重叠问题、列车过桥、追及、相遇问题、平均数问题、奥数1

1、重叠问题简析（3-4年级）三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品， 当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加 了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理一一包含 与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。解 答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找 出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。例题1六一

2、儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第 10面。这行彩旗共多少面？思路导航：根据题意，画出右图：从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第1010面、厂?面面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8 + 1010面、厂?面例题2同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同 学共有多少个？左ooo左ooooo右由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4+3 1=6个人; 从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5 + 61=10人，所以做操的同学

3、共有: 6x10=60 人。例题3把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一 起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？思路导航：把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16 厘米，所以这两块木板的总长度是120+16=136厘米，每块木板的长 度是1362=68厘米。例题4 一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道 聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？ 思路导航：根据题意，画出右图：图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的 人数加起来

4、得21 + 18=39人，这39人比全班总人数36多出了 39 36=3人，这多 出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表 示两道题都做对的人数。例题5三（1）班订数学报的有32人，订阅读报的有30人，两份报纸都订的有10人，全 班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？订两份报纸的人数思路导航：根据题意，画出左图： 从左图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的10人，这10人既被包括 在订数学报的32人内，又被包括在订阅读报的30人内，重复算了一 次，所以要算出全班人数，必须从32 + 30=62人中去掉被重复算过的10人。订两份报纸的人数所以全班人数应是

5、62 10=52人。四年级三班订阅少年文摘的有19人，订阅学与玩的有24人，两种都订的 有13人。问订阅少年文摘或学与玩的有多少人？幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只 学画画的分别有多少人？1至100的自然数中：是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100 分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这 个班共有学生多少人？全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会

6、的有8人，求两 样都不会的有多少人？一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人 至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？四年级三班订阅少年文摘的有19人，订阅学与玩的有24人，两种都订的有13人。问 订阅少年文摘或学与玩的有多少人？解：19 + 2413 = 30 （人）幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别 有多少人？解：只学钢琴人数：5837 = 21 （人） 只学画画人数：4337 = 6 （人）1至100的自然数中：（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？既是3的倍数又是2的倍数，一定是6的倍数解：10

7、0；6 = 164所以，既是2的倍数又是3的倍数有16个（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？解：100；2 = 50, 100；3 = 33150 + 33 16 = 67 （个）（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？解：5016 = 34 （个）某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人， 两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人？12 + 103 + 26 = 45 （人）全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有 多少人？50（32 + 218）

8、= 5 （人）一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个 队。这个班两队都参加的有多少人？30 + 2542 = 13 （人）列车过桥、相遇、追及等问题例1.一列大车通过530米的桥需要40秒，以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒.求这列大车的速度与车身长各是多少米解.火车的速度是:（530-380）； （40-30） = 15（米/秒）车身长是：15x30-380=70（米）例2：某人步行的速度为每秒钟2米.一列大车从后而开来,越过他用了 10秒钟.巳知火 车的长为90米，求列车的速度.解.这样想:列车越过人时,它们的路程差就是列车长.将路程差（

9、90米）除以越过所用时间（10秒）就得到 列车与人的速度差.这速度差加上人的步行速度就是列车的速度.90 + 10+2=9+2 = 11（米）答:列车的速度是每秒种11米.练习：快车长182米，每秒行20米,慢车长1034米，每秒行18米.两车同向并行，当快车车尾接慢车车尾时,求快车穿过慢车的时间？慢车快车长182米，每秒行20米,慢车长1034米，每秒行18米.两车同向并行，当两车车头齐时，快车几秒可越过慢车？受M快苹人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步.一列长288米的火车从对而开来，从他身边 通过用了 8秒钟,求列车的速度.一列大车长600米，它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道,从

10、车头进入隧道到车尾离开隧道共需多少时间?两列火车,一列长120米，每秒行20米;另一列长160米，每秒行15米，两车相向而行, 从车头相遇到车尾离开需要几秒钟？有两列火车,一列长102米，每秒行20米;一列长120米，每秒行17米.两车同向而行， 从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒？某人步行的速度为每秒3米.一列火车从后而开来，超过他用了 10秒.巳知火车长80 米.求火车的速度.现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每 秒行10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进则9秒后快车超过慢车,求两列火 车的车身长.一列火车通过440米的桥需要40秒，

11、以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒.这 列火车的速度和车身长各是多少？小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长他们拿了两块跑卷小英用一块 表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一 根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.巳知两电线杆之间的距离是100 米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗？快车长182米，每秒行20米,慢车长1034米，每秒行18米.两车同向并行，当快车车尾 接慢车车尾时,求快车穿过慢车的时间？解.1034； (20-18) = 517(秒)2.快车长182米，每秒行20米，慢车长1034米，每秒行182.快车长18

