新教材人教A数学必修二课件：912分层随机抽

1、9.1.2分层随机抽样分层随机抽样一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.在比例分配的分层随机抽样中,我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.【思考】(1)哪种情况下适合选用分层随机抽样？提示:在个体之间差异较大的情形下,只要选取的分层变量合适,使得各层间差异明显、层内差异不大,分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样.(2)简单

2、随机抽样与分层随机抽样有何异同？提示:简单随机抽样分层随机抽样方法要点随机“搅拌均匀”抽取分层比例抽取共同点抽样过程中每个个体被抽到的机会均相等;均为不放回抽样简单随机抽样分层随机抽样不同点从总体中逐个随机抽取将总体分成不交叉的若干层,各层中按比例抽取相互联系各层的抽样可采用简单随机抽样适用范围总体中的个体总数较少总体由差异明显的几个部分组成【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小.()(2)分层随机抽样有时也需要剔除若干个个体,对这些个体来说是不公平的.()(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样.(

3、)提示:(1).在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本量大小外,还要依据总体的构成情况.(2).根据抽样的意义,对每个个体都是公平的.(3).适合用简单随机抽样.2.某集团有老年职工270人,中年职工540人,青年职工810人.为了更好地调查他们的健康情况,需从所有职工中抽取一个容量为36的样本,应采用的抽样方法是_.【解析】由于健康情况与年龄密切相关,不同年龄的人群其健康情况会有明显的差异,因此采用分层随机抽样的方法较合适.答案:分层随机抽样3.简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是_.(填序号)都是从总体中逐个抽取.将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取.抽样过程中每个个体被

4、抽到的可能性是相等的.将总体分成几层,然后分层按比例抽取.答案:类型一分层随机抽样的概念【典例】1.下列问题中,最适合用分层随机抽样方法抽样的是()A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是140.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C.某乡农田有山地8 000亩,丘陵12 000亩,平地24 000亩,洼地4 000亩,现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量D.从50个零件中抽取5个做质量检验2.分层随机抽样又称为类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类(层)各抽若干个个体构成样本,所以分层随机抽样

5、为保证每个个体等可能入样,必须进行()A.每层内等可能抽样 B.每层内不等可能抽样C.所有层用同一抽样比D.所有层抽同样多的样本量【思维引】根据分层随机抽样的特点和适用情况进行判断即可.【解析】1.选C.A的总体容量较大,且个体的差异性不明显;B的总体容量较小,用简单随机抽样法比较方便;C的总体容量较大,且各类田地的产量差别很大,宜采用分层随机抽样方法;D与B类似.2.选C.由分层随机抽样的定义和特点可知,所有层用同一个抽样比,等可能抽样.【内化悟】辨别分层随机抽样问题的关键是什么？提示:总体可以分层且层与层之间有明显区别.【类题通】分层随机抽样的前提和遵循的两条原则(1)前提:分层随机抽样使

6、用的前提是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小,每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取.(2)遵循的两条原则:每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.提醒:要明确分层随机抽样的前提,是用来判断是否是分层随机抽样的依据.【习练破】某校高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是_.【解析】了解学生的健康情况,男、女生抽取比例相同,因此应用了分层随机抽样法.答案:分层随机抽样【加练固】某书法社团有男生30名,女生

7、20名,从中抽取一个5人的样本,恰好抽到了2名男生和3名女生.该抽样可能是随机抽样;该抽样不可能是分层随机抽样;男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率.其中说法正确的为()A.B.C.D.【解析】选A.该抽样可能是随机抽样,故正确;若是分层随机抽样,则抽到的是3名男生、2名女生,所以该抽样不可能是分层随机抽样,故正确;该抽样男生被抽到的概率为 ,女生被抽到的概率为 ,女生被抽到的概率大于男生被抽到概率,故错误.类型二分层随机抽样的应用角度1用样本平均数估计总体平均数【典例】假设某公司的33名职工的月工资(单位:元)如表:职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 500

