弹性力学平面问题例说解的唯一性定理

1、弹性力学平面问题例说解的唯一性定理摘要解的唯一性定理是用逆解法或半逆解法求解弹性力学问题的理论依据，在此用应力函数法、应 力法、应力和函数法求解弹性力学平面问题，让学生切实、深入地理解解的唯一性定理的内在含义，丰富 和扩大弹性力学的解题方法和应用范围。关键词解的唯一，性定理，应力函数法，应力法,应力和函数法EXAMPLES ARE GIVEN TO ILLUSTRATE THE UNIQUENESS LAW OFSOLUTIONS FOR PLANE PROBLEMS OF ELASTICITYAbstract The uniqueness law of solution is the the

2、oretical basis of the inverse method or the semiinverse method for solving elasticity problems. The stress function method, the stress method and the stress sum function method are used for solving plane problems of elasticity to let students understand the true meaning of the uniqueness law of solu

3、tion, and to enrich the solution methods and enlarge the application scope of elasticity.Key words the uniqueness law of solution, stress function method, stress method, stress sum function method在弹性力学教学中都要讲述解的唯一性定理并 给出严格的证明，即在同一边界条件下只有一组应 力、应变和位移分量适合弹性力学的基本方程，它为 逆解法或半逆解法求解弹性力学问题提供了理论依 据。然而，大多数教材璀在解

4、弹性力学问题时都习 惯性的采用应力函数法。由于方法单一，学生对解的 唯一性定理是用逆解法或半逆解法求解弹性力学问 题的理论依据缺乏切实、深入的理解和体会。在此我 们在教学中同时采用应力函数法、应力法、应力和函 数法求解弹性力学平面问题I3-5，使学生对解的唯一 性定理是用逆解法或半逆解法求解弹性力学问题的 理论依据有切实、深入的理解，极大地丰富了弹性力 学的解题方法，对启发和培养学生的创新思维有一 定益处。1用应力函数法、应力法、应力和函数法求解 弹性力学平面问题1.1应力函数法求解弹性力学平面问题4】* 如4 + dx2dy2dy4其应力分量（不计体力）为d2 Vd 29淬 vdy2 v d

5、x2 Txy dxdy选择一个应力函数既能满足双调和方程式(1) 和由方程式(2)求出的应力分量又能满足应力边界条件，这对于初学者来说十分困难，并且盲目性很 大。为此对于细长矩形截面梁，根据梁主要边界上所 受载荷或截面内力情况,可以得= M (x) 了 (g)=而2 % =(y)=壬血=W(y)=-监,对上式中的任何一式，可以积分二次得出应力 函数。再根据应力分量和应力函数之间的关系定出 应力分量。该方法具有简单、实用的优点，可以让学 生学会把一些简单问题的应力函数推导出来，并领 会弹性力学逆解法、半逆解法的思想方法。1.2应力法解平面问题的控制方程daxdrXy“-+ 世 + fx =0 o

6、x oy=0，Tyx +，Tyx +dx力或截面内力可以推设应力分量有如下形式 bx = M(x)f(y), Oy = q(x)f(y),如=Q(x)f(y)假设其中的一个应力分量,代入式(4)求出另外 两个应力分量，最后应力分量还应满足协调方程，并 利用边界条件确定积分常数。这里提出的解题方法, 没有涉及Airy应力函数，而是直接以应力分量作为 未知函数求解弹性力学平面问题的一种方法。1.3应力和函数法解弹性力学平面问题的控 制方程平衡微分方程(不计体力)祟+祟=01 如 dyB + 司=0 J应力协调方程V2(ax + ay) = V2 = 0(6)3)2其中，V2 =，= x + by称

