材料力学第五版第3章课件

1、第三章 剪 切 和 扭 转3.1 扭转的概念3.2 外力偶矩 扭矩和扭矩图3.3 纯剪切3.4 圆轴扭转时的应力及变形3.7 圆轴扭转时的强度和刚度计算3.8 圆柱形密圈螺旋弹簧3.9 圆轴扭转时斜截面上的应力及扭转破坏分析3.10 矩形截面杆扭转简介 在杆件的两端作用一对大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转变形。 有截面法可知，杆件产生扭转变形时，横截面上内力分量只有位于面上的力偶矩，称其为扭矩。3.1 扭转的概念一、外力偶矩的计算设轴传递的功率为 ，转速为n(r/min)，传递的力矩为Me，于是有

2、 即 （3-6）注意：式（3-6）中 的单位为千瓦，n的单位为转/分。当功率为 马力（H.P，1马力=735.5W）时，外力偶矩的计算公式为 （3-7） 3.2 外力偶矩 扭矩和扭矩面二、扭矩和扭矩图从指定截面m-m处截开，取左半部分I由平衡条件得 扭矩Mn是I、II两部分在m-m截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。取右半部分II可求出截面m-m上的扭矩，但其方向与按部分I求出的扭矩相反。eMeMmmIIIeMmmIImmIxeMnMnM扭矩的正负号规定如下： 按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，扭矩Mn为正；反之为负。根据这一规则，在图中，无论就部分I还是部

3、分II而言，m-m截面上的扭矩都是正的。 根据扭矩的大小和正负，画出沿轴线方向扭矩变化的图形，称之为扭矩图。扭矩图的画法与轴力图相似。 例3 在图所示传动轴上，主动轮A与原动机相联，从动轮B、C、D与机床相联。已知轮A输入功率NA=50kW，轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15kW，ND=20kW，轴的转速n=300r/min。求各段轴内的扭矩，并画扭矩图。(a)AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIIIC解 （1）计算外力偶矩（2）计算扭矩BC段：沿I截面将轴截开，由平衡方程得BMnMIBMCMnMIIDMnMIIIBACDIIIIIIIIIIIIAMBMCMDMAMBMCMDM

4、BMnMIBMCMnMIIDMnMIIIBACDIIIIIIIIIIII结果为负说明I截面上扭矩的实际方向与所设方向相反，即该截面的扭矩为负值。在BC段内各截面上的扭矩不变，所以这一段内的扭矩图为一水平线（图e）。CA段：故有AD段：AMBMCMDMBMnMIBMCMnMIIDMnMIIIBACDIIIIIIIIIIII+-故有 （3）作扭矩图从图中可以看出，最大扭矩发生于CA段，其绝对值为 3.3 纯剪切为了研究圆轴扭转时的应力和变形，首先讨论薄壁圆筒的扭转，以了解剪应力及剪应变的规律和它们之间的关系。一、薄壁圆筒扭转时的应力图为一等截面薄壁圆筒。在两端施加外力偶矩后，可以看到以下变形现象：

5、（1）各周向线的形状、大小和间距均未改变，两相邻周向线发生相对转动；（2）各纵向线都倾斜了同一微小角度，但仍可以近似地看成直线；（3）试件表面原来的小矩形都变成了同样大小的平行四边形。tRjgmnmnabcddxnMjg1圆筒扭转各横截面上没有正应力， 只有垂直于半径的剪应力, 剪应力沿壁厚方向均匀分布。 2横截面上沿圆周方向各点的剪应力相同。 3扭转时横截面上只有垂直于半径且均匀 分布的剪应力，其方向与截面上扭矩Mn的转向一致。由静力学可知Mn为所以 （3-8）或 （3-8 ）为横截面上筒壁中线围成的面积。RRdAdqg(e)设l为薄壁圆筒的长度，R为薄壁圆筒的外半径，为薄壁圆筒两端的相对扭

6、转角。可以看出或 （3-9）即剪应变 与扭转角成正比。jgcabdgg二、纯剪切状态剪力力偶矩为 平衡条件上、下两个面上存在大小相等、方向相反的剪应力 。由平衡条件有即 (3-10) 在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这个关系称为剪应力互等定理。yxzdxttdyt 如图所示单元体的上下左右四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，单元体的这种应力状态称为纯剪切状态。yxzdxttdyt三、剪切虎克定律低碳钢的-曲线如图所示。剪切虎克定律 (3-11)比例系数G称为剪切弹性模量，它反映材料抵抗剪切变形的能力。剪

7、应变没有量纲，所以G有与相同的量纲。钢材的G值约为80GPa。gttg0 “拉压虎克定律”、 “剪切虎克定律”、 “剪应力互等定理”是材料力学的基本定律和基本定理。拉压弹性模量E、剪切弹性模量G、泊松比。可以证明，这三个弹性常数之间存在如下关系 (3-12)即三个弹性常数中只有两个是独立的。四、剪切变形能当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，扭转角 与外力偶矩成正比。外力偶矩所做的功为 剪切变形能U ， 用u表示单位体积的剪切变形能，即剪切变形比能，则u应等于剪切变形能U畜疫薄壁圆筒的体积V，即 再利用剪切虎克定律，可得 （3-13）力学家与材料力学史Charles-Augustin de Co

8、ulomb ( 1736-1806 )圆轴扭转的切应力公式是由 Coulomb 于 1784 年首先建立的。Coulomb 是法国物理学家、力学家。他在摩擦学、磁学、粘性流体等方面有重要贡献。 3.4 圆轴扭转时的应力及变形推导思路变形几何关系 ( 平截面假设 )切应变与相对转角之间的关系应力应变关系 ( Hooke 定律 )切应力与相对转角之间的关系静力学关系 ( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 )相对转角表达式及切应力表达式一、圆轴扭转时的应力1.变形几何关系取出长为dx的微段ab发生的相对错动圆轴表面原有矩形的直角改变量 为横截面上距圆心为处的剪应变为（a）jxeMeMmndxmn2.

