《多元函数微分学》课件

1、第六章 多元函数微分学1第六章 多元函数微分学1偏导数与全微分复合函数与隐函数的微分法多元函数的连续性隐函数存在定理 第六章 多元函数微分学 多元函数多元函数的极限方向导数与梯度多元函数的微分中值定理与泰勒公式极值问题2偏导数与全微分复合函数与隐函数的微分法多元函数的连续性隐函数第一节、多元函数1. 平面点集 n 维空间回忆一元函数平面点集 n 维空间实数组(x, y)的全体,即建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作(1) 平面点集 二元有序多元函数的基本概念 3第一节、多元函数1. 平面点集 n 维空间回忆一元函数邻域 (Neighborh

2、ood) 设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点,几何表示：Oxy. P0多元函数的基本概念 令有时简记为称之为 将邻域去掉中心, 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)注称之为的全体点称之为点P0邻域.去心邻域.4邻域 (Neighborhood) 设P0(x0, y0 (1) 内点显然, E的内点属于E.多元函数的基本概念 (2) 外点如果存在点P的某个邻域则称P为E的外点.(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意一点与任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:设E为一平面点集,若存在称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界

3、,记作使U(P) E = ,5 (1) 内点显然, E的内点属于E.多元函数的基本概念 聚点多元函数的基本概念 如果对于任意给定的点P的去心邻域内总有E中的点则称P是E的聚点.例如, 设点集(P本身可属于E,也可不属于E ),则P为E的内点;则P为E的边界点,也是E的聚点.E的边界为集合6聚点多元函数的基本概念 说明：1. 内点一定是聚点；2.边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0,0) 是聚点但不属于集合例如,边界上的点都是聚点也都属于集合7说明：1. 内点一定是聚点；2.边界点可能是聚点；例(0,0平面区域(重要)设D是开集.

4、 连通的开集称区域多元函数的基本概念 连通的.如对D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,称开集D是或开区域.如都是区域. 开集若E的任意一点都是内点,例称E为开集.E1为开集.结起来,8平面区域(重要)设D是开集. 连通的开集称区域多元函数 开区域连同其边界,称为有界区域否则称为多元函数的基本概念 都是闭区域 .如总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域,称此区域为半径 (可伸展到无限远处的区域 ).闭区域.有界区域.无界区域9 开区域连同其边界,称为有界区域否则称为多元函数的基本概念OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域多元函数的基本概

5、念 10OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区n 元有序数组的全体 n 维空间中的每一个元素称为空间中 称为该点的第k个坐标.n维空间中两点的距离定义为n 维空间中点记作及的邻域为(2) n 维空间多元函数的基本概念 n 维空间.称为即的一个点, 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义n 维空间中11n 元有序数组的全体 n 维空间中的每一个元素称为空间中 称称为 E 的内点：如果存在一个正数 使得称为 E 的外点：如果存在一个正数 使得称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得中即有E中点又有非E中点即不是E的内点也不是E的外点闭区域：12称为 E 的内点：如果存在一

6、个正数 使得称为 E 的外点（3） 中的集合到 的映射设D为 中的一个集合.那么对D中每一个点多元函数的基本概念 在 中都有一个惟一的点与之对应，映射 相当于个 元函数:Function of Many Variables13（3） 中的集合到 的映射设D为 第二节、多元函数的极限1. 二元函数的定义例 理想气体的状态方程是 称 p为两个变量T,V 的函数,其中(1) 定义 如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖多元函数的基本概念 (R为常数)其中p为压强,V为体积,T为温度.于T,V 的关系是14第二节、多元函数的极限1. 二元函数的定义例 理想气体的状按着这个关系有确定的点集D称为该函

7、数称为该函数的则称z是x, y的定义1若变量z与D中的变量x, y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内每取定一个点P(x, y)时,z值与之对应,多元函数的基本概念 记为称x, y为的数集二元(点)函数.称z为自变量,因变量,定义域,值域.15按着这个关系有确定的点集D称为该函数称为该函数的则称z是x,二元及二元以上的函数统称为(2) 多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.记为 函数 在点 处的函数值多元函数的基本概念 或类似,可定义n元函数.多元函数.实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的16二元及二元以上的函数统称为

8、(2) 多元函数定义域定义域为符合例 求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域多元函数的基本概念 即定义域为17例 求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域多元函数的基本概解Oxy定义域是有界半开半闭区域多元函数的基本概念 18解Oxy定义域是有界半开半闭区域多元函数的基本概念 3 求 的定义域解所求定义域为193 求 用联立不等式表示下列平面闭区域 D .圆弧直线?解多元函数的基本概念 及20 用联立不等式表示下列平面闭区域 D .圆弧直线?解多元2 、 二元函数 的图形（如下页图） 研究单值函数多元函数的基本概念 212 、 二元函数 二元函数的图形通常是一张曲面.22二元函数的图形通常是一张曲面

9、.22例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:23例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:23多元函数的基本概念 最后指出,从一元函数到二元函数,在内容和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.24多元函数的基本概念 3、多元函数的极限 讨论二元函数 怎样描述呢? Oxy (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的回忆: 一元函数的极限 路径又是多种多样的.注多元函数的基本概念 方向有任意多个,Oxy253、多元函数的极限 讨论二元函数 (2) 变点P(x,y) 这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.多元函

10、数的基本概念 总可以用来表示极限过程:与定点P0(x0,y0)之间的距离记为不论的过程多复杂,26(2) 变点P(x,y) 这样,可以在一元函记作多元函数的基本概念 定义2有成立.的极限. 设二元函数 P0(x0, y0)是D的聚点. 的定义 义域为D, 如果存在常数 A,也记作27记作多元函数的基本概念 有成立.的极限.P0(x0, y0)是D的聚点.定义域为D, 如果存在常数 A,定义3 设二元函数 说明：定义2与定义3等价28有成立.的极限.P0(x0, y0)是D的聚点.定义域为D, 说明(1) 定义中(2) 二元函数的极限也叫多元函数的基本概念 (double limit)的方式是任