8、5 0003 5003 0002 5002 0001 500样本中职工月工资的平均数是_,估计该公司职工月工资的平均数是_.(精确到元)世纪金榜导学号【思维引】求解样本中职工月工资的平均数.【解析】样本中职工月工资平均数是 (5 500+5 000+3 5002+3 000+2 5005+2 0003+1 50020)2 091,估计该公司职工月工资的平均数是2 091.答案:2 0912 091【素养探】用样本平均数估计总体平均数,体现了数据分析的核心素养. 某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则平均命中环数为_;估计该学员射击一次命中环

9、数为_.【解析】 用样本估计总体,估计环数最可能为7.答案:77角度2比例分配的应用【典例】1.某校老年、中年和青年教师的人数如表所示,采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为世纪金榜导学号()A.90B.100C.180D.300类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 3002.某高中共有学生1 000名,其中高一年级共有学生380人,高二年级男生有180人.高二年级女生占全校学生总数的19%.现采用分层随机抽样(按年级分层)在全校抽取100人,则应在高三年级中抽取的人数等于_.【思维引】1.按各层的抽

10、样比例相等,列出等式求解即可.2.先算出高二年级女生人数,再算出高三年级人数,最后根据各层的抽样比例相等,列出等式求解.【解析】1.选C.设该样本中的老年教师人数为x,由已知及分层随机抽样的特点得 ,故x=180.2.由已知,高二年级女生有1 0000.19=190(人),则高二年级共有学生180+190=370(人),所以高三年级共有学生1 000-370-380=250(人),则采用分层随机抽样(按年级分层)在全校抽取100人,应在高三年级中抽取的人数为 100=25.答案:25【内化悟】求解分层随机抽样问题的关键是什么？提示:分析总体分成的各个层以及各个层中抽取的个体数量.【类题通】分层

11、随机抽样的操作步骤第一步,计算样本量与总体量之比.第二步,将总体分成互不交叉的层,按比例确定各层要抽取的个体数.第三步,用简单随机抽样在各层中抽取相应数量的个体.第四步,将各层抽取的个体合在一起,就得到所取样本.【习练破】1.(2019全国卷)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位,阅读过红楼梦的学生共有80位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位,则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

12、【解析】选C.由题意知阅读过红楼梦而没有阅读过西游记的学生人数为80-60=20,所以阅读过西游记的学生人数为90-20=70,故所求的估计值为 =0.7.【加练固】一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为532.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本,则应从C中抽取_个个体.【解析】因为A,B,C三层个体数之比为532,又总体中每个个体被抽到的概率相等,所以用分层随机抽样应从C中抽取100 =20.答案:202.已知某单位有职工120人,其中男职工90人,现采用分层随机抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本,若已知样本中有27名男职工,则样本量为_.【解析】分层随机抽样中抽样比一定相同

13、,设样本量为n,由题意得, ,解得n=36.答案:36类型三抽样方法的综合应用【典例】在下列问题中,各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？(1)从8台彩电中抽取2台进行质量检验.(2)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个样本量为100的样本.世纪金榜导学号【思维引】总体容量较小,宜采用抽签法;总体容量较大且总体中的个体无明显差异,而样本量较小,宜用随机数法.总体是由差异明显的几个部分组成,宜用分层随机抽样法.【解析】(1)总体容量为8,样本量为2,因此选择抽签法进行样本的抽取.(2)总体由差异

14、明显的四部分组成,因此可采用分层随机抽样法.【内化悟】抽样方法选取的关键是什么？提示:根据总体容量大小,个体有无明显差异判断抽样方法.【类题通】抽样方法的选取(1)若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层随机抽样.(2)若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样.【习练破】某企业共有3 200名职工,其中中、青、老年职工的比例为532.(1)若从所有职工中抽取一个容量为400的样本,应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？(2)若从青年职工中抽取120人,试求所抽取的样本量.【解析】(1)由于中、青、老年职工有明显的差异,采用分层随机抽样更合理.按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为: 400=200, 400=120, 400=80,因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人、120人、80人.(2)由已知,青年职工共有 3 200=960(人).设抽取的样本量为n,则有 960=120.所以n=400,因此所抽取的样本量为400.【加练固】在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.方法一:采用简单随机抽样的方法,将零件编号为00,01,99,用抽签法抽取20个;方法二:采用分层随机抽样