河北省五校2020-2021学年高二数学下学期期末联考试题含解析

1、外装外装订线请不要在装订线内答题内装订线PAGE PAGE 21河北省五校2020-2021学年高二数学下学期期末联考试题（含解析）一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 A=(x,y)x,yN,yx ， B=(x,y)x+y=6 ，则 AB 中的元素个数为（ ） A.2B.3C.4D.52.设向量 a=(2sin2,12cosA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设 P 是 ABC 边 BC 上的任意一点， Q 为 AP 上靠近 A 的三等分点，若 AQ=AB+A.14B.13C.12D.14.已知函数 f(x)=x+1,x01,x0 ，则不

2、等式 A.x|2x2B.x|2x1C.x|2x1D.x|25.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（ ） 2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年减少；2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加；2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等；2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%A.B.C.D.6.已知定义在 R

3、 上的偶函数 f(x) 在 (,0) 上单调递减，则（ ） A.f(log34)f(20.4)0,b0) 的上下焦点分别为 F1 ， F2 ，过点 F1 且垂直于 y 轴的直线与该双曲线的上支交于 A ， B 两点， AF2A.x3y=0B.xy=0C.3xy=0二、多选题（共4题；共20分）9.已知各项均为正数的等比数列 an ， Sn 是数列 anA.an12B.an1210.已知 (3+x)(1x)A.a0=3B.a4=1C.a1+11.（多选题）在如图所示的几何体中，底面 ABCD 是边长为2的正方形， AA1 ， BG ， CC1 ， DD1 均与底面 ABCD 垂直，且 AA1=C

4、A.直线 A1G 与平面 AEF 平行B.三棱锥 GACD 的外接球的表面积是 3C.点 C1 到平面AEF的距离为 23D.若点 P 在线段 AD112.已知定义在 1e,e 上的函数 f(x) 满足 f(x)=f(1x) ，且当 x1A.1e12B.1e23三、填空题（共4题；共20分）13.已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 11z=i ，则复数 14.已知圆 C 的圆心 C(0,m) ，其中 m0 ，圆 C 与 x 轴相切且半径为1，直线 l 过 (2,0) 点且倾斜角为45，直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，则 ABC 的面积为_. 15.已知 为常数， xR ，函数 f(x

5、)=sin(x)cosx16.设 O 为坐标原点，抛物线 C:y=x24 焦点坐标为_，过 N(0,2) 的直线与抛物线的第一象限的交点为 M ，若点 Q 满足 四、解答题（共6题；共70分）17.ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 acos（1）求 A ； （2）若 a=23 ，且向量 m=(1,sinB) 与 18.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S6=63 ， （1）求数列 a（2）从 bn=an3n ， bn=1an19.九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己出外），现在由甲发球. （1）求经过3次传球，球回到甲的手里的概

6、率； （2）求经过 n(nN) 次传球，球回到甲手里的概率 20.ABC 为等腰直角三角形， AB=BC=2 ， B=2,D,E ，分别为边 AB,AC 的中点，将三角形 ADE 沿 DE 折起，使 A 到达 P 点，且 PC=5 ， （1）求证： PO 平面 BCED . （2）求二面角 BPEC 的余弦值. 21.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0) 过点 E(1,32（1）求椭圆 C 的方程； （2）过左焦点F的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点，线段 MN 的垂直平分线交直线 l 于点 P ，交直线 x=4 于点 Q ，求 |PQ|MN|22.已知函数 f(x)=(x2

7、x)（1）求函数 f(x) 的单调区间； （2）存在 x012 ，使得 答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 A=(x,y)x,yN,yx ， B=(x,y)x+y=6 ，则 AB 中的元素个数为（ ） A.2B.3C.4D.5【答案】 B 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】 AB 中的元素必满足 x,yN ，且 x+y=6 ， AB 中的元素必在这七个元素中 (0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) ，yx ， (4,2),(5,1),(6,0) 为 AB 中的元素，故答案为：B. 【分析】根据集合的元素特征可得AB 中的元素必

8、在这七个元素中(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) ，即可得出答案。2.设向量 a=(2sin2,12cosA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】若 a/b ， 12所以 2cos(sin2即 cos=0 或 tan所以“ a/b ”不能推出“ tan=24故“ a/b ”是“ 故答案为：B. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二倍角公式，同角三角函数间的关系进行判断即可。3.设 P 是 ABC 边 BC 上的任意一点， Q 为

9、AP 上靠近 A 的三等分点，若 AQ=AB+A.14B.13C.12D.1【答案】 B 【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】由题得 AP=3AQ所以 13AP因为 B,P,C 三点共线，所以 3+3=1 ， +=故答案为：B 【分析】首先利用向量共线的充要条件求出AP=34.已知函数 f(x)=x+1,x01,x0 ，则不等式 A.x|2x2B.x|2x1C.x|2x1D.x|2【答案】 D 【考点】分段函数的应用 【解析】【解答】当 x0 时， f(x)=x+1 ，所以 x+1x21解得 1x2 ，所以解集为 x|0 x2 ，当 x0 时， f(x)=1 ，所以 1x21

