美丽的分形精品课件

1、美丽的分形第1页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Cantor集(简称C集)如图，将这条长度为1的线段截去中间的1/3再将剩下的2/3各截去1/3再将剩下的4/9各截去1/3如此无限循环经过无限次截取的剩余部分就是Cantor集第2页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Cantor集长度求和由于C集是由长度为1的线段所截得，所以求和就用1减去截去的总长度第3页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Cantor集长度求和可见，截去部分的长度是1，而原线段也是1，所以C集的总长度是下面这个unbelievable的结果：这说明C集不包括任

2、何非0的长度，你肯定不会相信眼前的结果，明明是有长度的！第4页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Cantor集长度求和In fact，C集并非是空的！这个过程中有很重要的东西被剩下，因为重复地消除的只是中间的1/3开集。从最初的线段中除去1/3，而两个端点(1/3处和2/3处)被留下，随后的操作不会移动这些端点，因为被移除的部分总在剩余部分的内部所以，C集是由无限多个点构成的第5页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三How Long Is the Coast of Britain?1967年法国数学家Mandelbrot提出了这个问题问题貌似很简单，长

3、度依赖于测量单位，以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉， ，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，趋近到一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。第6页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三How Long Is the Coast of Britain?第7页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三How Long Is the Coast of Britain?当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长

4、的为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效这是对以欧式几何为核心的传统几何的挑战第8页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三一些研究对象很难用欧式几何来描述自然界中的曲线用现有词汇无法描绘其具体形态，但会发现这些曲线的局部和全局有着同样的复杂性“病态曲线”“几何自相似”,局部不断重复整体的特性,像“科赫雪花”康托集“皮亚诺曲线”“魔鬼阶梯”谢尔宾斯基三角等等“病态函数”一些函数也存在“自相似”的规律,比如十年前的棉花波动曲线和一年前的波动曲线存在相似第9页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三思考自然界大部分

5、不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的，而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性过程人们对复杂事物的认识总是通过还原论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这种认识方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科学技术和社会的发展，已经暴露出它的局限性一门研究复杂现象的非线性科学应运而生第10页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三分形理论(fractal theory)的提出1973年，曼德勃罗（Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想随后，他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，

6、特别是分形：形、机遇和维数以及自然界中的分形几何学(Fractal Geometry of Nature)，开创了新的数学分支：分形几何学。第11页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三什么是分形？“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”物理学家 约翰惠勒笼统地讲，可以把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称，将他的对象细微部分放大后，其结构看起来仍与原先一样第12页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三曼德勃罗下过的两个定义1)满足下式条件 Dim(A)dim(A)的集合A，

7、称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。2)部分与整体以某种形式相似的形，称为分形然而，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容第13页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三分形的操作性定义分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 在大多数令

8、人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。第14页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三两个关键概念自相似性分维第15页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三自相似性一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。自然界的分形，其自相似性并不是严格的，而是在统计意义下的自相似性，海岸线也是其中一个例子，称为无规分形具有严格自相似性的分形，比如三分康托集、科赫曲线，称为有规分形第16页，共48页

9、，2022年，5月20日，12点20分，星期三分维我们把自由度数作为维数，也称为经验维数是否有非整数维的几何存在呢？若对长度为1的线段n等分，每段长为r，则对面积为1的正方形作n等分，每个小正方形的边长为r，则对体积为1的正方体作n等分，每个小正方体的边长为r，则第17页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三分维上面三个等式中，r的幂次实际上就是几何体能得到定常度量的空间维数，于是有如下公式对上式两边取对数，则得到空间维数D的表达式：第18页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三分维分维的引进是人类的空间观的一次革命性的变化，由于分数维的引进，点和线、线和面

