《二次函数》典型例题

1、PAGE9二次函数典型例题例1某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种产品的销售情况，请解答以下问题：1当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；2设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求与的函数关系式不必写出的取值范围；3商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少点拨：我们知道，销售商品有一些基本数量关系，如：销售额=单价销售件数，销售利润=销售收入销售成本销售成本包括产品本身的成本和销售过程中增加的成本，而在我们

2、的学习研究中，一般不计算销售过程中增加的成本等根据题意，以50元/千克时，月销售量为500千克此时销售收入为50500=25000元为标准，单价每增加1元，月销售量就减少10千克，利用上面的基本数量关系，可以解决本题中的问题解：1月销售量为500510=450千克，月销售利润为5540500510=6750元2500104050010即，3解得或，当时，月销售量为5003010=200此时成本为40200=8000元，合题意当时，月销售量为5001010=400此时成本为40400=1600010000，不合题意答：当销售价格为55元/千克时，月销售量为450千克，月销售利润为6750元；函数

3、解析式为；当销售成本不超过10000元，月销售利润达8000元时，销售价应定为80元/千克例2若一抛物线与四条直线，围成的正方形有公共点求的取值范围点拨：对于二次函数有，若|越大，抛物线开口越小反之|越小，则开口越大因此我们需要先作出由直线所围成的正方形，由它的位置决定抛物线的开口方向，再用动态的观点来看，抛物线与正方形有公共点时，开口最大的情况与开口最小的情况，以求的取值范围解：作出由所围成的正方形ABCD，则A1，2，B1，1，C2，1，D2，2易知，抛物线必开口向上，即0当经过点时开口最大，此时1=当抛物线经过点A1，2时开口最小，此时2=的取值范围是例3如图所示，有一抛物线形涵洞，其函

4、数解析式为，涵洞跨度AB=12m，内部高度，为了安全，汽车经过涵洞时，载货最高处与顶部之间的距离不能小于现有一辆运货车卡车欲通过涵洞，经测量该车宽度为4，载货最高处距地面问该车能否通过，为什么点拨：这是一道实际应用题，解题的时候要把实际生活中的问题抽象出来，找到或建立相应的数学模型，再加以解决解：如图所示，AB=12m，A-6，-4，B6，-4把点A-6，-4代入函数得a=-4，依题意：车宽4，载货最高处距地面，D的横坐标为2，纵坐标为D，能通过涵洞例4如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从A出发，沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，同时Q从点B出发沿BC边向点C以2厘

5、米/，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，回答下列问题:运动开始后第几秒钟时，PBQ的面积等于8平方厘米设运动开始后第T秒钟时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与T的函数关系式，并指出自变量T的取值范围;T为何值时，S最小求出S的最小值点拨：观察图形有两点是显然但绝不能忽视的，一个是PBQ的面积与五边形PQCDA的面积之和为定值矩形ABCD的面积，另一个是PBQ在变化过程中始终为直角三角形，即S=PBBQ为不变函数关系解：设P，Q两点的运动时间为t秒，依题意PB=AB-AP=6-t，BQ=2tSPBQ=6-t2t=t6-tt6-t=8，解得t=2，t=4;S=ABBC-S=72-

6、t6-t=-6t720t6;配方，得S=3时，S最小=63答1运动开始2秒和4秒时，SPBQ=82S与t的函数关系为S=-6t72，0t63当t=3时，S最小，最小为63例5某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的的信息，如图甲、乙注：甲，乙两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，乙图的图象是抛物线甲图乙图请你根据图象提供的信息说明：在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元收益=售价-成本哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大说明理由点

7、拨1由图甲可知，3月份出售这种蔬菜，每千克价格为5元，由图乙可知，3月份这种蔬菜的成本价为每千克4元故可轻松解决;在中可借助图甲、图乙确定出售价、成本价与月份的关系式，将两表达式相减，即为每千克这种蔬菜的收益是多少，再借助二次函数最值求法，则可解决问题解：1由图甲知，3月份这种蔬菜的售价为5元，由图乙知，3月份这种蔬菜的成本价为4元，故3月份这种蔬菜的收益为每千克1元；设图甲中线段的表达式为Y甲=b，由图象可知，点3，5和6，3在y甲=b上，故有解得故又图乙中图象是一条抛物线段，故，可设其表达式为由图乙知，其顶点坐标为6，1，且点3，4在抛物线段上故有解得从而每千克这种蔬菜的收益为例6如图甲所

8、示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA=由柱子顶端A处的喷头向处喷水，水流在各个方向形状相同的抛物线路线落下，为了使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度1如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外2若水流喷出的抛物线的形状与相同，水池的半径为，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米精确到提示:可建立如下坐标系:以OA所在的直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为轴，点O为原点点拨:此题的解题关键在于如何建立合适的坐标系，使得我们要求的数据在坐标系内成为一些特殊点，而不是抛物线上的任意三点解：1如图乙以OA所在的直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为，点O为原点建立坐标系，设最高点为