12、2米，每秒行齐时，快车几秒可越过慢车?受丰解.182； (20-18) = 91(秒)人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步.一列长288米的火车从对而开来，从他身边通过用了 8秒钟，求列车的速度.解.288；8-120；60=36-2 = 34(米/秒)答:列车的速度是每秒34米.一列大车长600米，它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道，从车头进入隧道到车 尾离开隧道共需多少时间？解.(600+200)； 10=80(秒)答:从车头进入隧道到车尾离开隧道共需80秒.两列大车,一列长120米，每秒行20米;另一列长160米，每秒行15米，两车相向而行， 从车头相遇到车尾离开需要几秒钟？解:从

13、车头相遇到车尾离开，两车所行距离之和恰为两列车长之和，故用相遇问题得所求时问 为:(120+60) (15+20) = 8(秒).有两列大车,一列长102米，每秒行20米;一列长120米，每秒行17米.两车同向而行， 从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒？解：这题是“两列车”的追及问题.在这里，“退及”就是第一列车的车头追及第二列车的车尾，“离开就是第一列车的车尾离开第二列车的车头.设从第一列车追及第二列车到两列车离开需要x秒，列方程得：102+120+17 x =20 x x =74.算术解法：（102+120）:（20-17） =74 （秒）某人步行的速度为每秒3米.一列火车从后而开来

14、超过他用了 10秒.巳知火车长80 米.求火车的速度.解：设列车的速度是每秒x米，列方程得10 x =80+3x10 x =11.算术解法：速度差=8010=8 米/秒火车速度=8+3=11 米/秒现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每 秒行10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进则9秒后快车超过慢车,求两列火 车的车身长.解：（1）车头相齐,同时同方向行进,画线段图如下：则快车长：（18-10）X 12=96（米）车尾相齐,同时同方向行进,画线段图如下：慢车长：（18-10）x9 = 72（米）一列火车通过440米的桥需要40秒，以同样的速度穿过

15、310米的隧道需要30秒.这 列火车的速度和车身长各是多少？解.火车的速度是:（440-310）； （40-30） = 13（米/秒）车身长是:13 X 30-310=80（米）小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块 表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一 根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.巳知两电线杆之间的距离是100 米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗？解： 火车的时速是:100； （20-15）=20（米/秒）车身长是:20X 15 = 300（米）平均数问题专题简析：把几个不相等的数，在总

16、数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量+总份数总数量=平均数乂总份数尾份数=总数量X平均数例1：秦奋的一次三科联赛中;语文数学的平均分是95分，数学英语的平均分是99分，语文英语的平均分是94分.你能算出他语文数学和英语各得多少分吗？解答:语数外总分数为（95X 2+99X 2+94X勿+ 2=288分所以英语为：288-95X 2=98分 语文为：288-99X 2=90分数学为:288-94X 2=100 分例2： 有4箱水果，已和苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘

17、子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？分析与解答:（1） 1箱苹果+ 1箱梨+ 1箱橘子=42X3=136 （个）；（2）1箱桃+ 1箱梨+ 1箱橘子=36X3=108 （个）（3）1箱苹果+ 1箱桃=37X2=72 （个）由（1）（2）两个等式可和：1箱苹果比1箱桃多126- 108=18 （个），再根据等式 （3）就可以算出：1箱桃有（74-18）四2=28 （个），1箱苹果有28+ 18=46 （个）。1箱苹果和1箱桃共有多少个：37X2=74 （个）1箱苹果比1箱桃多多少个：42X3- 36=18 （个）1箱苹果有多少个：28+ 18=46 （个）甲乙两块棉田，

18、平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田 平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？巳知八个连续偶数的和是144，求这八个连续偶数。甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用甲种糖5千克和多少乙种糖混合， 才能使每千克糖的价钱为8.2元？*4.蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89分.政治、 数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均 分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？*5.食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到十种不同的重量（千克）47、50、51、52、5

19、3、54、55、57、58、59.问这五只羊各重多少千克？平均数问题答案甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田 平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？解：设乙棉田有 X 亩。185x（X+5） =203X5+170XX=6巳知八个连续偶数的和是144，求这八个连续偶数。1448 = 18,18 = 8+10,八个连续偶数：2、4、6、8、10、12、14、16、18。甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用甲种糖5千克和多少乙种糖混合， 才能使每千克糖的价钱为8.2元？解：用乙种糖X千克混合。 8.8X5+7.2X=8.2 X（5+X）X=3*4.

20、蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89分.政治、 数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均 分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？解：生物：89X5- （91.5X2+84X2） = 94（分），语文：（84X2-10） ；2 = 79 （分），英语：79+10=89 （分） 政治：86X2-89=83 （分九数,学：91.5X2-83 = 100 （分）。*5.食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到十种不同的重量（千克） 47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.问这五只羊各重多少千克？解：5 只羊一共重：（47+50+51+52+53+54+55+57+58+59）:4=134 （千克）.5 只羊各自重：134- （47+50） =37 （千克），134- （50+51） =33 （千克），134- （51+52） =31 （千克），134- （52+53） =29 （千克），134- （53+