11、意的；二重极限.29 说明(1) 定义中(2) 二元函数的极限也叫多元函数则当例证取有证毕.多元函数的基本概念 30则当例证取有证毕.多元函数的基本概念 3131 相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要?定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,多元函数的基本概念 相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.32 相同点 多元函数的极限与一元函数的极限确定极限 关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.多元函数的基本概念 不存在的方法则可断言极限不存在;若极限值与 k 有关,(1)(2)此时也可断言找两

12、种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.存在,沿直线33确定极限 关于二元函数的极限概念可相应地推广到n利用点函数的形式有34利用点函数的形式有34记作多元函数的基本概念 定义有成立.的极限. 设n元函数 P0(x1,., xn)是D的聚点. 的定义 义域为D, 如果存在常数 A,也记作35记作多元函数的基本概念 设函数讨论:当P(x, y)沿x轴的方向当P(x, y)沿y轴的方向也有证多元函数的基本概念 函数的极限是否存在？无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例36设函数讨论:当P(x, y)沿x轴的方向当P(x, y)沿y函数的极限存在且相等.当P(x, y) 沿直线

13、 y = kx 的方向其值随k的不同而变化.所以,极限不存在多元函数的基本概念 说明函数取上面两个无限接近于点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,设函数讨论:函数的极限是否存在？特殊方向37函数的极限存在且相等.当P(x, y) 沿直线 y = kx例 证明 不存在 证取其值随k的不同而变化，故极限不存在38例 证明 不存极限 是否存在？练习取解当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时, 当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,多元函数的基本概念 39极限 是否存在？练习取解当P(x,y)沿x轴的方向无多元函数的基本概念 极限不存在.取极限 是否存在？40多元函数

14、的基本概念 二元函数的极限运算法则和基本性质与一元函数类似。多元函数的基本概念 41二元函数的极限运算法则和基本性质与一元函数类似。多元函数的基定理1：二元函数极限的四则运算法则定理2：若且则即且则也有极限且定理3：若42定理1：二元函数极限的四则运算法则定理2：若且则即且则也有极二元函数的几种复合函数的形式：(i)其中其中(ii)其中(iii)43二元函数的几种复合函数的形式：(i)其中其中(ii)其中(i定理4：设函数有则定理5：设对函数有则且对有 见P270 例4-544定理4：设函数有则定理5：设对函数有则且对有 见P270 例第三节、多元函数的连续性 设二元函数 则称函数定义P0(x

15、0, y0)为D的聚点, 且 P0D.如果连续.如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数在D内连续,或称函数是 D内的连续函数. 的定义域为D, 45第三节、多元函数的连续性 设二元函数 则称函数定义P0(x定义有成立， 设二元函数 P0(x0, y0)是D的聚点. 的定义 义域为D, 如果存在常数 A,则称函数在点P0连续46定义有成立， 设二元函数 P0(x0, y0)是D的聚点.的不连续点,多元函数的基本概念 若函数 在点 P0(x0, y0)不连续,称P0为函数 间断点.若在D内某些孤立点,没有定义,或沿D内某些曲线,但在D内其余部分,都有定义,则在这些

16、孤立点或这些曲线上,即间断点.函数都是函数则47的不连续点,多元函数的基本概念 在单位圆处处是间断点.多元函数的基本概念 函数 (0,0)点是该函数的间断点. 函数48在单位圆处处是间断点.多元函数的基本概念 讨论函数在(0,0)处的连续性解取49讨论函数在(0,0)处的连续性解取49故函数在(0,0)处连续.当 时50故函数在(0,0)处连续.当 称为多元初等函数,多元函数的基本概念 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样,多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个式子表达的函数处均连续.在它们的定义域的内点P275 定理1-351称为多元初

17、等函数,多元函数的基本概念 例解52例解52映射的连续性映射 在 点连续是指：对于任意给定的,存在一个使得当 时这里的前一个 d表示 Rn中的两点距离,后一个d表示Rm中的距离.f在P0连续的充分必要条件每一个分量f i在P0也连续53映射的连续性映射 有界闭区域上连续的多元函数的性质(1) 有界闭区间边界上的连续性我们称 在 的边界点 处是连续的：如果对任意的都存在一个使得当时便有即54有界闭区域上连续的多元函数的性质(1) 有界闭区间边界上的有界闭区域上连续的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次介于这两值之间的任何值至少一次(2) 最大值和最小值定理(3) 介值定理多元函数的基本

18、概念 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得P277 定理4-655有界闭区域上连续的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*不存在.多元函数的基本概念 常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2) 求极限值. 常按一元函数极限的求法求之.(3) 研究全面极限与累次极限(二次极限)间的关系.(罗必达法则除外)56多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存提示解多元函数的基本概念 是否把极限理解为:先求?的极限,再求的极限;或者先求的极限,再求的极限思考研究累次极限有有57提示解多元函数的基本概念 (2) 同理: (3)再来分析当点(x, y)沿过原点的直线 因此 不存在.多元函数的基本概念 对任意的有趋向于有时,58 (2) 同理: (3)再来分析当点(x, y)沿可证明当 f( x, y)在P0(x0, y0)的一个邻域上第二,一般也是不相同的;第三,由此看出:第一,不能理解为多元函数的基本概念 连续时,上述三个极限均相等.或59可证明当 f( x, y)在P0(x0, y0)的一个邻域上求答: 0答:不