第1章(3)12 随机事件及其概率(二)

1、本节主要内容1.2.1 随机事件1.2.2 事件间的关系及运算1.2.3 事件的概率及性质1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质所谓随机事件的概率，概括地说就是用来描述随机事件发生的可能性大小的数量指标，它是概率论中最基本的概念之一。在概率论的发展史上，人们曾针对不同的问题，从不同的角度给出了定义概率和计算概率的各种方法。1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质1.频率与概率的统计定义【定义1.3】 设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中发生的次数（称为频数）比值fn(A)=nA/n称为事件A在这n次试验

2、中发生的频率频率有如下性质 (1) 对任一事件A，有0 fn(A) 1； (2) 对必然事件，有fn( ) = 1； (3) 对互不相容事件A、B，有fn(AB)= fn(A) + fn(B)1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质1.频率与概率的统计定义将一枚硬币抛掷 5 、50 、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.试验序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120

3、.4940.5240.5160.500.5021.2 随机事件及其概率波动最小随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性1.2.3 事件的概率及性质1. 频率与概率的统计定义历史上一些概率统计学家的试验从上述数据可见：(1)频率有随机波动性，即对于同样的n，所得的f不一定相同;1.2 随机事件及其概率204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005试验者德 摩根蒲 丰1.2.3 事件的概率及性质1. 频率与概率的统计定义历史上一些概率统计学家的试验从上述数据可见：(2)随n的增大，频率f呈现出稳定性，即当n逐渐增大时频率总是在 0

4、.5 附近摆动, 且逐渐稳定于0.5.1.2 随机事件及其概率204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005试验者德 摩根蒲 丰1.2.3 事件的概率及性质1. 频率与概率的统计定义根据上述频率的稳定性，可定义频率的稳定数值为事件发生的概率：【定义1.4】 设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事件A发生的频率fn(A)稳定在某数p附近波动，则称数p为事件A的概率，记为：P(A) = p由上例及定义看出：(1) 频率是依赖于试验的，概率是客观存在的一个数，不依赖于试验;1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性

5、质1. 频率与概率的统计定义根据上述频率的稳定性，可定义频率的稳定数值为事件发生的概率：【定义1.4】 设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事件A发生的频率fn(A)稳定在某数p附近波动，则称数p为事件A的概率，记为：P(A) = p由上例及定义看出：(2) 概率的统计定义只是描述性的，一般不能用来计算事件的概率，通常只能在试验次数n充分大时，用事件出现的频率来近似计算事件发生的概率。1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质1. 频率与概率的统计定义根据频率和概率的关系，受频率性质的启发，苏联数学家Kolmogorov于1933年提出了概率的公理化定义，使概率论有了迅速的发展

6、。1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质2. 概率的公理化定义【定义1.5】 设是一随机试验的样本空间，对于该随机试验的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(.)满足下列公理： (1) 非负性：对于每一个事件A，有P(A) 0； (2) 规范性：对于必然事件 ，有P() = 1； (3)可列可加性：设A1,A2,是两两互不相容的事件，即对于i j，AiAj = ，i，j = 1，2，则有1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质2. 概率的公理化定义 概率的公理化定义使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学学科同等的地位 在公

7、理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得了一系列的突破，也在应用上取得了巨大的成就1.2 随机事件及其概率学者生平趣事-KolmogorovKolmogorov（1903-1987）是苏联最伟大的数学家之一，也是20世纪最伟大的数学家之一，在数学的几乎所有領域中，都提出了独创思想，导入了崭新方法，而且培养出了一大批优秀的数学家。开始并非在数学系，因17岁左右写了一篇与牛顿力学有关的文章到了莫斯科大学读书。入学时，喜欢历史，曾写了一篇出色的历史学文章，后一生从事数学。1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质 利用概率的公理化定义，可以导出概率的一些性质3. 概率的性质(1) 证明：由

8、概率的可列可加性得1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质 利用概率的公理化定义，可以导出概率的一些性质3. 概率的性质(1) 问题：事件发生的概率为0，是否为不可能事件？这个问题与“事件发生的概率为1，是否为必然事件？”本质相同。作为性质1和公理化定义中公理2的反问题，未必成立。 1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质3.概率的性质(2) 若A1,A2,，An是两两互不相容的事件，则有 证明：由概率的可列可加性得1.2 随机事件及其概率概率的有限可加性1.2.3 事件的概率及性质3.概率的性质(3) 证明：因为 所以1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性

9、质3.概率的性质(4)设A,B为两个事件,若BA,则P(A-B)=P(A)-P(B)，P(A)P(B). 证明：因为BA 所以 ， 又 得 于是 又因为1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质3.概率的性质 (5) 对任意两个事件A，B，有P(AB)=P(A)P(AB) 证明：因为A B = A AB，且AB A， 所以，由性质4得1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质3.概率的性质 (6)（加法公式）对于任意两事件A，B有P(AB)= P(A) + P(B) P(AB) 证明：因AB = A(B AB)， 且A(B AB) = ， 故由性质2及性质4得1.2 随机事

10、件及其概率1.2.3 事件的概率及性质3.概率的性质加法公式推广: 三个事件和的情况n 个事件和的情况1.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质【例1.4】设事件A，B的概率分别为1/3，1/2在下列二种情况下分别求 的值：(1) A与B互不相容；(2) A B； 解：(1) = P(BA) , 由性质5 P(BA) =P(B) P(AB)， 因为AB= ，所以 P(AB)=0, = P(B) P(AB) =P(B) =1/21.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质【例1.4】设事件A，B的概率分别为1/3，1/2在下列二种情况下分别求 的值：(1) A与B互不相容；(2) A B； 解：(2) 因为AB，由性质4，有 =P(BA)=P(B)P(A)=1/21/3=1/61.2 随机事件及其概率1.2.3 事件的概率及性质【例1.5】设A，B是互不相容的事件，已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，求： 解： 因A，B互不相容，由可列可加性 P(AB)=P(A)+P(B) =0.4+0.5=0.91.2 随机事件及其概率小 结1.