10、解得 2x2又 x|2所以不等式解集为 x|2故答案为：D. 【分析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式，解出，即可得出答案。5.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（ ） 2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年减少；2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加；2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等；2020年与2018年相比，

11、中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%A.B.C.D.【答案】 A 【考点】频率分布直方图 【解析】【解答】由2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图可知： 对于，由条状图可知，2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故错误；对于，2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故正确；对于，2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2020年比2015年增长人数多，故错误；对于，2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为 1970-15101510故答案为：A 【分析】根据条状图的

12、信息逐项进行分析可得答案。6.已知定义在 R 上的偶函数 f(x) 在 (,0) 上单调递减，则（ ） A.f(log34)f(20.4)f(log123【答案】 D 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】【解答】解：因为定义在 R 上的偶函数 f(x) 在 (,0) 上单调递减， 所以 f(x) 在 (0,+) 上单调递增， f(log因为 y=2x 在 R 上为增函数，且 所以 0f(故答案为：D 【分析】由于偶函数f(x)在(,0)上单调递减，可得f(x) 在 (0,+) 上单调递增，而f(log7.面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力的技术手段，中国疫苗的上市为全球战胜疫情注入信

13、心.各地通过多种有效措施加快推进新冠病毒疫苗接种，目前接种能力显著提升.同时根据任务需要，针对市民关心的问题，某市需要在每个接种点安排专职负责健康状况询问与接种禁忌核查的医师.经协商，现安排甲、乙、丙等5位医师前往 A 、 B 、 C 、 D 四个接种点进行答疑解惑，每位医师去一个接种点，每个接种点至少安排一名医师，其中，甲必须去 C 地，乙与丙需要安排到不同的接种点，则不同的安排方法共（ ） A.120种B.54种C.336种D.80种【答案】 B 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】由题意，5位医师前往 A 、 B 、 C 、 D 四个接种点进行答疑解惑， 则其中一个接种点有

14、2人，其他的接种点各1人，若 C 地有2人，则不同的派法共有 C4若 C 地只派1人，则只能是甲，则剩余的4人分成3组，其中乙与丙需要安排到不同的接种点，共有 C4所以不同的派法有 5A所以不同的安排方法共有 24+30=54 种.故答案为：B. 【分析】由题意，5位医师前往A、B、C、D四个接种点进行答疑解惑，则其中一个接种点有2人，其他的接种点各1人，再根据分布计数原理可得答案。8.已知双曲线 :y2a2x2b2=1(a0,b0) 的上下焦点分别为 F1 ， F2 ，过点 F1 且垂直于 y 轴的直线与该双曲线的上支交于 A ， B 两点， AF2A.x3y=0B.xy=0C.3【答案】

15、C 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】由题意，得 |AF1|+|B且 P,Q 分别为 AF2,B|BF联立，得 |AF因为 PQF2 的周长为12，所以 即 4a+4b2a=24 ，亦即 b则 f(a)=18a24a3所以当 a=92 时， f(a) 取得最大值，此时 所以渐近线为 y=3x ，即 故答案为：C 【分析】由题意，结合中位线定理可得ABF2 的周长为24，利用双曲线的定义可得二、多选题（共4题；共20分）9.已知各项均为正数的等比数列 an ， Sn 是数列 anA.an12B.an12【答案】 A,C,D 【考点】对数的运算性质，等比数列的前n项和 【解析

16、】【解答】解：设等比数列 an 的公比为 q(q0,q1) ，因为 a所以 S3=a1(1所以 anSn当 n3 时， 2lglga故 2lg故答案为：ACD 【分析】设等比数列 an 的公比为 q(q0,q1) ， 根据 a1=110.已知 (3+x)(1x)A.a0=3B.a4=1C.a1+【答案】 A,C 【考点】二项式定理 【解析】【解答】令 x=0 ，可得 a0(1x)4 的展开式通项为 T则 a4令 x=1 ，可得 a0+a则 a1令 x=1 ，可得 a0又 a0两式相减可得 a1故答案为：AC. 【分析】 令x=0 ，可求得a0=3 ，即可判断选项A；利用二项展开式的通项可求得a

17、4,即可判断选项B；令x=1 ， 结合选项A即可求解a1+a11.（多选题）在如图所示的几何体中，底面 ABCD 是边长为2的正方形， AA1 ， BG ， CC1 ， DD1 均与底面 ABCD 垂直，且 AA1=CA.直线 A1G 与平面 AEF 平行B.三棱锥 GACD 的外接球的表面积是 3C.点 C1 到平面AEF的距离为 23D.若点 P 在线段 AD1【答案】 A,C 【考点】球的体积和表面积，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算 【解析】【解答】解：对于A：连接 AD1 ， FD1 ， FG ，依题意可知 EF/AD1 ，即 A,E,F,D1 四点

