概率论第四章节中心极限定理

1、概率论第四章节中心极限定理第1页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四为何韩国射击队这么强？考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.第2页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四要点回顾(1) 正

2、态分布的定义(2) 正态分布的分布函数第3页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的分布函数表示为(3) 标准正态分布第4页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四(4)分位点的概念若 满足则称 为X的上 分位点(数)。 (5) 正态分布的期望和方差(6) 重要公式第5页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四（7）正态分布的重要性质：两个或多个相互独立的正态分布的线性组合仍是正态分布即 设X1,X2,Xn相互独立, 且 i=1,2,n,则有特别地，设X1,X2,Xn相互独立,且X1,X2,Xn服从同一分布 ,

3、 是X1,X2,Xn的算术平值，则有 第6页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四 在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布 研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响而成,即近似问 题当 时,在什么情况下的极限分布是？的极限分布是？第7页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四设 是独立r.v列,均值和方差都存在令则部分和标准化r.v问题的极限分布是否为一般地，答案是否定的！除非 服从正态分布，否则结论就不真.例如取则定义则称 服从中心极限定理若 的分布函数 对任意 满足第8页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四同分布的

4、r.v 列，其数学期望和方差分别为则 服从中心极限定理的分布函数 对任意 满足定理(独立同分布的中心极限定理)设 为独立,即标准化r.v第9页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四对于均值为 方差 的独立同分布的 r.v 列有近似即或近似中心极限定理的实际含义故每个因素都是微小的、没有一个因独立同分布.因为素起到突出作用这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到在实际问题中,如果某数量指标满足该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成则这个数量指标近似地服从正态分布突出的作用 第10页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四服务时间 例1 在一零售商店中，其结帐柜台为

5、各顾客服务的时间（以分计）是相互独立同分布的随机变量，均值为1.5，方差为 (1) 求对100位顾客的总服务时间不多于小时的概率 (2) 要求总的服务时间不超过小时的概率大于0.95，问至多能对几位顾客服务第11页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四解(1)以i (i=1,2,100)记对第i对顾客的服务时间按题意要求概率为由于1,X2,X100相互独立且服从相同的分布，由中心极限定理得第12页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四(2) 设能对位顾客服务，以i (i=1,2,100)记对第i对顾客的服务时间按题意需要确定最大的，使由中心极限定理，当充分大时，

6、上式可写成因为正整数，故取33即最多只能为33个顾客服务，才能使总的服务时间不超过小时的概率大于 0.95第13页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四中心极限定理的应用应用1练习 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1) 至少命中180发炮弹的概率;(2) 命中的炮弹数不到200发的概率.第14页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数相互独立，设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则

7、由独立同分布中心极限定理, 有第15页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四(1) (2)第16页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P (280 X 320).解 令Xi 为售出了第 i 1 份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,100(几何分布)应用2第17页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四相互独立,由独立同分布中心极限定理, 有第18页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四例3 检验

8、员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒)设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒), k = 1,2,1900应用3第19页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四 XkP 10 200.5 0.5相互独立同分布,第20页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四第21页，共43页，202

9、2年，5月20日，6点13分，星期四由独立同分布的中心极限定理,有定理(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设 为服从参数为的 二项分布r.v列, 则对任意 有其中为独立同分布的(0-1)分布r.v,且因二项分布产生于 重伯努利试验,故 可分解为注记 该定理是概率论历史上第一个中心极限定理,由棣莫弗于1730年给出到时的证明,几十年后经拉普拉斯推广的一般情形.第22页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四对于一列二项分布r.v ，有近似近似的图形为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用例如于是当 充分大时，可以认为 近似第23页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四Ox-

10、8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8记则近似高尔顿钉板试验什么曲线共15层小钉小球碰第 层钉后向右落下小球碰第 层钉后向左落下高尔顿( Francis Galton,1822-1911) 英国人类学家和气象学家第24页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验, 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？解并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中纵摇角

11、大于 3 的次数为 X,则 X 是一个随机变量,例4分布律为第25页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四所求概率为直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理第26页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设 X 为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛拉普拉斯定理知,练习保险公司亏本的概率第27页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四保险公司亏本的概率第28页，共43页，2022年

12、，5月20日，6点13分，星期四例5 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，X 为开工的车床数 , 则 X B(200,0.6) , X N (120, 48) (近似)应用4由德莫佛拉普拉斯中心极限定理, 有第29页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四问题转化为求 a , 使反查标准正态函数分布表，得第30页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四令解得(千瓦)第31页

13、，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解练习第32页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四根据独立同分布的中心极限定理，第33页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四第34页，共43页，2022年，5月20日，

14、6点13分，星期四由德莫佛拉普拉斯定理知,第35页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四比较几个近似计算的结果中心极限定理二项分布(精确结果0.9590)Poisson 分布Chebyshev 不等式比较第36页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四设 是独立r.v列,它们具有数学期望和方差：若存在 使得当 时,有 近似则 服从中心极限定理,即定理(李雅普诺夫(Liapunov)中心极限定理)李雅普诺夫条件第37页，共43页，2022年，5月20日，6点13分，星期四总结三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理（推广）德莫佛拉普拉斯定理（特例） 中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其