用正交变换化二次型为标准型_第1页
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文档简介

1、用正交变换化二次型为标准型第一页，共19页。一、正交变换法定义.定理.使得- 2 -第二页，共19页。- 3 -用正交变换化二次型为标准形的步骤则为正交矩阵, 且第三页，共19页。- 4 -第四页，共19页。例2.求一个正交变换化为标准形,并求正交变换矩阵.解：把二次型二次型的矩阵为：其特征多项式为：- 5 -(1)求的特征值：第五页，共19页。把第2,3,4列都加到第1列上,有把第2,3,4行分别减去第1行,有- 6 -第六页，共19页。按第1列展开按最后1行展开,得于是，的特征值为：- 7 -(2)求的特征向量：解方程组第七页，共19页。得基础解系为：得基础解系为：解方程组将Schmidt

2、正交化得正交向量组：- 8 -第八页，共19页。将单位化得：- 9 -第九页，共19页。于是，正交矩阵为所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：- 10 -第十页，共19页。例3.用正交变换将二次型化为标准形,并求正交变换矩阵.解：二次型的矩阵为：对应的线性无关的特征向量为- 11 -第十一页，共19页。将单位化得：于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：- 12 -第十二页，共19页。 用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理),它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程),选有主轴(正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简

3、化方程的形状。例如,画图步骤：(1) 令特征值和对应的正交单位特征向量为二次型的矩阵为： 用正交变换化实二次型为标准形的应用- 13 -第十三页，共19页。所以，正交矩阵为：且在正交变换x=Ty下,原二次型化为标准形：因此双曲线的图形为以方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转- 14 -第十四页，共19页。- 15 -图形(如下图所示)。第十五页，共19页。- 16 -用正交变换化二次型为标准形的步骤：为正交矩阵。第十六页，共19页。1.求一正交变换,将二次型化为标准形,并求正交变换矩阵.解：二次型的矩阵为：- 17 -第十七页，共19页。对于特征向量为：对于特征向量为：将单位正交化得：- 18 -第十八页，共1

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