18、共面，因为 A1D1/GF 且 A1D1=GF ，所以四边形 对于B：三棱锥 GACD 的外接球即为四棱锥 GABCD 的外接球，所以外接球的直径即为 DG ，所以 DG2=A如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0) ， E(1,2,0) ， F(0,2,1) ， C1(0,2,2) ， C(0,2,0) ， D1(0,0,2) ，所以 AE=(1,2,0) ， AF=(2,2,1) ， AC1=(2,2,2) ， EF=(1,0,1) ，设面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z) ，所以 nAE=x+2y=0因为点 P 在线段 AD1 上运动， EF/AD1 ，所以异面直线 EF 和

19、CP 所成角即为 CP 与 AD1 所成的角， 显然当 P 在 AD1 的端点处时，所成角为 3 ，当 P 在 A故答案为：AC 【分析】由线面平行的判定定理证明A；棱锥 GACD 的外接球即为四棱锥 GABCD 的外接球，则外接球的直径即为 DG ， 利用勾股定理求出外接球的直径即可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距离，由EF/AD1 ，异面直线 EF 和 CP 所成角即为 12.已知定义在 1e,e 上的函数 f(x) 满足 f(x)=f(1x) ，且当 x1A.1e12B.1e23【答案】 B,D 【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】【解答】解：因为 f(x)=f

20、(1x) ，且当 x所以当 x1,e 时， f(x)=f(1所以 f(x)=x当 x1e,1 时， f(x)=1+当 x(1,e 时， f(x)=1x2因为方程 f(x)1所以函数 f(x) 的图像与直线 y=1作出函数 f(x) 的大致图像如图所示，当直线 y=13x+a 与 f(x) 的图像相切时，结合图像，设切点为 (x0,y代入 y=13x+a 得 1当直线 y=13x+a 过 (当直线 y=13所以由图可知实数 a 的取值范围为 (14故答案为：BD 【分析】由 f(x)=f(1x) ， 求出函数f(x)三、填空题（共4题；共20分）13.已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 11z

21、=i ，则复数 【答案】 四 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】解：因为 11z=i ，所以 1z=1i ，即 z=1+故答案为：四 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z的共轭复数，得到其坐标即可。14.已知圆 C 的圆心 C(0,m) ，其中 m0 ，圆 C 与 x 轴相切且半径为1，直线 l 过 (2,0) 点且倾斜角为45，直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，则 ABC 的面积为_. 【答案】1【考点】直线与圆相交的性质 【解析】【解答】因为圆 C 的圆心 C(0,m) ，其中 m0 ，圆 C 与 x 轴相切且半径为1，所以 m=1 ，所以圆 C

22、的圆心 C(0,1) ， 直线l的方程为 xy+2=0 ，圆心 C(0,1) 到直线l的距离为 d=|01所以 ABC 的面积为 SABC故答案为： 12 【分析】求出直线l的方程为 xy+2=0 ， 圆 C 的圆心 C(0,1)半径为1，根据点到直线的距离得d=|0115.已知 为常数， xR ，函数 f(x)=sin(x)cosx【答案】7【考点】三角函数中的恒等变换应用，二倍角的余弦公式 【解析】【解答】因为 f(x)=sin当 cos0 时， tan当 cos=0 时， sin=1 ，此时 f(x)=0 或 f(x)=2cos所以由上可知： cos0所以 f(x)max=cos2所以

23、cos2=12故答案为： 725 【分析】利用三角函数的关系式的变换，函数的性质的应用求出结果。16.设 O 为坐标原点，抛物线 C:y=x24 焦点坐标为_，过 N(0,2) 的直线与抛物线的第一象限的交点为 M ，若点 Q 满足 【答案】(0,1)；6【考点】基本不等式，平面向量的综合题 【解析】【解答】由 y=x24 得 设 M(x,y) ， Q(x因为 M 位于第一象限，所以 x0 ， y0 ，又 MN=4MQ ，即 Q 在线段 所以 x=4(x0 x)2y=4(则 x=43x0y=2所以直线 OQ 斜率为 kOQ当且仅当 x03=故答案为： (0,1) ； 63 【分析】由 y=x2

24、4 得 x2=4y ，所以其焦点坐标为 (0,1) ；设 M(x,y) ， Q(x0,y0) ，因为 M 位于第一象限，所以 x0 ， y0 ，又 MN=4MQ ，即 Q 在线段 MN 上，得四、解答题（共6题；共70分）17.ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 acos（1）求 A ； （2）若 a=23 ，且向量 m=(1,sinB) 与 【答案】 （1）因为 acos所以 3sin整理得： 3sin所以 3sin化简得： (3所以 3sin故 sin(A30)=由于 0Ab0) 过点 E(1,3（1）求椭圆 C 的方程； （2）过左焦点F的直线 l 与椭圆