9、 物理关系当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变成正比，即服从剪切虎克定律 （b） 将式（a）代入式（b）可以求得距轴线为处的剪应力 （c）上式表明：横截面上任意点处的剪应力 与该点到圆心的距离成正比。即剪应力沿半径按直线规律变化，在圆心处剪应力为零，而在圆周边缘上各点的剪应力最大。注意到剪应力互等定理，则实心圆轴纵截面和横截面上的剪应力沿半径的分布如下图所示。rt3.静力学关系 取一微面积dA，其上作用的微剪力：它对圆心的微力矩： 横截面上的扭矩： （d）代入：则： （e） dArtdAnMrO 式中的积分是与圆截面尺寸有关的几何量，称为横截面对圆心O点的极惯性矩，用 表示，即

10、(3-14)rtdAdAnMrO于是 可以写成 (3-15)得（3-16）这就是圆轴扭转时横截面上任意一点剪应力的计算公式。 由式（3-16）可知，当=R时（即横截面边缘上各点），剪应力取最大值，即（3-17） 引用记号 公式（3-16）可改写为 （3-18）Wn称为抗扭截面模量。二、圆轴扭转时的变形公式 圆轴的扭转变形可用两个横截面绕轴线的相对扭转角来表示。由式（3-15）可得相距为dx的两横截面之间的相对扭转角 对长为l的轴，两端面的相对扭转角为 （3-19）由同一种材料制成的等截面圆轴，其 为常量，若相距为l的两横截面之间的扭矩 也为常量，则该两截面间的扭转角为 （3-20）这是等截面圆

11、轴扭转变形的计算公式。称为截面的抗扭刚度。转角的符号规定与扭矩 的相同，其单位为弧度（rad）。 若两横截面之间的扭矩或抗扭刚度为变量时，欲求两截面的相对扭转角则应按式（3-19）积分或分段计算出各段的扭转角，再代数求和三、极惯性矩 和抗扭截面模量 的计算环形微面积： 圆截面的极惯性矩为 （3-21）drRDmaxtmaxtmaxt抗扭截面模量为 （3-22）上述两式中D为圆截面的直径。 的量纲为长度的四次方， 的量纲为长度的三次方。rOdrRDmaxtmaxtmaxt对于空心圆轴，空心圆截面的抗扭截面模量为 上述两式中，D和d分别为空心圆截面的外径和内径，且 。rOdrRDmaxtmaxtm

12、axt四、扭转时应力、变形公式的应用条件 上述应力、变形公式是以刚性平面假设为基础导出的，只适用于等直圆杆。当圆形横截面沿轴线变化缓慢时，也可近似的用以上公式，此时 、 等也在沿轴线变化。在 时，上述公式才成立。3.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算一、强度条件圆轴扭转 （3-23）等直圆轴 （3-24）阶梯轴 （3-25）二、刚度计算工程中常用单位长度内的扭转角来表示扭转变形的程度。 （rad/m） （3-26a）的单位为弧度/米（rad/m）。扭转的刚度条件（rad/m） （3-26b）由于工程上的单位用度/米（o/m）表示，故 （o/m） （3-27）例4条件同例3-4（如图所示）。传动轴剪

13、切弹性模量G=80GPa，许用剪应力 ，许用单位长度扭转角=0.3o/m。试按强度条件和刚度条件设计轴的直径d。AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIII解 （1）绝对值最大的扭矩在轴的CA段由强度条件（3-24）有则 AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIII由刚度条件（3-27）有所以 AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIII例5 材料相同的实心轴与空心轴通过牙嵌离合器联结。传递外力偶矩设空心轴的内外径之比，许用剪应力。试确定实心轴的直径d1和空心轴外直径D2，并比较两轴的横截面面积。2d1D1d对空心轴：则 内径 。实心轴与空心轴截面面积之比2d1D1d实心轴与空心轴

14、截面面积之比2d1D1d3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧一、簧丝横截面上的应力截面法求应力，得（a）剪应力与扭矩 对应的剪应力得pQnM2D(b)pdaD(a)A1tdAd2t最大剪应力发生在A点。 当 0时，可忽略剪切的影响，可看作只受扭转作用对较粗的弹簧，要考虑剪切和曲率影响。通常用曲度系数k修正，即dAAd1t2t其中曲度系数 而c=D/d。簧丝的强度条件（3-31）dAAd1t2t二、弹簧的变形外力功为扭转剪应力单位体积的变形能pD(a)lddrMr(b)弹簧的变形能有W=U，于是所以 ddrMr(b)可见，弹簧的变形与力P成正比，比例常数C称为弹簧刚度，即 ddrMr(b)3.7圆轴扭转时斜截面上应力及扭转破坏分析 一、圆轴扭转的破坏形式（a）（b）45 二、圆轴扭转时斜截面上的应力 如图示，设斜截面ae的面积为dA，在斜截面ae上作用有正应力 和剪应力 ，有平衡条件 abcdadbc1O2Oabcdnaettxtxnabtetaas(c)(b)(a)整理后得 （3-34） 由上式可见，斜截面上的正应力 和剪应力 都随截面的倾角变化。当 时 取极值，而此时为 零，即 当 和 时， 取极值，极值为 ，而此时三、破坏原因分析圆轴扭转时，横截面上剪应力最大，而-45斜截面上拉应力最大。由此可对不同材料的扭转破坏现象作出解释：