7、为应力和函dx2 dy2数，因此，该方法称为应力和函数法。补充方程：由平衡方程经简单变换得 a 2寸Txy =-顽。解题时的具体做法是，由式(6)解出。，代入式 (7)得Txy，再由式(5)求出ax和by，并在边界上满足 边界条件。2举例例1如图1所示矩形截面立柱,在一侧面上受 均匀剪力作用，不计体力,试求应力分布。提示:可假 设bx = 0,或按材料力学的偏心受压公式假设出函 数的形式。上端边界如不能精确满足，可应用圣维南 原理。O图1解法1应力函数法(1)对bx =存=0积分两次得:甲=yfi (x) + /2 (x)代入得4 _ 8 七3*3* 代入得*如4*如2。护*为4yf(x) +

8、 /24) (x) = 0/(4)3) = 0, /24) (x) = 0 fi ()=Ax3 + Bx2 + Cx + D 加()=Ex3 + Fx2 + Gx + H因此应力函数为甲=y(Ax3 + Bx2 + Cx) + Ex3 + Fx2应力分量为_竺。如2_竺。如2(6Ax + 2B) y + 6Ex + 2FTxy = -= -(3&2 + 2Bx + C)(2)由边界条件确定常数。左侧面(Txy)京=0 = 0 n (3A - 0 + 2B - 0 + C) = 0今C = 0右侧面积分得Txy2 Ax2 + Txy(2)确定积分常数左侧面(rxy)x=0 = 0 n(A - 0

9、 + B - 0)+ C = 0 n C = 0q,I(Oy )q,I(Oy )y=0 d=0,0(8)右侧面(rxy)x=h = q = (1 Ah2 += q(9a)上端面(静力等效)/ ( ?xy )y=0 d13=0, 6Ah+2 郁2=(9b)0联立求解方程(11)(12)得(9c)A =-3勺=h由 bx|x=0 = D(y)=0，得0 (12)(11)(Txy)x = h =勺-+ 2) = q 上端面(应用圣维南原理静力等效)/ ( Txy )y=0d =0,00由式(9a)，得广h/ (3A2 + 2Bx) dx = 0 n (Ah3 + Bh2) = 00(10)联解式(8

10、)和(10)得出A = -%，B=牛由式(9b),得h/ (6Ex + 2F) dx = 0 n 3Eh + 2Fh = 0 0由式(9c),得f h/ x(6Ex + 2F)dx = 0 n 2Eh3 + Fh2 = 0 0由此得出故应力分量为23叭 _ qx (a x孔=， = hy1 - h) Txy = h (3 h 2解法2应力法.I、rh岳点 i、皿X曰中qy | qyh(1)由材力偏心受压得出Oy = 妃丁 +此假设% = (Ax + B)g。代入平衡方程，Txy + 3Oy _。费京 + -xy _。dx dy dx dy2q3xax = s % =云,&y =钉3 3h -2

11、)以上解题过程验证了解的唯一性定理。例2如图2所示为多跨连续深梁在上边界受均布载荷q作用，求梁中的应力分布。解假定支座反力在支座宽度上均匀分布，如 图3所示，集度为ql/c，并将其在-1,1区间上展成 周期为21的Fourier级数。211 1(by)y_0 = -q - : sin qc cos an=1式中，a = n/l (n = 1,2, - )，2c为支座宽度。1xn=12 anchay + 2 anyshay+2 bnshay + 1 bnychay) + 1 (y)12 cos ax(cnshay1xn=12 anchay + 2 anyshay+2 bnshay + 1 bnychay) + 1 (y)12 cos ax(cnshay + dnchay+Oy = cos ax(cnshay + dnchay下面按应力和函数法并结合逆解法进行求解。(1)根据问题的对称性by应为X的偶函数, 故应力和函数设为n=12 anchay + 2 anyshay-112 bnshay + bnhay) + h，2 ()1Txy =sin ax(cnchay + dnshay+ n=12 anychay + 2 bnyshay)(17)0 QCooax = 2q - 2, cos ax(l ay) - eayn= 1oo(19)(7y = 2q - cosq(l