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文档简介

1、柱体体积=底面积高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体曲顶柱体的体积一、问题的提出3.1 二重积分的概念与性质第3章 重积分1播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示2步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积3求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片， 所有小块质量之和近似等于薄片总质量4二、二重积分的概念5积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素6对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二

2、重积分是柱体的体积的负值7 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为8性质当 为常数时，性质（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质9性质对区域具有可加性性质若 为D的面积，性质若在D上特殊地则有10性质性质（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）11如果积分区域为：其中函数 、 在区间 上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分X型3.2 二重积分的计算12应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得13如果积分区域为：Y型14 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于

3、x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.15例1计算其中 是由直线和 所围成的闭区域.解如图,既是 型,又是 型.若视为型,则原式16例1计算其中 是由直线和 所围成的闭区域.解若视为型,则原积分若视为型,则分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积其中关于的积分计算比较麻烦,17解18例3计算二重积分其中 是由抛物线及直线 所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-12)既是 型,也是 型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选19例3计算二重积分其中 是由抛物线及直线 所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-11)既是 型,也是 型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选20例4计算二重积分其中区域是由围成的矩形.如图,因为是矩形区域,且所以解21解22例6交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为:所以23例7交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为所以原式24二、利用极坐标系计算二重积分25二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图26二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图27注：极坐标系下区域的面积二重积分化为

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