长沙理工大学大一高数期末考试题

1、 10/10()长沙理工大学大一高数期末考试题(精) 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(处有则在设=+=x x x x x f . （A ） (0)2f = （B ）(0)1f =（C ）(0)0f = （D ）()f x 不可导. 2. ）时（，则当，设133)(11)(3-=+-= x x x x x x . （A ） ()()x x 与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x 与是等价无穷小； （C ）()x 是比()x 高阶的无穷小； （D ）()x 是比()x 高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0

2、 2x F x t x f t dt =-?，其中 ()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且()0f x ，则 （ ）. （A ）函数()F x 必在0 x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0 x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0 x =处没有极值，但点(0,(0)F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0 x =处没有极值，点(0,(0)F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2 x （B ） 2 22x +（C

3、 ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos ) -+=2 2 221L n n n n n n . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy +=确定，求()y x 以及(0)y . 10. .d

4、 )1(17 7 x x x x ?+-求 11. 求， 设?-?-+a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数=y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+ - . 7. 直线l 过点M (,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l 的方程 为 13 121 1-=-=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （￥，0）和（1，+￥ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限1

5、0(1)lim x x x e x +-. 解： 1 1 ln(1)12000(1)1ln(1)lim lim lim 2x x x x x x x e e x x e e e x x x +-+-+-=- 10. 已知：|3a =v ，|26b =v ，30a b ?=v v ，求|a b ?v v 。 解： 1312 cos 1sin ,135cos 2=-=?=b a b a ， 72 =?b a 11. 设)(x f 在a ，b 上连续，且 ,)()()(b a x dt t f t x x F x a -=?，试求出)(x F 。 解： ?-=x a x a dt t tf dt t

6、 f x x F )()()( ?=-+=x a x a dt t f x xf x xf dt t f x F )()()()()( )()(x f x F = 12. 求 3cos .sin x x dx x ? 解： 23cos 1 sin sin 2x x dx xd x x -=-? 2221111 sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C =-+=-+? 四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 13. 求 ? -2 3 2 21 x x dx . 令 1x t = ? -=21 2 322)1 (11 11dt t t t 原式 =-?dt

7、 t 121 2 3 2 =arcsin t 12 3 2= 6 14. 求函数 212x x y += 的极值与拐点. 解：函数的定义域（￥，+￥） 22)1()1)(1(2x x x y +-= 3 22)1()3(4x x x y +-= 令0=y 得 x 1 = 1, x 2 = -1 0)1(-y x 2 = -1是极小值点 极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y 0=y 33故拐点（- 3，- 2 3 ），（0，0）（ 3， 2 3 ） 15. 求由曲线43x y =与2 3x x y -=所围成的平面图形的面积. 解:, x x x x x x 3232431240=-+=

8、 x x x x x x ()(),.+-=-=620602123 S x x x dx x x x dx =-+?()()3260 2 3024334 =-+()()x x x x x x 423602340 21632332316 =+=4521347 1 3 16. 设抛物线2 4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ?的面积最大. 解： AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离的面积 +-=+-=-+-2104521 5 23 5 132() ? S x x x x x ()()

9、 =?-+=-+124523 522322 当 =-+=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值=-，试证x x e x +-=x x x e x f x 1)21()(2-=x e x f x ，x xe x f 24)(-=， 0)(, 0 x f x ，因此)(x f 在（0，+￥）内递减。 在（0，+￥）内，)(,0)0()(x f f x f =0时， x x e x +-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (-,+) (B) (-,1) Y (1,+ ) (C

10、) (-,0) Y (0, +) (D) (-,0) Y (0,1) Y (1,+ ) 19. 设0)11(lim 2=-+b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 20. 设在0，1上 )(x f 二阶可导且0)(x f ，则（ ） （A ）)0()1()1()0(f f f f -)1arctan (12 x x d x （ ） 2. 设 ? +=, sin )(c x dx x f 则 ? = dx x f n )()(（ ） 3. 直线方程p z n y m

11、x +-= =-65 24，与xoy 平面，yoz 平面都平行， 那么m n p ,的值各为（ ） 4. = ? ? ?=+ 2 12lim n i n i x e n i （ ） 三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分） 1. 计算 ? ?-2201sin 1 lim x x x 2. 设 ?=00,1cos )(2 x x x x x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f 3. 设函数 ),()(+-=在x f y 连续，在x 10时二阶可导，且其导函数)(x f 的图形如图所示，给 出 )(x f )(x f y =的拐点。 四 解答题（本大题有4小题，

12、每小题9分，共36分） 1. 求不定积分 ?-+x dx x x 2)12( 2. 计算定积分 ?e e dx x 1ln 3. 已知直线43 5221: 3 121: 21-=-=-=z y x l z y x l , 求过直线l 1且平行于直线l 2的 平面方程。 4. 过原点的抛物线2 ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为 581 ，确定抛物线方程 中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。 五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 1. 设 )()1()(2 x f x x F -=，其中)(x f 在区间1,2上二阶可导且有0)2(=

13、f ，试证明存在（21=00,1cos )(2 x x x x x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f . 解： 当 x x x x f x 1 sin 1cos 2)(,0+=；当1)(,0=+=0101sin 1cos 2x x x x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-+连续，在0 x 时二阶可导，且其导函数()f x 的图形如图. ()f x ()y f x =的拐点. 解：极大值点：x a =x d = 极小值点：x b = 拐点(0,(0),(,()f c f c 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 12. (

14、9分)求不定积分 2 2 (2)(1)x dx x x -? . 解：原式=2413()(1)1dx x x x -+-? = 1 4ln 3ln 11x x c x - -+- 13. (9分)计算定积分 1ln e e x dx ? . 解：原式= ()1 11ln ln e e x dx xdx -+? ()111 ln ln e e x x x x x x =-+-? 2 2e =- 14. (9分)已知直线 11: 123x y z l -=，2123:254x y z l =,求过直线l 1 且平行于直线l 2 的 平面方程. 解： 12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)n

15、 s s =?=?=-r r r 取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为 72(1)0 x y z -+-= 15. (9分)过原点的抛物线2 ax y = (0)a 及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为 581. 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积. 解： 1 1 5 2220 ()5x V a x dx a =?2 5 a = 由已知得 5 815 2 = a 故 a = 9 抛物线为：2 9x y = 绕y 轴一周所成的旋转体体积： 1 2 29V x x dx =?1 4091842x = 五 综合题（每小题4分，共8分） 16. (4分)设 )()1()(2 x f x x F -=，其中)(x f 在区间1,2上二阶可导且有0)2(=f . 证明：存 在（12；当 1 x ， 22()()sin 0n f x x x x =-。(1)f 为极大值，也为最大值。 （2） 220 ()()sin (1) x n f x t t tdt f =-? 1 1 22220 1 (1)()sin ()(22)(23)n n f t t tdt t t t dt n n =-= +? 高等