向量组 已知证明判断向量的集合是否构成向量空间, 需要看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭. 五、向量空间的判定 证明齐次方程组的基础解系的三种方法: 1. 证明所给向量组线性无关, 该组向量是方程组的解, 且任一解向量可由它们线性表示.2. 证明

6、线性无关的向量组与基础解系等价.3. 证明n r个解向量线性无关, 其中r为系数矩阵的秩.六、基础解系和方程组求解(1) 本例是对非齐次线性方程组 Ax b 的解的结构作进一步的分析和讨论, 即非齐次线性方程组一定存在着 n r 1 线性无关的解.(3) 对非齐次线性方程组 Ax b, 有时也把题中所给的n r 1个解称为 Ax b 的基础解系, 不同的是它的线性组合只有当组合系数之和为1时, 才是方程组的解.(2) 对齐次线性方程组 Ax 0, 当 rank A n 时, 有无穷多组解, 其中任一解可由其基础解系线性表示.例16 设有线性方程组 (1) 验证: 若 a1, a2, a3, a4 两两不等时方程组无解. (2) 设 a1 a3 k, a2 a4 k ( k 0 ), 且已知该方程组的两个解为写出此方程组的通解. 已知齐次方程组的解向量, 反求齐次方程组 方程组 Bx 0 的解向量就是AT的列向量或A的行向量.