10、、面和体、三维体和四维时空之间的绝对界限模糊了：线既可由于分割而（维数）退化，也可由于弯曲而（维数）进化；面由于挖空而（维数）退化 第19页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三几种典型的分形三分康托集Koch曲线Julia集第20页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三三分康托集第21页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Koch曲线第22页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Julia 集Julia集是一个著名的分形集，它是复数经过迭代得到的。定义:在复平面上，对于复数Z和C，如果变换 Z Z2+C不使 Z 向无穷

11、逃逸，那么所有这些初始的复数Z所构成的集合称为Julia集，它随着C的变化而变化。Z值没有界限增加（趋向无穷） Z值衰减（趋向于Z0，使Z0=Z02+C） Z值是变化的，即非1或非2 第23页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三 Julia 集第24页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Mandelbrot集M集是使Julia集为连通的参数C的集合。它的另一个等价的定义为对每一个C，让z0=0代入迭代式：f(z) = z*z + C,经足够多次迭代后函数值不扩散，这样的C所组成的集合为M集。1980年当 Mandelbrot第一次画出它的图形以来，M集就

12、被认为是数学上最为复杂的集合之一，又是如此的美丽，它吸引了大批的科学家和爱好者。M集又被称为“数学恐龙”，它已成为混沌、分形最为重要的标志之一。第25页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Mandelbrot集的一个显示第26页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三第27页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三第28页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三深远意义分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合

13、，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。第29页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三对哲学的影响充满了辩证法思想，它不仅为辩证法提供新的事例，而且可以丰富人们对辩证法的认识。分形理论中具有确定性与随机性、内在随机性与外在随机性、局部与整体、简单与复杂等几对矛盾的辩证关系。以整体与局部这一对矛盾简要阐述第30页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三伽利略悖论正整数集合s1的元素与正整数平方的集合s2的元素是一样多的 s1： 1， 2， 3， ， n s2： 12， 22， 32， n2人们用有限数的眼光来看待无限数的关系，无法理解这种奇特的现

14、象，所以称它为伽利略悖论第31页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三说明了什么呢在无穷集合中，整体可以与部分相等，或者说整体不大于部分还说明我们不能把有穷情况下得出的结论，不加限止地推广到无穷的情况还说明我们以前对整体与部分的关系的认识是有条件的，不是普遍有效的。第32页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三自相似自相似，即取分形上任意一小部分加以放大，就可以发现部分与整体是相似的这种自相似可以是严格的或有规律的，也可以是近似的或统计的自相似性为我们理解部分与整体的辩证关系提供了新的科学依据 分解为相同小块 相同小块相加 整体 部分 整体分解成一些与整体相

15、似的小块 迭代法整体 部分 整体第33页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三哲学意义由部分是以自身同等的方式存在于整体之中的传统看法，进而认识到部分以与整体相似的方式存在于整体之中。这是人类认识史上的一大进步，具有深远的哲学意义。第34页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三科学与艺术的完美结合分形艺术分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。即使您不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动。第35页，共48页，

16、2022年，5月20日，12点20分，星期三科学与艺术的完美结合分形艺术分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，分形搭起了科学与艺术的桥梁。分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。第36页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三常用软件Ultra Fractal Visions of Chaos FraciantApophysisGNU Xaosc

17、haoscope第37页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三艺术第38页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Art第39页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三艺术第40页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Art第41页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三艺术第42页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三Art第43页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三艺术第44页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三纪念分形之父Mandelbrot先生第45页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三纪念分形之父Mandelbrot先生著名数学家，经济学家，被誉为分形之父的Mandelbrot先生，美国时间10年10月15日在马萨诸塞州剑桥辞世，享年85岁。1993年他获得沃尔夫物理学奖，他是美国科学院院士，生前还被选为美国物理学会、美国统计学会、IEEE、计量经济学会、数理统计学会等学会的会士。他用“美丽”改变了我们的世界观，他被认为是20世纪后半叶少有的影响深远而且广泛的科学伟人之一。第46页，共48页，2022年，5月20日，12点20分，星期三纪念分形之父Mandelbrot先生曼德勃罗前半生的学术生涯可以用“坎坷